材料力學(xué)講義1128T15

材料力學(xué)講授:顧志榮同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院

顧志榮第四章扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)第四章扭轉(zhuǎn)一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例二外力偶矩、扭矩和扭矩圖三圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算四圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算五扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題六矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)七薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)第四章扭轉(zhuǎn)一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例對(duì)稱(chēng)扳手?jǐn)Q緊鏍帽承受扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件傳動(dòng)軸汽車(chē)傳動(dòng)軸第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例mmmm第四章扭轉(zhuǎn)/一扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例這些構(gòu)件的受力特點(diǎn):所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于桿軸的平面內(nèi)。變形特點(diǎn):桿件的任意兩個(gè)橫截面都繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。第四章扭轉(zhuǎn)二外力偶矩、扭矩和扭矩圖第四章扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩、扭矩和扭矩圖1外力偶矩的計(jì)算外力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系第四四章章扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/二外外力力偶偶矩矩、、扭扭矩矩和和扭扭矩矩圖圖2求扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)內(nèi)內(nèi)力力的的方方法法—截面面法法ⅠⅠIIMn3受扭扭圓圓軸軸橫橫截截面面上上的的內(nèi)內(nèi)力力—扭矩矩右手手定定則則：：右手手四四指指內(nèi)內(nèi)屈屈，，與與扭扭矩矩轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向向相相同同，，則則拇拇指指的的指指向向表表示示扭扭矩矩矢矢的的方方向向，，若若扭扭矩矩矢矢方方向向與與截截面面外外法法線線相相同同，，規(guī)規(guī)定定扭扭矩矩為為正正，，反反之之為為負(fù)負(fù)。。第四四章章扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/二外外力力偶偶矩矩、、扭扭矩矩和和扭扭矩矩圖圖扭矩矩符符號(hào)號(hào)規(guī)規(guī)定定：4扭矩矩的的符符號(hào)號(hào)規(guī)規(guī)定定—右手手螺螺旋旋法法則則mIImIIIIII第四四章章扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/二外外力力偶偶矩矩、、扭扭矩矩和和扭扭矩矩圖圖例題題已已知知圓圓軸軸受受外外力力偶偶矩矩mA、mB、mC作用用而而處處于于勻勻速速轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)平平衡衡狀狀態(tài)態(tài)，，試試求求1-1、2-2截面面上上的的扭扭矩矩。１１２２已知知圓圓軸軸受受外外力力偶偶矩矩作作用，，勻勻速速轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)。。則則１１２２用截截面面法法求求內(nèi)內(nèi)力力：：１１11扭矩矩第四四章章扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/二外外力力偶偶矩矩、、扭扭矩矩和和扭扭矩矩圖圖１１２２１１２２截面面2-2上的的內(nèi)內(nèi)力力：：２２第四四章章扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩圖（+）１１２２5扭矩隨圓軸橫橫截面的位置置變化的圖線線—扭矩圖（-）扭矩圖第四章扭扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩圖例題圖示傳動(dòng)軸上上，經(jīng)由A輪輸入功率10KW，經(jīng)由B、C、D輪輸出功率分分別為2、3、5KW。軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，求作該軸的扭扭矩圖。如將將A、D輪的位置更換換放置是否合合理？ACBDIIIIIIIIIIII第四章扭扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩圖ACBD經(jīng)由A、B、C、D輪傳遞的外力力偶矩分別為為解：IIIIIIIIIIII第四章扭扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩圖IIIIIIIIIIII繪出扭矩圖：：第四章扭扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩圖ACBD（-）扭矩Mn-圖（+）（在CA段和AD段）IIIIIIIIIIII第四章扭扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩圖將A、D輪的位置更換換，則ACBD扭矩Mn-圖（-）（AD段）因此將A、D輪的位置更換不合合理。IIIIIIIIIIII第四章扭扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩圖課堂練習(xí)圖示圓軸中，，各輪上的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩分別為mA＝4kN·m，mB＝10kN·m,mC＝6kN·m，試求1－1截面和2－2截面上的扭矩矩，并畫(huà)扭矩矩圖。1122輪軸軸承6KNm4KNm第四章扭扭轉(zhuǎn)/二外力偶矩矩、扭矩和扭扭矩圖第四章扭扭轉(zhuǎn)三圓軸扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)計(jì)算第四章扭扭轉(zhuǎn)/三圓軸扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)計(jì)算1受扭圓軸橫截截面上的剪應(yīng)應(yīng)力（1）公式推導(dǎo)的的思路應(yīng)力分布應(yīng)力公式變形形應(yīng)變分布平面假定物性關(guān)系靜力方程MeMe平面假定變形幾何1受扭圓軸橫截截面上的剪應(yīng)應(yīng)力（2）公式推導(dǎo)過(guò)過(guò)程dxMnMndxIp截面的極慣性性矩dxTTdxIp截面的極慣性性矩(3)受扭圓軸橫截截面上的剪應(yīng)應(yīng)力計(jì)算公式式扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)數(shù)(3)受扭圓軸橫截截面上的剪應(yīng)應(yīng)力計(jì)算公式式:實(shí)心圓截面空心圓截面P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/minn3=n1

z3z1=1203612=360r/min例題已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.P2＝p3＝p1／2。求:各軸橫截面上的最最大切應(yīng)力。解：第四章扭扭轉(zhuǎn)/三圓軸扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)計(jì)算max(H)==22.69MPam2Wp2max(C)==21.98MPam3Wp3max(E)=m1Wp1=16.54MPa第四章扭扭轉(zhuǎn)/三圓軸扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)計(jì)算2受扭圓軸任意意斜截面上的的應(yīng)力分析第四章扭扭轉(zhuǎn)/三圓軸扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)計(jì)算鑄鐵低碳鋼鑄鐵試件受扭為為什么沿45o螺旋面斷開(kāi)開(kāi)？低碳鋼試件件受扭為什什么沿橫截截面斷開(kāi)？mmAτττAτefef第四章扭扭轉(zhuǎn)/三圓軸扭扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)強(qiáng)度計(jì)算討論:τττσmaxσminτ第四章扭扭轉(zhuǎn)/三圓軸扭扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)強(qiáng)度計(jì)算第四章扭扭轉(zhuǎn)/三圓軸扭扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)強(qiáng)度計(jì)算3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)時(shí)的強(qiáng)度條條件為保證圓軸軸安全工作作，要求軸軸內(nèi)的最大大工作切應(yīng)應(yīng)力不超過(guò)過(guò)材料的許許用切應(yīng)力力，即：

式中的許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力,是根據(jù)扭轉(zhuǎn)試驗(yàn),并考慮適當(dāng)?shù)墓ぷ靼踩禂?shù)確定的.第四章扭扭轉(zhuǎn)四圓軸扭扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛剛度計(jì)算第四章扭扭轉(zhuǎn)/四圓軸扭扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛剛度計(jì)算1扭轉(zhuǎn)角與與剪切切角mm第四章扭扭轉(zhuǎn)/四圓軸扭扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛剛度計(jì)算2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)時(shí)的變形計(jì)計(jì)算如圖所示階階梯軸。外力偶矩m1＝0.8KN·m，m2＝2.3KN·m，m3＝1.5KN·m，AB段的直徑d1＝4cm，BC段的直徑d2＝7cm。已知材料的的剪切彈性性模量G＝80GPa，試計(jì)算φAB和φAC。0.8kN·m1.5kN·m0.8m1.0mABC例題圖示一空心心傳動(dòng)軸，，輪1為主動(dòng)輪，，力偶矩m1＝9KN·m，輪2、輪3、輪4為從動(dòng)輪,力偶矩分別別為m2＝4KN·m，m3＝3.5KN·m，m4＝1.5KN·m。已知空心心軸內(nèi)外徑徑之比d/D＝1/2，試設(shè)計(jì)此軸軸的外徑D，并求出全軸軸兩端的相相對(duì)扭轉(zhuǎn)角角φ24。G＝80GPa，［τ］＝60MPa。5kN1.5kN4kN500500500例題已知鉆探機(jī)機(jī)桿的外徑徑D=60mm，內(nèi)徑d=50mm，功率P=7.35kW，轉(zhuǎn)速n=180r/min，鉆桿入土土深度L=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。設(shè)土壤對(duì)對(duì)鉆桿的阻阻力是沿長(zhǎng)長(zhǎng)度均勻分分布的，試試求：（1）單位長(zhǎng)度度上土壤對(duì)對(duì)鉆桿的阻阻力矩m；（2）作鉆桿的的扭矩圖，，并進(jìn)行強(qiáng)強(qiáng)度校核；；（3）求A、B兩截面相對(duì)對(duì)扭轉(zhuǎn)角。。單位長(zhǎng)度阻阻力矩例題一內(nèi)徑為d、外徑為D=2d的空心圓管管與一直徑徑為d的實(shí)心圓桿桿結(jié)合成一一組合圓軸軸，共同承承受轉(zhuǎn)矩Me。圓管與與圓桿的的材料不不同，其其切變模模量分別別為G1和G2，且G1=G2/2，假設(shè)兩兩桿扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變形時(shí)時(shí)無(wú)相對(duì)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，，且均處處于線彈彈性范圍圍。試問(wèn)問(wèn)兩桿橫橫截面上上的最大大切應(yīng)力力之比τ1/τ2為多大？？并畫(huà)出出沿半徑徑方向的的切應(yīng)力力變化規(guī)規(guī)律。因兩桿扭扭轉(zhuǎn)變形形時(shí)無(wú)相相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)例題第四章扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/四圓軸軸扭轉(zhuǎn)時(shí)時(shí)的剛度度計(jì)算3圓軸扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)的剛剛度條件件要求單位位長(zhǎng)度的的扭轉(zhuǎn)角角不超過(guò)過(guò)某一許許用值,即:試分別按實(shí)實(shí)心圓軸軸和空心心圓軸選選擇其直直徑，并并比較二二種截面面軸之重重量。解：1.計(jì)算外力偶矩畫(huà)扭矩圖。例1：鋼制傳動(dòng)軸已知：n＝300（r.p.n），d／D＝1／2，輸入功率:NA＝360kW，輸出功率:NB＝NC＝110kW，ND＝140kW；

BCADmBmCmAmD＋70044456－xoT/N.m3502－＋T／N.mx350270044456危險(xiǎn)截面面：AC段。2.選擇實(shí)心圓軸直徑按強(qiáng)度條件按剛度條件2.選擇空心圓軸直徑按強(qiáng)度條件按剛度條件由此應(yīng)選選直徑D=11.6cm，d＝D／2＝5.8cm3.重量比由此應(yīng)選直徑解：由傳動(dòng)軸軸的尺寸寸計(jì)算抗抗扭截面面模量：：軸的最大大剪應(yīng)力力例題2某汽車(chē)傳動(dòng)軸，用45號(hào)鋼無(wú)縫鋼管制成，其外徑D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用時(shí)最大扭矩為Mx=1500N.m,試校核此軸的強(qiáng)度。已知[]=60MPa。若此軸改為實(shí)心軸，并要求強(qiáng)度仍與原空心軸相當(dāng)，則實(shí)心軸的直徑為？所以此軸軸安全。。若此軸改改為實(shí)心心軸，而式中解得：實(shí)心軸的的橫截面面面積為為空心軸的的橫截面面面積空心軸與與實(shí)心軸軸的重量量之比：：因此在承承載能力力相同的的條件下下，使用用空心軸軸比較節(jié)節(jié)約材料、、比較經(jīng)經(jīng)濟(jì)。采用空心心軸可有有效地減減輕軸的的重量，，節(jié)約材材料。因?yàn)棰俑鶕?jù)應(yīng)力力分布規(guī)規(guī)律，軸心附近近處的應(yīng)應(yīng)力很小小，對(duì)實(shí)實(shí)心軸而而言，軸軸心附近處處的材料料沒(méi)有較較好地發(fā)發(fā)揮其作作用；②從截面的的幾何性性質(zhì)分析析，橫截面面面積相同同的條件件下，空空心軸材材料分布遠(yuǎn)離離軸心，，其極慣慣性矩Ip必大于實(shí)實(shí)心軸，，扭轉(zhuǎn)截截面系數(shù)數(shù)Wp也比較大，強(qiáng)強(qiáng)度和剛剛度均可可提高；；③通常所所講保持持強(qiáng)度不不變，即即指最大大切應(yīng)力力值不變變；保持持剛度不不變，即即指截面面圖形極極慣性矩矩保持不不變。④對(duì)于軸軸的強(qiáng)度度或剛度度，采用用空心軸軸比實(shí)心心軸都較較為合理理。例題3圖示等截面圓軸，已知d=90mm,l=50cm,,。軸的材料為鋼，G=80GPa,求（1）軸的最大剪應(yīng)力；（2）截面B和截面C的扭轉(zhuǎn)角；（3）若要求BC段的單位扭轉(zhuǎn)角與AB段的相等，則在BC段鉆孔的孔徑d′應(yīng)為多大？AllBCd1122AllBCd（+）（-）扭矩圖解：(1)軸的最大大剪應(yīng)力力作扭矩圖圖：2211因此AllBCd（2）扭轉(zhuǎn)角角截面B：截面CAllBCd（3）BC段孔徑d’由得解得：AllBCd例題4圖示圓截截面桿AB左端固定定，承受受一集度度為t的均布力力偶矩作作用。試試導(dǎo)出計(jì)計(jì)算截面面B的扭轉(zhuǎn)角角公式。。Lt

xdx解：取微段作作為研究究對(duì)象。。Mx(x)Mx(x)

L-xtMx(x)根據(jù)平衡衡條件求求得橫截截面上的的扭矩為：微段兩端端截面的的相對(duì)扭扭轉(zhuǎn)角為為AB因此LtAB第四章扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)五扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)超靜定定問(wèn)題扭轉(zhuǎn)超靜靜定問(wèn)題題的解法法：（1）建立靜靜力平衡衡方程；；（2）由變形形協(xié)調(diào)條條件建立立變形協(xié)協(xié)調(diào)方程程；（3）應(yīng)用扭矩與相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之間的物理關(guān)系：，代入變形協(xié)調(diào)方程，得到補(bǔ)充方程；（4）補(bǔ)充方方程與靜靜力平衡衡方程聯(lián)聯(lián)立，求求解所有有的未知知反力偶或扭扭矩。例題6一兩端固固定的圓圓截面桿桿AB受力偶矩矩作用如如圖。要求：1）作扭矩矩圖；2）若m=10KN.m,材料的[]=60MPa，試選擇此等等直圓截截面桿直直徑。MABClMDll例題7一組合桿桿由實(shí)心心桿1和空心管管2結(jié)合在一一起所組組成，桿桿和管的的材料相相同。剪剪切模量量為G,試求組合合桿承受受外力偶偶矩m以后，桿桿和管內(nèi)內(nèi)的最大大剪應(yīng)力力，并繪繪出橫截截面上應(yīng)應(yīng)力分布布的規(guī)律律。如果果桿和管管的材料料不相同同，結(jié)果果又怎樣樣？12Mn12解：（1）靜力學(xué)學(xué)關(guān)系（2）變形協(xié)協(xié)調(diào)條件件（3）物理關(guān)關(guān)系：代入變形形協(xié)調(diào)方方程，得得補(bǔ)充方方程（4）補(bǔ)充方方程與靜靜力平衡衡方程聯(lián)聯(lián)立，解解得（5）最大剪剪應(yīng)力桿1：管2：第四章扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)六矩形形截面桿桿的自由由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)：非圓截面面軸扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)時(shí)，橫橫截面不不再保持持平面而而發(fā)生翹翹曲。約束扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)：橫截面可以自自由翹曲。橫截面的翹曲曲受到限制。。橫截面上只有有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力橫截面上既有有切應(yīng)力又有有正應(yīng)力矩形截面軸扭扭轉(zhuǎn)時(shí)切應(yīng)力力的分布特點(diǎn)點(diǎn)角點(diǎn)切應(yīng)力等等于零邊緣各點(diǎn)切