計(jì)算,發(fā)現(xiàn),猜想,證實(shí)

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王金坤

前面，我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，經(jīng)歷了從特別的、具體的運(yùn)算入手，摸索、歸納普遍適用的運(yùn)算法則的過(guò)程。

譬如，學(xué)習(xí)有理數(shù)的加法時(shí)，教材提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：

甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行足球比賽。假如甲隊(duì)在主場(chǎng)贏3球，在客場(chǎng)輸2球，那么兩場(chǎng)比賽后甲隊(duì)凈勝1球。上述比賽的過(guò)程和結(jié)果怎么用算式表示？我們可以用算式（+3）+（-2）=+1表示。若改變主場(chǎng)、客場(chǎng)贏球數(shù)，類(lèi)似地，我們可以列出算式（-3）+（+2）=-1，3+2=5，（-3）+（-2）=-5，3+0=3，0+（-3）=-3，（+3）+（-3）=0等。

觀測(cè)上述算式，請(qǐng)思考：當(dāng)兩個(gè)有理數(shù)相加時(shí)，和的符號(hào)、和的絕對(duì)值是怎樣確定的？經(jīng)過(guò)對(duì)比，我們可以很簡(jiǎn)單歸納出有理數(shù)加法法則。

冪的運(yùn)算的基礎(chǔ)是有理數(shù)的運(yùn)算。我們可以嘗試借鑒已有經(jīng)驗(yàn)來(lái)學(xué)習(xí)與摸索。

根據(jù)乘方的意義，我們可以計(jì)算：

102×103=100×1000=100000=105，

102×105=100×100000=10000000

=107，

104×105=10000×100000

=1000000000=109。

那么，怎么計(jì)算10m×10n（m、n是正整數(shù)）呢？

10m×10n

=（[10×10×…×10m個(gè)10]）×（[10×10×…×10n個(gè)10]）

=[10×10×…×10（m+n）個(gè)10]

=10m+n。

假如將底數(shù)10換成3或者[13]，我們還可以用類(lèi)似的方法計(jì)算，發(fā)現(xiàn)：

3m·3n=3m+n，（[13]）m·（[13]）n=（[13]）m+n。

觀測(cè)上述算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

上述算式給了我們直觀的、感性的認(rèn)識(shí)。經(jīng)過(guò)對(duì)比、思考，我們不難發(fā)現(xiàn)：am·an=am+n。那么，這個(gè)猜想是否成立呢？接下來(lái)，我們進(jìn)行證明。

am·an=（[a·a·…·am個(gè)a]）·（[a·a·…·an個(gè)a]）

=[a·a·…·a（m+n）個(gè)a]=am+n。

這就告訴我們，對(duì)于任意的底數(shù)a，當(dāng)m、n為正整數(shù)時(shí)，am·an=am+n。也就是說(shuō)，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。這就是同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)。

上述過(guò)程，是我們應(yīng)用已有的知識(shí)“做〞數(shù)學(xué)的過(guò)程。我們的摸索活動(dòng)大致分為3個(gè)層次：一是冪的底數(shù)和指數(shù)都是具體的數(shù);二是冪的底數(shù)是具體的數(shù)，指數(shù)是用字母表示的數(shù);三是冪的底數(shù)和指數(shù)都是用字母表示的數(shù)。摸索這3個(gè)活動(dòng)的過(guò)程是逐步由具體到抽象，由特別到一般的過(guò)程。

再如，計(jì)算：

（32）3=32·32·32=3×3×3×3×3×3=36，

[（-10）4]2=（-10）4×（-10）4=（-10）8，

[（[12]）3]4=（[12]）3×（[12]）3×（[12]）3×（[12]）3=（[12]）12，

……

于是，我們發(fā)現(xiàn)：

（32）3=36，

[（-10）4]2=（-10）8，

[（[12]）3]4=（[12]）12。

從這些特別的計(jì)算中，我們猜想：（am）n=amn。接下來(lái)，我們進(jìn)行驗(yàn)證：

（am）n=[am·am……amn個(gè)am]=a[m+…+mn個(gè)m]=amn。

這樣就證明了我們的猜想是正確的。于是，歸納得出：對(duì)于任意的底數(shù)a，當(dāng)m、n為正整數(shù)時(shí)，（am）n=amn。也就是說(shuō)，冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。這就是冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)。

對(duì)于上面兩特性質(zhì)的摸索過(guò)程，我們都是在具體的運(yùn)算中首先發(fā)現(xiàn)了結(jié)論，這是一種感性的認(rèn)識(shí)，是一種合情推理，然后通過(guò)一般推演來(lái)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，從而形成理性的認(rèn)識(shí)。這樣，我們不僅加強(qiáng)了解決問(wèn)題的能力，而且感受了證明的樂(lè)趣。

同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)的摸索過(guò)程是一致的，思路都是通過(guò)具體的數(shù)字運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出猜想，再用字母代替數(shù)字，運(yùn)用已學(xué)的運(yùn)