江蘇省南通市2016屆高三下學期第三次調研考試數(shù)學試題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精一、填空題：本大題共

14個小題

,每題

5分，共

70分.1.已知會集

U

1,0,1,2,A

1,1,2

，則

CUA

?！敬鸢浮?/p>

0【解析】試題解析:CUA{0}.考點：會集的補集2.已知復數(shù)z2i2（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復數(shù)為。【答案】34i【解析】2試題解析:z2i=34i,z34i.考點：復數(shù)的看法3.如圖是甲、乙兩位同學在5次數(shù)學測試中得分的莖葉圖，則成績較牢固（方差較?。┑哪且晃煌瑢W的方差為?！敬鸢浮?【解析】試題解析：由于甲、乙兩位同學的平均數(shù)均為90，因此甲、乙兩位同學的方差分別為1(41014)2,1(1010110)222,故成績較牢固555（方差較?。┑哪且晃煌瑢W的方差為2.考點：方差4。如圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值為。學必求其心得，業(yè)必貴于專精【答案】3【解析】試題解析：第一次循環(huán)：S11,n3；第二次循環(huán)：S8,n5;第三次循環(huán)：S3,n5；結束循環(huán),輸出S3.考點：循環(huán)結構流程圖5.已知正三棱柱的各條棱長均為a,圓柱的底面直徑和高均為b，若它們的體積相等，則a3:b3的值為?！敬鸢浮?3【解析】考點：柱的體積學必求其心得，業(yè)必貴于專精6.將一顆骰子連續(xù)扔擲2次,向上的點數(shù)分別為m,n，則點Pm,n在直線y1x下方的概率為.2【答案】【解析】

16試題解析:一顆骰子連續(xù)扔擲2次，共有36種基本事件，其中滿足m1n有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)6種基本事件，故所求概率為61.2366考點:古典概型概率7。函數(shù)fx1的定義域為。2lgx【答案】1,10【解析】試題解析：由題意得12012lgx00lgx11x10，即定義域lgxlgx2為1,10考點：函數(shù)定義域,解簡單分式不等式28.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線x2y21與拋物線y212x有相同的a焦點,則雙曲線的兩條漸近線的方程為.【答案】y2x4【解析】試題解析:由題意得a219a22，而雙曲線ax2y21漸近線的方程為2y1x,即y2xa4考點：雙曲線漸近線學必求其心得，業(yè)必貴于專精9。已知兩曲線fxcosx,gx3sinx,x0,訂交于點A。若兩曲線在點A2處的切線與x軸分別訂交于B,C兩點，則線段BC的長為.【答案】433【解析】試題解析：由題意得cosx3sinxtanx3,x0,x.又326fxsinx,g(x)3cosx因此切線斜率分別為f1,g63，方程分別622為y31(x),y33(x),與x軸交點橫坐標分別為x3,x633,2262266故線段BC的長為3(3)4333考點:導數(shù)幾何意義10.如圖，已知ABC的邊BC的垂直均分線交AC于點P，交BC于點Q。若AB3,AC5,則APAQABAC的值為?！敬鸢浮?16【解析】試題解析：APAQABACPQ2AQABAC2AQABACABACABAC學必求其心得，業(yè)必貴于專精22ABAC92516.考點:向量數(shù)量積11。設數(shù)列an滿足a11,1an11an1nN則100的值,k1為【答案】【解析】

。10010111試題解析：1an11an1an1anan1an0an1an1，因此數(shù)列a1為n11首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即ann,ann，因此1001001100111100aa1.kk1k(k1)kk1101101k1k1k1考點：數(shù)列通項，裂項相消法求和12。已知函數(shù)fxx2axaR,gxf'x,x0（f'x為fx的導函數(shù)）.fx,x0若方程gfx0有四個不等的實根，則a的取值范圍是.【答案】a0或a2【解析】考學必求其心得，業(yè)必貴于專精點：函數(shù)零點13。如圖,矩形ABCD的邊AB在x軸上，極點C,D在函數(shù)yx1x0的圖x像上。記ABm,BCn，則m的最大值為.n2【答案】【解析】

14試題解析：設C(x1,y1),D(x2,y2)，則由y1y2得x11x21，由于x1x2，因此x1x2x21mx2x1x2tt11.其中tx20,x1x21，因此n212(x21)2t242t244x2當且僅當(x2)x2x2t2時取等號考點：基本不等式求最值14.在平面直角坐標系xOy中，圓C1:x2221y22,圓C1:xmymm2,若圓C2上存在點P滿足：過點P向圓C1作兩條切線PA,PB,切點為A,B，ABP的面積為1，則正數(shù)m的取值范圍是.【答案】1,323【解析】試題解析:設P(x，y)，設PA，PB的夾角為2．1222PA．△ABP的面積S=2PAsin2PAPCPC111學必求其心得，業(yè)必貴于專精由2PA3PC12PA22，解得PA2，22因此PC12,因此點P在圓(x1)y4上．因此m2(m1)(m)m2，≤22≤解得1≤m≤323．考點：直線與圓相切，圓與圓地址關系二、解答題(本大題共6小題，共90分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.（本小題滿分14分）已知ABC是銳角三角形，向量mcosA,sinA,ncosB,sinB，且mn。331)求AB的值;（2）若cosB3,AC8，求BC的長.5【答案】（1）AB（2)BC4336【解析】試題解析：(1）先利用向量數(shù)量積得mncosAcosBsinAsinB,再33依照兩角差余弦公式得cosAB0,最后依照范圍AB56,336得AB6(2）已知兩角一邊，求另一邊，應利用正弦定理進行解決：先求BC所對角的正弦值：sinAsinB433，再依照正弦定理,得610BC433試題解析：(1)由于mn，因此mncosAcosBsinAsinBcosAB0333又A,B0,2，因此AB6,5，因此AB,即AB6；3632學必求其心得，業(yè)必貴于專精（2）由于cosB3，B0,，因此sinB4525因此sinAsinB6sinBcoscosBsin664331433525210sinA433由正弦定理,得BC108433.AC4sinB5考點：正弦定理，兩角差余弦公式16。（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐PABCD中,PC平面PAD，ABCD,CD2AB2BC,M,N分別是棱PA,CD的中點。(1）求證：PC平面BMN；(2）求證：平面BMN平面PAC.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】試題解析：（1）證明線面平行，一般利用線面平行判判定理，即從線線平行出發(fā)恩賜證明，而線線平行的搜尋與證明，經(jīng)常需結合平面幾何條件，如本題利用三角形中位線性質定理得MOPC（2）證明面面垂直，一般利用面面垂直判判定理，即從線面垂直出發(fā)恩賜證學必求其心得，業(yè)必貴于專精明,而線面垂直的證明，需多次利用線面垂直的判斷與性質定理：先由平行四邊形ABCN為菱形得BNAC，再由PC平面PAD得PCAD,即BNPC，從而得BN平面PAC試題解析：（1）設ACBNO，連結MO,AN，由于AB1CD,ABCD，N為CD2的中點，因此ABCN,ABCN,因此四邊形ABCN為平行四邊形，因此O為AC的中點，因此MOPC又由于MO平面BMN，PC平面BMN，因此PC平面BMN.（2）(方法一）由于PC平面PDA，AD平面PDA因此PCAD，由（1）同理可得，四邊形ABND為平行四邊形，因此ADBN,因此BNPC由于BCAB,因此平行四邊形ABCN為菱形,因此BNAC,由于PCACCAC平面PAC,PC平面PAC,因此BN平面PAC由于BN平面BMN,因此平面BMN平面PAC.（方法二)連結PN，由于PC平面PDA,PA平面PDA，因此PCPA由于PCMO,因此PAMO,由于PC平面PDA，PD平面PDA，因此PCPD由于N為CD的中點，因此PN1CD，由(1）ANBC1CD,因此ANPN22又由于M為PA的中點，因此PAMN由于MNMOM，MN平面BMN，MO平面BMN因此PA平面BMN，由于PA平面PAC,因此平面PAC平面BMN。學必求其心得，業(yè)必貴于專精考點：線面平行判判定理，面面垂直判判定理17。（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓x2y21ab0的離心率為2，長軸長為4，過橢圓的左極點A作a2b22直線l，分別交橢圓和圓x2y2a2于相異兩點P,Q。1）若直線l的斜率為12，求AQAP的值；2）若PQAP，求實數(shù)的取值范圍。【答案】(1）AP5（2)01AQ6【解析】試題解析：（1）先利用待定系數(shù)法確定橢圓方程及圓的方程x2y2、412學必求其心得，業(yè)必貴于專精x2y24，再聯(lián)立方程組解直線與橢圓，直線與圓的交點縱坐標,最后APyP2,聯(lián)立方程組解直線與橢圓，利用AQ=y求比值（2）設直線l:ykxQAQyQ1直線與圓的交點縱坐標，利用AP1yP1得函數(shù)關系式1k21，最后依照函數(shù)值域得實數(shù)的取值范圍。2a4試題解析：解(1）由條件，c2，解得a2a2b2c2

22因此橢圓的方程為x2y21，圓的方程為x2y2442（方法一）直線l的方程為y1，由y1x2x22得:3x24x402x22y24解得xA2,xp32,因此P2,433224245，又由于原點O到直線l的距離d2因此AP25333AP455因此AQ24485，因此355AQ8565(方法二）由x22y22得3y24y0，因此yP8x2y45AP455因此AQ386;(2）（方法一）若PQAP，則AQ1AP設直線l:ykx2,由x22y24得，2k21x28k240ykx2即x22k21x4k220，因此xA2,xP24k224k24k2k21，得P2,2k212k1學必求其心得，業(yè)必貴于專精24k224k216k24k214因此AP2216,即AP，同理1222AQ421因此k2111，由題意：k20,因此01.421k1k2k21AQyQ4k1(方法二）由方法一知,1k211112k21由題意：k20，因此01.考點：直線與橢圓的交點18。（本小題滿分14分）某旅店在裝修時，為了雅觀，欲將客房的窗戶設計成半徑為1m的圓形，并用四根木條將圓分成以下列圖的9個地域，其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形,現(xiàn)計劃將矩形ABCD地域設計為可推拉的窗口.（1)若窗口ABCD為正方形，且面積大于1m2(木條寬度忽略不計），4求四根木條總長的取值范圍；（2）若四根木條總長為6m，求窗口ABCD面積的最大值.【答案】(1）42x215(2）47m2【解析】試題解析：(1）長度與面積關系問題，可以考慮利用解不等式求范學必求其心得，業(yè)必貴于專精圍,先依照直線與圓地址關系得弦長與圓心到直線距離（即正方形邊長一半）關系，再依照面積大于14m2得一根木條長范圍，注意四根木條將圓分成9個地域的隱含條件：x2(2）思路為長度必然，求面積最值，可以考慮利用基本不等式求最值，設AB所在木條長為am，CD所在木條長為bm，則ab3,而圓中垂徑定理得AB21b2,BD21a2,44a28abb因此S矩形ABCD2222841b1a4b24a22274424試題解析：解（1）設一根木條長為xcm，則正方形的邊長為221x4x2m2由于121,即15S四邊形ABCD4，因此4x42x又由于四根木條將圓分成9個地域,因此x2因此42x215；（2）（方法一）設AB所在木條長為am，則BC所在木條長為3am由于a0,2,3a0,2，因此a1,222a3a2246a3a2S矩形ABCD4114a43a24a204a4設faa46a3a224a20，f'a4a318a22a242a12a3a4令f'a0，得a3,或a1（舍去），或a4（舍去）2列表以下：a1,3332,222f'a+0—fa極大學必求其心得，業(yè)必貴于專精值因此當33497a2時,fxmax2，即Smax4f(方法二）設AB所在木條長為am，CD所在木條長為bm由條件，2a+2b6，即ab3由于a,b0,2，因此b3a0,2,從而a,b1,2由于ABb2a2b2a222214,BD214，S矩形ABCD414144b4aa28a2b2b由于4b24a2827224當且僅當ab31,2時，S矩形ABCD724答：窗口ABCD面積的最大值為7m24考點:直線與圓地址關系,基本不等式求最值19（.本小題滿分16分）已知數(shù)列an,bn均為各項都不相等的數(shù)列,Sn為an的前n項和,an1bnSn1nN.(1）若a11,bnn，求a4的值；2（2）若an是公比為q的等比數(shù)列，求證：存在實數(shù)，使得bn為等比數(shù)列；3）若an的各項都不為零,bn是公差為d的等差數(shù)列，求證：a2,a3,,an,成等差數(shù)列的充要條件是d12.【答案】（1）a48（2）詳見解析（3）詳見解析【解析】試題解析：（1）將條件化到項之間關系：當n2時,an1bnanbn1an，直4,a36,a48(2）先化簡條件an1bnn11qn接依次計算：a2Sn1：qbn1qa11q，學必求其心得，業(yè)必貴于專精n1解出bn11111，要使bn為等比數(shù)列，可取q，此時qa1q1q1bn1（3）先將條件化到an項之間關系：當n2時，b1qnan,an1bnbnananan1dan1bnanbn1anbndan,1dan1an，從而an1ananan11d，再從充分性及必要性兩方面進行論證，充分性證明實質依照anan11,利用疊加法求通項,必要性證明實質是由1d求值an1ananan11d試題解析:解（1）由a11,bnn，知a24,a36,a482（2)(方法一）由于an1bnSn1，因此a1qnbna11qn11q11qn111n1n因此qbn1qa1q，即bn1qa1q1q1111n因此存在實數(shù)，使得bn11q1qa1q又由于bn0（否則bn為常數(shù)數(shù)列與題意不符)因此當n2，bn1，此時bn為等比數(shù)列bn1q因此存在實數(shù)1，是bn為等比數(shù)列；1q（方法二）由于an1bnSn1①因此當n2時，anbn1Sn11②①-②得，當n2時，an1bnanbn1an③anan11由③得，當n2時，bnan1bn1an1qbn1q因此bn11bn11，又由于bn10（否則bn為常數(shù)數(shù)列與題意1q1qqq1不符)學必求其心得，業(yè)必貴于專精因此存在實數(shù)1q，是bn為等比數(shù)列；1(3)由于bn為公差為d的等差數(shù)列，因此由③得,當n2時，an1bnanbndan即an1anbn1dan,由于an，bn各項均不相等，因此an1an0,1d0因此當n2時，1bnan④dan1anbn1an1當n3時，1danan1⑤anan1bnbn1d由④—⑤，適合n3時an1ananan11d1d⑥先證充分性:即由d1證明a2,a3,,an,成等差數(shù)列21，由⑥得aanaan11由于daa2n1nnn1因此當nanaaan13時,a1an1nnn1又an0,因此an1ananan1即a2,a3,,an,成等差數(shù)列；再證必要性:即由a2,a3,,an,成等差數(shù)列證明d12由于a2,a3,,an,成等差數(shù)列，因此當n3時,an1ananan1anan1anan11d因此由⑥得，anan1anan1anan1d1因此d1，因此a2,a3,,an,成等差數(shù)列的充要條件是d1.22考點：等差與等比數(shù)列20.（本小題滿分16分）設函數(shù)fxxexasinxcosx（aR，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).（1）當a0時，求fx的極值；學必求其心得，業(yè)必貴于專精（2）若對于任意的x0,，fx0恒建立,求a的取值范圍；2（3)可否存在實數(shù)a，使得函數(shù)fx在區(qū)間0,上有兩個零點？若2存在,求出a的取值范圍；若不存在，請說明原由.【答案】（1）極小值為f11，無極大值；（2）,1（3）不存在e【解析】試題解析：(1）當a0時，研究的函數(shù)不含參數(shù)利用導數(shù)求極值先,:求導函數(shù)fxexx1，再在定義域內求導函數(shù)零點x1，列表解析單調性變化趨勢，得出結論函數(shù)fx的極小值為f11，無極大值；e（2）實質是fxmin0，當a0時，由于sinxcosx0,因此fx0恒建立;當0a1時，由于fx=exx1acos2xe001acos01a0,fxf00；當a1時，存在0,4，使得f'0，且在0,內，fxf00，舍去（3）若存在，則函數(shù)fx在區(qū)間0,2上不是單調函數(shù)，必有極值點，因此a1,f'x0在0,2上存在唯一解x0，當x0,x0時，fxf00，即fx在0,x0無零點；當xx0,2時，fx在x0,2上至多有一個零點，因此不存在實數(shù)a,使得函數(shù)fx在區(qū)間0,2上有兩個零點。試題解析：解：（1）當a0時，fxxex,fxexx1令fx0，得x1列表以下：x,1—11,f'x+0—學必求其心得，業(yè)必貴于專精fx極小值因此函數(shù)fx的極小值為f11，無極大值;e①當a0時，由于對于任意x0,,有sinxcosx02因此fx0恒建立，當a0時,吻合題意；②當0a1時,由于fx=exx1acos2xe001acos01a0因此函數(shù)fx在0,2上為增函數(shù),因此fxf00,即當0a1，吻合題意;③當a1時，f'01a0,f'e41044因此存在0,4，使得f'0，且在0,內，f'x0因此fx在0,上為減函數(shù)，因此fxf00即當a1時,不吻合題意綜上所述，a的取值范圍是,1；不存在實數(shù)a，使得函數(shù)fx在區(qū)間0,上有兩個零點,由（2）知，2當a1時,fx在0,2上是增函數(shù)，且f00，故函數(shù)fx在區(qū)間0,2上無零點當a1時，f'x=exx1acos2x令gxexx1acos2x，g'xexx22asin2x當x0,2時，恒有g'x0，因此gx在0,上是增函數(shù)2由g01a0,g2e221a0學必求其心得，業(yè)必貴于專精故gx在0,2上存在唯一的零點x0,即方程f'x0在0,上存在唯一解2x0且當x0,x0時，f'x0,當xx0,2，f'x0即函數(shù)fx在0,x0上單調遞減，在x0,上單調遞加，2當x0,x0時，fxf00，即fx在0,x0無零點;當xx0,時，fx0f0,f2e2022因此fx在x0,2上有唯一零點，因此，當a1時，fx在0,2上有一個零點綜上所述，不存在實數(shù)a，使得函數(shù)fx在區(qū)間0,2上有兩個零點?？键c:利用導數(shù)求極值，利用導數(shù)研究函數(shù)零點，利用導數(shù)研究不等式附加題21。A【選修4-1】幾何證明選講（本小題滿分10分）在ABC中，A2B,C的均分線交AB于點D,A的均分線交CD于點E.求證：ADBCBDAC。【答案】詳見解析學必求其心得，業(yè)必貴于專精【解析】試題解析：研究線段比值問題，一般利用三角形相似，由于ECADCB，CAEB，因此ACDBCD，從而AEAC，以下轉變成證BDBC明ADAE,這可利用角相等推出。試題解析:解：由于CAB2B,AE為CAB的均分線，因此CAEB又由于CD是C的均分線，因此ECADCB因此ACDBCD，因此BDAEBCAC，即AEBCBDAC又由于AEDCAEECA,ADEBDCB因此AEDADE，因此ADAE因此ADBCBDAC考點：三角形相似21.B【選修4-2：矩陣與變換】(本小題滿分10分)在平面直角坐標系xOy中，直線xy20在矩陣A1a對應的變換12作用下獲取直線xyb0a,bR，求ab的值.【答案】ab4【解析】試題解析：先依照矩陣運算求軌跡：由1axxay，得12yx2yxayx2yb0，再依照兩直線重合得a21,b2，得ab422試題解析:解:設Px,y是直線xy20上一點,由1axxay，得12yx2yxayx2yb0即xa2yb0，由條件得，a21,b22222解得a0，因此ab4b4學必求其心得，業(yè)必貴于專精考點：矩陣運算21。C【選修4-4:坐標系與參數(shù)方程】（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x2cos3（為參y2sin數(shù)）以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為6.若直線l與曲線C交于A,B，求線段AB的長?！敬鸢浮?3【解析】試題解析:先依照cos2+sin2=1消去參數(shù)得曲線C的一般方程：2y24，依照tany將直線l的極坐標方程化為直角坐標方程x3x3x32y,最后依照圓中垂徑定理得弦長241332試題解析：解：曲線C的一般方程為x24,表示以3,0為圓心，3y22為半徑的圓直線l的直角坐標方程為y3x，因此圓心到直線的距離為33232因此線段AB的長為2413。2考點:參數(shù)方程化一般方程,極坐標方程化為直角坐標方程，垂徑定理21。D【選修4—5：不等式選講】（本小題滿分10分）已知x0,y0,z0，且xyz1，求證：x3y3z3xyyzxz【答案】詳見解析【解析】試題解析：依照三元均值不等式得x3y3z33xyz,x3y313xy，y3z313yz,x3z313xz，四式相加，得x3y3z3xyyzxz學必求其心得，業(yè)必貴于專精試題解析：解：由于x0,y0,z0因此x3y3z33xyzx3y313xy，y3z313yz，x3z313xz將以上各式相加，得3x33y33z333xyz3xy3yz3xz又由于xyz1，從而x3y3z3xyyzxz考點：三元均值不等式22.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y22pxp0上一點P3,m到4準線的距離與到原點O的距離相等,拋物線的焦點為F。1）求拋物線的方程；2）若A為拋物線上一點（異于原點O）,點A處的切線交x軸于點B,過A作準線的垂線，垂足為點E.試判斷四邊形AEBF的形狀，并證明你的結論.【答案】（1)y26x（2）菱形?！窘馕觥吭囶}解析：（1）利用拋物線定義化簡條件“點P3,m到準線的距離為4PO"得POPF，即p3,p3（2）先確定點A處切線的斜率為y3，寫出440切線方程yy03x1y02，求出點B坐標1y02,0，又E3,y0,F3,0，y06622因此FABE，再由拋物線的定義，得A