必修5正弦定理(蘇教版)

課題：11.1正弦定理授課目的：掌握正弦定理及其證明,會(huì)初步運(yùn)用正弦定理解斜三角形,培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)企圖識(shí);在問(wèn)題解決中,培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和自主研究能力;供應(yīng)合適的問(wèn)題情境,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣;在合作學(xué)習(xí)中,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),學(xué)會(huì)交流,相互議論,提高學(xué)生的合作意識(shí)與交流能力.授課重點(diǎn)：正弦定理及其證明過(guò)程授課難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)與證明授課種類(lèi)：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：幾何畫(huà)板授課過(guò)程：一.問(wèn)題情境序言：從金字塔的建筑到尼羅河兩岸的土地丈量,從大禹治水到都江堰的修建,從天文觀察到精美儀器的制造,人們都離不開(kāi)對(duì)幾何圖形的丈量,設(shè)計(jì)和計(jì)算.丈量河流兩岸碼頭之間的距離,確定待建地道的長(zhǎng)度,確定衛(wèi)星的角度與高度等等問(wèn)題,都可以轉(zhuǎn)變成求三角形的邊與角的問(wèn)題,這就需要我們進(jìn)一步研究三角形的邊角關(guān)系.研究1:在Rt△ABC,C=900,那么邊角之間有哪些關(guān)系?sinA=a,sinB=b,sinC=c=1,ccc即c=a,c=b,c=c．sinAsinBsinC∴a=b=csinAsinBsinC研究2:在任意三角形里,abc還成立嗎?==sinCsinAsinB(幾何畫(huà)板演示)二.學(xué)生活動(dòng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn):分組一:對(duì)于銳角三角形考據(jù)結(jié)論可否成立?AcbBaDC分組二:對(duì)于鈍角三角形考據(jù)結(jié)論可否成立?AcbBaCD數(shù)學(xué)猜想:abcsinA==;sinBsinC三.建構(gòu)數(shù)學(xué):正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即a=b=csinAsinBsinC數(shù)學(xué)證明:證法一:

=2R（R為△ABC外接圓半徑）cbBaCD過(guò)程：ADADsinB=c，sinC=sin（1800-C）=b，得csinB=bsinC，bc得sinB=sinCac同理可得：=sinCsinAabc所以=sinB=sinCsinA證明二：（等積法）在任意斜△ABC中間S=1absinC1acsinB△ABC22兩邊同除以1abc即得：a=b=c2sinAsinCsinB證明三：（外接圓法）以下列圖，∠Ａ＝∠Ｄ∴aa2RCDsinAsinD同理bc＝2RsinB=2R，sinC證明四：（向量法）

Acb過(guò)程：BaDCADAD，sinB=，sinC=cbbc得csinB=bsinC，得sinB=sinCac同理可得：sinA=sinCabc所以==C1bcsinAa2bOBcADAcBDa

在ABC中,有BC=BA+ACBCAD=(BA+AC)ADb=BAAD+ACAD0=BAADcos(90+B)+ACADcosC當(dāng)C為直角也許銳角時(shí),=90-C;當(dāng)C為鈍角時(shí),=C-90.故可得csinB=bsinCbcac即sinB=sinC,同理sinA=sinC,abc所以sinA=sinB=sinC.研究活動(dòng)3:觀察正弦定理的結(jié)構(gòu),看它有什么特點(diǎn)?你能用語(yǔ)言把它表達(dá)出來(lái)嗎?定理中的正弦改成余弦,結(jié)論還成立嗎?正弦定理?yè)碛薪Y(jié)構(gòu)友善,對(duì)稱(chēng),表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的友善美與對(duì)稱(chēng)美;若改成余弦,除正三角形外,其余三角形都不成立.研究活動(dòng)4:這個(gè)式子包含了哪些等式?每個(gè)等式有幾個(gè)量?它可以解決斜三角形中的哪些類(lèi)型的問(wèn)題?三個(gè)等式:a=b,b=c,a=c;sinAsinBsinBsinCsinAsinC每個(gè)式子中有四個(gè)量,若是知道其中三個(gè)可以求出第四個(gè)?正弦定理的應(yīng)用從理論上正弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題：1．兩角和任意一邊，求其余兩邊和一角；2．兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其余的邊和角（見(jiàn)圖示）已知a,b和A,用正弦定理求B時(shí)的各種情況:(原因是三角形全等的判判定理)⑴若A為銳角時(shí):absinA無(wú)解bsinA一解(直角)bsinAab二解(一銳,一鈍)ab一解(銳角)已知邊a,b和ACCCCbbbbaaaaaAAAAHBB1HB2HBa<CH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinA<a<bab無(wú)解僅有一個(gè)解有兩個(gè)解僅有一個(gè)解ab無(wú)解⑵若A為直角或鈍角時(shí):一解銳角ab)(四.數(shù)學(xué)運(yùn)用：例1:在△ABC中,A=300,C=1000,a=10,求b,c注:這是已知兩角以及其中一角的對(duì)邊,求另一角對(duì)邊,方法:直接用正弦定理.例2:在△ABC中:(1)已知a=16,b=26,A=300,求B,C,c;(2)已知a=30,b=26,A=300,求B,C,c;(3)已知a=25,b=11,B=300,解這個(gè)三角形;注:這是已知兩邊以及其中一邊的對(duì)角,求另一邊對(duì)角,方法:直接用正弦定理,注意比較確定幾解.五.牢固練習(xí)：1P9練習(xí)2在△ABC中，A2RBR

abck,則k為()sinAsinBsinC1C4RDR(R為△ABC外接圓半徑)23△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則△ABC為()A直角三角形B等腰直角三角形C等邊三角形D等腰三角形P六.回顧小結(jié)本節(jié)課經(jīng)過(guò)自己的努力發(fā)現(xiàn)并證了然正弦定理，我們經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)→數(shù)學(xué)猜想→數(shù)學(xué)證明的科學(xué)治學(xué)歷程,獲取了正弦定理,其表達(dá)式擁有友善性,對(duì)稱(chēng)性的特