新教材人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊(cè)113空間中的平行關(guān)系 教學(xué)課件

11.3.1平行直線與異面直線11.3.2直線與平面平行P51

11.3.3平面與平面平行P121

11.3空間中的平行關(guān)系11.3.1平行直線與異面直線11.3.2直線與平面平行一、平行直線1.空間平行線的傳遞性文字語(yǔ)言平行于___________的兩條直線互相平行符號(hào)語(yǔ)言如果a∥b,a∥c,則b∥c作用證明兩條直線平行同一條直線一、平行直線文字語(yǔ)言平行于___________的兩條直線互2.等角定理如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別_________,并且方向_____,那么這兩個(gè)角相等.對(duì)應(yīng)平行相同2.等角定理對(duì)應(yīng)平行相同【思考】(1)在等角定理中如果去掉方向相同,這兩個(gè)角還相等嗎?提示:可能相等,也可能互補(bǔ),只有這兩種情況.(2)等角定理有什么作用?提示:可以證明兩個(gè)角相等.【思考】二、異面直線1.定義空間中既不平行也不相交的直線.2.畫法

3.異面直線的一種判斷方法與一個(gè)平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線異面.二、異面直線【思考】(1)空間中兩條不相交的直線是異面直線嗎?提示:不一定.空間中不相交的直線可能是異面直線,也可能是平行直線.(2)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎?提示:不一定.可能平行、相交或異面.【思考】三、空間四邊形1.空間四邊形的定義順次連接____________所構(gòu)成的圖形稱為空間四邊形.其中4個(gè)點(diǎn)都是空間四邊形的頂點(diǎn).2.空間四邊形的對(duì)角線連接___________________稱為空間四邊形的對(duì)角線.不共面的4點(diǎn)不相鄰頂點(diǎn)間的線段三、空間四邊形不共面的4點(diǎn)不相鄰頂點(diǎn)間的線段【思考】(1)空間四邊形與四面體是一回事嗎?提示:不是一回事.空間四邊形可以看成由一個(gè)四面體的四條棱構(gòu)成的圖形,空間四邊形不是四面體.(2)梯形是空間四邊形嗎?提示:不是.因?yàn)樘菪问且粋€(gè)平面圖形,它的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)平面上,所以它不是空間四邊形.【思考】【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線. (

)(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行. (

)(3)若a與b是異面直線且a與c也是異面直線,則b與c是異面直線. (

)【基礎(chǔ)小測(cè)】提示:(1)×.沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是平行直線或異面直線.(2)×.在空間中垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行,例如在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,AB,AD都與棱AA′垂直,但是這兩條直線相交.(3)×.若a,b是異面直線,a,c是異面直線,那么b,c可以平行,可以相交,可以異面.提示:(1)×.沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是平行直線或異面直線.2.已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,則∠PQR等于 (

)A.30°B.30°或150°C.150°D.以上結(jié)論都不對(duì)【解析】選B.因?yàn)锳B∥PQ,BC∥QR,所以∠PQR與∠ABC相等或互補(bǔ).因?yàn)椤螦BC=30°,所以∠PQR=30°或150°.2.已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,則∠PQ3.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別為AA1,CC1的中點(diǎn),則四邊形D1PBQ是 (

)

A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.空間四邊形【解析】選B.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,直接計(jì)算可知四邊形D1PBQ各邊均為,又四邊形D1PBQ是平行四邊形,所以四邊形D1PBQ是菱形.3.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)在正方體ABCD-A1B1C14.正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是線段C1D,BC的中點(diǎn),則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是

.

【解析】直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1,EF?平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交.答案:相交4.正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是線段C1類型一兩直線的平行(邏輯推理、直觀想象)【典例】1.在如圖所示三棱臺(tái)中,平行的直線有幾對(duì)?

類型一兩直線的平行(邏輯推理、直觀想象)2.如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC

AD,BE

FA,G,H分別為FA,FD的中點(diǎn).(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)判斷C,D,F,E四點(diǎn)是否共面?為什么?

2.如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD【思路導(dǎo)引】1.平行直線是在一個(gè)平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)的直線,可在三個(gè)側(cè)面中尋找.2.(1)證明四邊形BCHG的一組對(duì)邊平行且相等.(2)只需證明C,H,F,E四點(diǎn)共面,即可推出C,D,F,E四點(diǎn)共面.【思路導(dǎo)引】1.平行直線是在一個(gè)平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)的直線,可在【解析】1.由題知三棱臺(tái)中平行的直線:AB∥A1B1,BC∥B1C1,AC∥A1C1,共有三對(duì).2.(1)由已知FG=GA,FH=HD,可得GH

AD.又BC

AD,所以GH

BC,所以四邊形BCHG為平行四邊形.(2)共面.理由:由BE

AF,G為FA的中點(diǎn)知,BE

FG,所以四邊形BEFG為平行四邊形,所以EF∥BG.由(1)知BG

CH,所以EF∥CH,所以EF與CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四點(diǎn)共面.【解析】1.由題知三棱臺(tái)中平行的直線:【解題策略】證明空間兩條直線平行的方法(1)平面幾何法.三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等.(2)定義法.用定義證明兩條直線平行,要證明兩個(gè)方面:一是兩條直線在同一平面內(nèi);二是兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn).【解題策略】(3)空間平行線的傳遞性.用空間平行線的傳遞性證明兩條直線平行,只需找到直線b,使得a∥b,同時(shí)b∥c,由空間平行線的傳遞性即可得到a∥c.(3)空間平行線的傳遞性.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2020·佛山高一檢測(cè))已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱長(zhǎng)均為2,D為CC1的中點(diǎn).(1)求多面體ABD-A1B1C1的體積;(2)設(shè)A1C與AD的交點(diǎn)為E,B1C與BD的交點(diǎn)為F,求證:A1B1∥EF.

【跟蹤訓(xùn)練】【解析】(1)多面體ABD-A1B1C1的體積等于三棱柱ABC-A1B1C1的體積減去三棱錐D-ABC的體積,即(2)在正方形ACC1A1中,,在正方形BCC1B1中,所以所以在三角形DAB中,有EF∥AB,由于AB∥A1B1,所以A1B1∥EF.【解析】(1)多面體ABD-A1B1C1的體積等于三棱柱AB2.在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分別為BC和AD的中點(diǎn),將平面DCEF沿EF翻折起來(lái),使CD到C′D′的位置,G,H分別為AD′和BC′的中點(diǎn),求證:四邊形EFGH為平行四邊形.2.在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分別為BC和AD的中【證明】因?yàn)樵谔菪蜛BCD中,AB∥CD,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),所以EF∥AB且EF=(AB+CD),又C′D′∥EF,EF∥AB,所以C′D′∥AB.因?yàn)镚,H分別為AD′,BC′的中點(diǎn),【證明】因?yàn)樵谔菪蜛BCD中,AB∥CD,E,F分別為BC,所以GH∥AB且GH=(AB+C′D′)=(AB+CD),所以GHEF,所以四邊形EFGH為平行四邊形.所以GH∥AB且GH=(AB+C′D′)=(AB類型二異面直線的定義及應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)【典例】1.一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:①AB⊥EF;②EF與MN是異面直線;③MN∥CD.其中,正確結(jié)論的序號(hào)是 (

)A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

類型二異面直線的定義及應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)2.已知a,b,c是三條直線,且a與b異面,b與c異面,試判斷a與c的位置關(guān)系,并畫圖說(shuō)明.【思路導(dǎo)引】1.將正方體表面的展開(kāi)圖還原成正方體,在正方體中可以直觀作出判斷.2.選擇恰當(dāng)?shù)钠矫孀鳛橐r托,畫出可能出現(xiàn)的情況.2.已知a,b,c是三條直線,且a與b異面,b與c異面,試判【解析】1.選A.把正方體的平面展開(kāi)圖還原到原來(lái)的正方體如圖所示,AB⊥EF,EF與MN是異面直線,MN⊥CD,只有①②正確.【解析】1.選A.把正方體的平面展開(kāi)圖還原到原來(lái)的正方體如圖2.直線a與c的位置關(guān)系有三種,如圖所示.直線a與c可能平行(如圖①所示),也可能相交(如圖②所示),還可能異面(如圖③所示).2.直線a與c的位置關(guān)系有三種,如圖所示.【解題策略】1.判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅(1)建立空間觀念,全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系.特別關(guān)注異面直線.(2)重視正方體等常見(jiàn)幾何體模型的應(yīng)用,會(huì)舉例說(shuō)明兩條直線的位置關(guān)系.2.判定兩條直線是異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交.(2)利用結(jié)論:與一個(gè)平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線異面.【解題策略】【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖,a,b是異面直線,A,B∈a,C,D∈b,E,F分別是線段AC和BD的中點(diǎn),判斷EF和a,EF和b的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【跟蹤訓(xùn)練】【解析】假設(shè)EF和a共面,設(shè)這個(gè)平面為α,則EF?α,a?α.所以A,B,E,F∈α,所以BF?α,AE?α.又因?yàn)镃∈AE,D∈BF,所以C,D∈α.于是b?α.從而a,b共面于α,這與題設(shè)條件a,b是異面直線相矛盾.所以EF和a共面的假設(shè)不成立,所以EF和a是異面直線.同理可得EF和b也是異面直線.【解析】假設(shè)EF和a共面,設(shè)這個(gè)平面為α,則EF?α,a?2.如圖所示,已知α∩β=a,b?β,a∩b=A,且c?α,c∥a.求證:b,c為異面直線.

2.如圖所示,已知α∩β=a,b?β,a∩b=A,且c?α,【證明】假設(shè)b,c不是異面直線,則b,c一定相交或平行.若b,c相交于一點(diǎn)P,b?β,c?α,又α∩β=a,則P∈b?β,且P∈c?α,所以交點(diǎn)P一定在α,β的交線上,即P∈a,所以a∩c=P,這與已知a∥c矛盾,故b,c不可能相交.若b∥c,又已知a∥c,則a∥b,這與已知條件a∩b=A矛盾,故b,c不可能平行.綜上可知b,c為異面直線.【證明】假設(shè)b,c不是異面直線,則b,c一定相交或平行.類型三等角定理的應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)【典例】在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分別是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中點(diǎn).求證:(1)四邊形EFF1E1為平行四邊形.(2)∠EA1F=∠E1CF1.

類型三等角定理的應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)【思路導(dǎo)引】(1)欲證四邊形EFF1E1為平行四邊形可證其一組對(duì)邊平行且相等.(2)可結(jié)合(1)利用等角定理證明.【思路導(dǎo)引】(1)欲證四邊形EFF1E1為平行四邊形可證其一【證明】(1)連接BD,B1D1,在△ABD中,因?yàn)镋,F分別為AB,AD的中點(diǎn),所以EF

BD,同理E1F1

B1D1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因?yàn)锳A1DD1,AA1BB1,所以B1BDD1,所以四邊形BDD1B1是平行四邊形,所以BDB1D1,所以EF

E1F1.所以四邊形EFF1E1為平行四邊形.

【證明】(1)連接BD,B1D1,在△ABD中,因?yàn)镋,F分(2)取A1B1的中點(diǎn)M,連接BM,F1M,因?yàn)镸F1

B1C1,B1C1

BC,所以MF1

BC,所以四邊形BCF1M是平行四邊形,所以MB∥CF1,因?yàn)锳1M

EB,所以四邊形EBMA1是平行四邊形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,同理可證:A1F∥E1C,又∠EA1F與∠F1CE1兩邊的方向均相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.(2)取A1B1的中點(diǎn)M,連接BM,F1M,【解題策略】證明角相等的方法一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.【解題策略】【跟蹤訓(xùn)練】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn).

(1)求證:四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)求證:∠BMC=∠B1M1C1.

【跟蹤訓(xùn)練】【證明】(1)因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體.所以AD=A1D1,且AD∥A1D1,又M,M1分別為棱AD,A1D1的中點(diǎn),所以AM=A1M1且AM∥A1M1,所以四邊形AMM1A1為平行四邊形,所以MM1=AA1且MM1∥AA1.又AA1=BB1且AA1∥BB1,所以MM1=BB1且MM1∥BB1,所以四邊形BB1M1M為平行四邊形.【證明】(1)因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體.(2)方法一:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,所以B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,所以C1M1∥CM.因?yàn)椤螧MC和∠B1M1C1方向相同,所以∠BMC=∠B1M1C1.方法二:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,所以B1M1=BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,所以C1M1=CM.又因?yàn)锽1C1=BC,所以△BCM≌△B1C1M1,所以∠BMC=∠B1M1C1.(2)方法一:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,1.如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”,那么正方體的12條棱中,異面直線共有 (

)

A.12對(duì) B.24對(duì) C.36對(duì) D.48對(duì)

1.如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”,那么正方體的12條棱中,異【解析】選B.如圖所示,正方體中與AB異面的棱有CC1,DD1,B1C1,A1D1.因?yàn)楦骼饩哂邢嗤奈恢?且正方體有12條棱,排除兩棱的重復(fù)計(jì)算,所以異面直線共有=24對(duì).【解析】選B.如圖所示,正方體中與AB異面的棱有CC1,DD2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關(guān)系是 (

)A.平行或異面 B.相交或異面C.異面 D.相交【解析】選B.假設(shè)a與b是異面直線,而c∥a,則c顯然與b不平行(否則c∥b,則有a∥b,矛盾),因此c與b可能相交或異面.2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關(guān)3.(多選題)(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)下列結(jié)論中,錯(cuò)誤的是(

)A.如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等B.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角或直角相等C.如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)D.如果兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線,那么這兩條直線互相垂直3.(多選題)(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)下列結(jié)論中,錯(cuò)誤的是【解析】選AD.A中,如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;B中,如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角或直角相等,故選項(xiàng)B正確;C中,如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直,兩角相等或互補(bǔ),故選項(xiàng)C正確;D中,如果兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線,那么這兩條直線可能為異面直線,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【解析】選AD.A中,如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平4.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分別是AB,AC上的點(diǎn),且AE∶EB=AF∶FC,則EF與B1C1的位置關(guān)系是

.

4.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分別是AB,【解析】在△ABC中,因?yàn)锳E∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC.又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.答案:平行【解析】在△ABC中,因?yàn)锳E∶EB=AF∶FC,5.已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,AD的中點(diǎn),求證:∠DNM=∠D1A1C1.5.已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N【證明】如圖,連接AC,在△ACD中,因?yàn)镸,N分別是CD,AD的中點(diǎn),所以MN是△ACD的中位線,所以MN∥AC,MN=AC.由正方體的性質(zhì),得AC∥A1C1,AC=A1C1,所以MN∥A1C1,又因?yàn)镹D∥A1D1,所以∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ).而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的一個(gè)銳角,所以∠DNM=∠D1A1C1.

【證明】如圖,連接AC,在△ACD中,因?yàn)镸,N分別是CD,11.3.2直線與平面平行

11.3.2直線與平面平行1.直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線在平面內(nèi)直線在平面外直線與平面相交直線與平面平行公共點(diǎn)_______________符號(hào)表示a?αa∩α=Aa∥α圖形表示

無(wú)數(shù)個(gè)1個(gè)0個(gè)1.直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線在直線在平面外直線與平面【思考】“直線在平面外”與“直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)”是相同的意思嗎?提示:不相同.前者包括直線與平面平行及直線與平面相交這兩種情況,而后者僅指直線與平面平行.【思考】2.直線與平面平行的判定定理判定定理符號(hào)表示圖形表示如果平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線_____,那么這條直線與這個(gè)平面平行如果l?α,m?α,l∥m,則l∥α

平行2.直線與平面平行的判定定理判定定理符號(hào)表示圖形表示如果平面【思考】(1)直線與平面平行的判定定理中“平面外”可以去掉嗎?試畫圖舉例說(shuō)明.提示:不可以.如圖所示,a∥b,b?α,但是a與α不平行,實(shí)際上a?α.

【思考】(2)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線,則這條直線和這個(gè)平面平行,對(duì)嗎?提示:根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知該結(jié)論錯(cuò)誤.(3)直線與平面平行的判定定理的本質(zhì)是將直線與平面平行轉(zhuǎn)化為什么?提示:將直線與平面平行轉(zhuǎn)化為直線與直線平行.(2)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線,則這條直線和這個(gè)3.直線與平面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理符號(hào)表示圖形表示如果一條直線與一個(gè)平面平行,且經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面_____,那么這條直線就與兩平面的交線平行如果l∥α,l?β,α∩β=m,則l∥m

相交3.直線與平面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理符號(hào)表示圖形表示如果一條【思考】(1)已知直線a∥平面α,過(guò)平面α內(nèi)的點(diǎn)P如何作與直線a平行的直線?提示:經(jīng)過(guò)直線a和點(diǎn)P作一個(gè)平面和已知平面相交,則交線和已知直線a平行,此交線在平面α內(nèi),就是要作的直線.(2)直線與平面平行的性質(zhì)定理有什么作用?提示:定理的作用:①線面平行?線線平行;②畫一條直線與已知直線平行.【思考】(3)線面平行的性質(zhì)定理給出了線面平行的什么條件?提示:由線面平行的性質(zhì)定理以及充要條件的定義可知:線面平行的性質(zhì)定理給出了線面平行的一個(gè)必要條件.(4)若a∥α,b?α,則直線a一定與直線b平行嗎?提示:不一定.由a∥α可知直線a與平面α無(wú)公共點(diǎn),又b?α,所以a與b無(wú)公共點(diǎn),所以直線a與直線b平行或異面.(3)線面平行的性質(zhì)定理給出了線面平行的什么條件?【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)若直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行,則a∥α. (

)(2)若直線l∥平面α,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交. (

)(3)若直線a∥平面α,直線a∥直線b,則直線b∥平面α. (

)(4)若直線a,b和平面α滿足a∥α,b∥α,則a∥b. (

)【基礎(chǔ)小測(cè)】提示:(1)×.若直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行,則這條直線可能在這個(gè)平面內(nèi),也可能與這個(gè)平面平行,所以該命題錯(cuò)誤.(2)√.若直線l∥平面α,則l與平面α無(wú)公共點(diǎn),所以l與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交.(3)×.直線b有可能在平面α內(nèi).(4)×.若直線a,b和平面α滿足a∥α,b∥α,則a與b平行、相交和異面都有可能.提示:(1)×.若直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行,則這條直線2.下列說(shuō)法正確的是 (

)A.若直線a∥平面α,直線b∥平面α,則直線a∥直線bB.若直線a∥平面α,直線a與直線b相交,則直線b與平面α相交C.若直線a∥平面α,直線a∥直線b,則直線b∥平面αD.若直線a∥平面α,則直線a與平面α內(nèi)任意一條直線都無(wú)公共點(diǎn)【解析】選D.A中直線a與直線b也可能異面、相交,所以不正確;B中,直線b也可能與平面α平行,所以不正確;C中,直線b也可能在平面α內(nèi),所以不正確;根據(jù)直線與平面平行的定義知D正確.2.下列說(shuō)法正確的是 ()3.若a,b是異面直線,a∥α,則b與α的關(guān)系為 (

)A.b∥α或b?αB.b與α相交或b?α或b∥αC.b與α相交或b∥αD.b與α相交或b?α3.若a,b是異面直線,a∥α,則b與α的關(guān)系為 ()【解析】選B.長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,①A′D′與AB異面,A′D′∥平面BCC′B′,而AB與平面BCC′B′相交;②A′D′與BB′異面,A′D′∥平面BCC′B′,而B(niǎo)B′在平面BCC′B′內(nèi);③分別取AB,A′B′中點(diǎn)E,F,EF與A′D′異面,A′D′∥平面BCC′B′,而EF與平面BCC′B′平行.【解析】選B.長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,4.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)如圖所示,在空間四邊形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若

,則MN與平面BDC的位置關(guān)系是

.

4.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)如圖所示,在空間四邊形ABCD【解析】因?yàn)樵凇鰽BD,中,所以MN∥BD,又因?yàn)镸N?平面BCD,BD?平面BCD,所以MN∥平面BCD.答案:平行

【解析】因?yàn)樵凇鰽BD,中,類型一直線與平面平行的判定(邏輯推理)【典例】1.平面α與△ABC的兩邊AB,AC分別交于D,E,且

如圖所示,則BC與平面α的位置關(guān)系是 (

)A.平行 B.相交 C.異面 D.BC?α

類型一直線與平面平行的判定(邏輯推理)2.如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分別是BC,C1D1,AD1,BD的中點(diǎn).(1)求證:PQ∥平面DCC1D1.(2)求證:EF∥平面BB1D1D.

2.如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E【思路導(dǎo)引】1.由可以推出ED∥BC.2.(1)充分借助于P,Q為中點(diǎn)這一條件,用三角形中位線的性質(zhì)證明直線與直線平行.(2)要證明EF∥平面BB1D1D,需要在平面BB1D1D內(nèi)找到與EF平行的直線,此直線與EF構(gòu)成平行四邊形.【思路導(dǎo)引】【解析】1.選A.因?yàn)?所以ED∥BC,又DE?α,BC?α,所以BC∥α.2.(1)連接AC,D1C,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以Q是AC的中點(diǎn),又P是AD1的中點(diǎn),所以PQ∥D1C,因?yàn)镻Q?平面DCC1D1,D1C?平面DCC1D1,所以PQ∥平面DCC1D1.【解析】1.選A.因?yàn)?所以ED∥BC,(2)連接D1Q,QE,因?yàn)镼,E分別是BD,BC的中點(diǎn),所以QE∥DC,QE=DC,(2)連接D1Q,QE,因?yàn)镕是C1D1的中點(diǎn),四邊形DCC1D1是正方形,所以D1F∥DC,D1F=DC,所以QE∥D1F,QE=D1F,所以四邊形QEFD1是平行四邊形,所以EF∥QD1,因?yàn)镋F?平面BB1D1D,QD1?平面BB1D1D,所以EF∥平面BB1D1D.因?yàn)镕是C1D1的中點(diǎn),四邊形DCC1D1是正方形,【解題策略】應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟【解題策略】上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵,其常用方法有:①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法;②三角形中位線法;③平行四邊形法;④成比例線段法.提醒:線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)(1)條件羅列不全,最易忘記的條件是“直線在平面外”.(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線.上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵,其常用方法有:【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖,在三棱臺(tái)DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn).求證:BD∥平面FGH.

【跟蹤訓(xùn)練】【證明】連接DG,在三棱臺(tái)DEF-ABC中,AB=2DE,G為AC的中點(diǎn),可得DF∥GC,DF=GC,所以四邊形DFCG為平行四邊形,連接CD,設(shè)CD∩FG=O,則O為CD的中點(diǎn),連接OH.又H為BC的中點(diǎn),所以O(shè)H∥BD.又OH?平面FGH,BD?平面FGH,所以BD∥平面FGH.【證明】連接DG,在三棱臺(tái)DEF-ABC中,AB=2DE,G2.如圖,已知有公共邊AB的兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi),M,N分別是對(duì)角線AC,BF上的點(diǎn),且AM=FN,求證:MN∥平面CBE.

2.如圖,已知有公共邊AB的兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABE【證明】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是a,AM=FN=x,作MP⊥BC,NQ⊥BE,則MP∥AB,NQ∥AB,所以MP∥NQ,又NQ=a-x,MP=a-x,所以MPNQ,即MPQN是平行四邊形,所以MN∥PQ,因?yàn)镻Q?平面CBE,MN?平面CBE,所以MN∥平面CBE.【證明】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是a,AM=FN=x,作MP⊥BC,N【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,四棱錐E-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,M,N分別為BC,DE的中點(diǎn).證明:CN∥平面AEM.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】【證明】取AE中點(diǎn)F,連接MF,FN.因?yàn)樵凇鰽ED中,F,N分別為EA,ED中點(diǎn),所以FN

AD.又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以BC

AD.又M是BC中點(diǎn),所以MC

AD,所以FN

MC.所以四邊形FMCN為平行四邊形,所以CN∥MF,又CN?平面AEM,MF?平面AEM,所以CN∥平面AEM.【證明】取AE中點(diǎn)F,連接MF,FN.類型二直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用(邏輯推理)【典例】如圖所示,已知四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)P是平面ABCD外的一點(diǎn),M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH,求證:PA∥GH.

類型二直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用(邏輯推理)【思路導(dǎo)引】要證PA∥GH,觀察到過(guò)PA的平面PAHG與平面BDM相交于GH,需要先證PA∥平面BDM.【思路導(dǎo)引】【證明】連接AC,設(shè)AC∩BD=O,連接MO.【證明】連接AC,設(shè)AC∩BD=O,連接MO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,所以O(shè)是AC的中點(diǎn),又M是PC的中點(diǎn),所以MO∥PA.又MO?平面BDM,PA?平面BDM,所以PA∥平面BDM.又因?yàn)槠矫鍮DM∩平面PAHG=GH,PA?平面PAHG,所以PA∥GH.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,【變式探究】將本例條件“M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH”改為“點(diǎn)E在線段PA上,PC∥平面BDE”,求證:AE=PE.【證明】連接AC交BD于點(diǎn)F,連接EF,【變式探究】將本例條件“M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過(guò)因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形,所以F是AC的中點(diǎn),因?yàn)镻C∥平面BDE,又因?yàn)槠矫鍮DE∩平面PAC=EF,PC?平面PAC,所以PC∥EF,所以EF是△PAC的中位線,所以AE=PE.因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形,所以F是AC的中點(diǎn),因?yàn)镻C∥【解題策略】1.利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解題的步驟

【解題策略】2.用線面平行性質(zhì)定理解計(jì)算問(wèn)題的三個(gè)要點(diǎn)(1)根據(jù)已知線面平行關(guān)系推出線線平行關(guān)系.(2)在三角形內(nèi)利用三角形中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理推出有關(guān)線段的關(guān)系.(3)利用所得關(guān)系計(jì)算所求值.

2.用線面平行性質(zhì)定理解計(jì)算問(wèn)題的三個(gè)要點(diǎn)【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形,AC交BD于點(diǎn)O,E為AD的中點(diǎn),F在PA上,AP=λAF,PC∥平面BEF,則λ的值為(

)A.1

B.

C.2

D.3

【跟蹤訓(xùn)練】【解析】選D.如圖所示,設(shè)AO交BE于點(diǎn)G,連接FG,因?yàn)镋為AD的中點(diǎn),則AE=AD=BC.由于四邊形ABCD是平行四邊形,AD∥BC,所以△AEG∽△CBG,因?yàn)樗砸驗(yàn)镻C∥平面BEF,PC?平面PAC,平面BEF∩平面PAC=GF,所以GF∥PC,所以λ==3.【解析】選D.如圖所示,設(shè)AO交BE于點(diǎn)G,連接FG,2.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn),E是A1C1上一點(diǎn),A1B∥平面B1DE,則

的值為

.

2.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn),E【解析】如圖所示,連接BC1交B1D于點(diǎn)F,連接EF.在三棱柱ABC-A1B1C1中,因?yàn)锽C

B1C1,【解析】如圖所示,連接BC1交B1D于點(diǎn)F,連接EF.在三棱所以△BDF∽△C1B1F,因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以BD=BC=B1C1,所以因?yàn)锳1B∥平面B1DE,A1B?平面A1BC1,平面A1BC1∩平面B1DE=EF,所以A1B∥EF,所以答案:所以△BDF∽△C1B1F,因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),3.在矩形ABCD中,E為AB上一點(diǎn),將B點(diǎn)沿線段EC折起至點(diǎn)P,連接PA,PD,取PD的中點(diǎn)F,若有AF∥平面PEC,試確定E點(diǎn)的位置.

3.在矩形ABCD中,E為AB上一點(diǎn),將B點(diǎn)沿線段EC折起至【解析】E為AB的中點(diǎn)時(shí),有AF∥平面PEC.證明如下:取PC中點(diǎn)G,連接GE,GF,由條件知:GF∥CD.因?yàn)镋A∥CD,所以GF∥EA,則G,E,A,F四點(diǎn)共面,因?yàn)锳F∥平面PEC,平面GEAF∩平面PEC=GE,所以FA∥GE,所以四邊形GEAF為平行四邊形,因?yàn)镚F=CD,所以EA=GF=CD=BA,所以E為AB的中點(diǎn).【解析】E為AB的中點(diǎn)時(shí),有AF∥平面PEC.類型三線面平行判定定理與性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用(邏輯推理、直觀想象)【典例】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P∈BB1(P不與B,B1重合),PA∩A1B=M,PC∩BC1=N.求證:MN∥平面ABCD.

類型三線面平行判定定理與性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用(邏輯推理、直觀【思路導(dǎo)引】利用線面平行的判定定理證明AC∥平面A1BC1,再由線面平行的性質(zhì)定理得AC∥MN.【思路導(dǎo)引】利用線面平行的判定定理證明AC∥平面A1BC1,【證明】連接AC,A1C1,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四邊形ACC1A1是平行四邊形,所以AC∥A1C1,【證明】連接AC,A1C1,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D因?yàn)锳C?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1,所以AC∥平面A1BC1,因?yàn)锳C?平面PAC,平面A1BC1∩平面PAC=MN,所以AC∥MN.因?yàn)镸N?平面ABCD,AC?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.因?yàn)锳C?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1,所以AC【解題策略】利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的關(guān)鍵及思考方向關(guān)鍵:是過(guò)直線作平面與已知平面相交.思考方向:若條件中含有線線平行,可考慮線面平行的判定定理;若條件中含有線面平行,可考慮線面平行的性質(zhì)定理得線線平行.【解題策略】【跟蹤訓(xùn)練】如圖,用平行于四面體ABCD的一組對(duì)棱AB,CD的平面截此四面體,求證:截面MNPQ是平行四邊形.

【跟蹤訓(xùn)練】【證明】因?yàn)锳B∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,所以由線面平行的性質(zhì)定理,知AB∥MN.同理AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形.【證明】因?yàn)锳B∥平面MNPQ,【延伸探究】1.若本題條件不變,求證:

【證明】由題解知:PQ∥AB,所以又QM∥DC,所以所以【延伸探究】2.若本題中添加條件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四邊形MNPQ的面積.【解析】由題解知,四邊形MNPQ是平行四邊形,因?yàn)锳B⊥CD,所以PQ⊥QM,所以四邊形MNPQ是矩形.又BP∶PD=1∶1,所以PQ=5,QM=4,所以四邊形MNPQ的面積為5×4=20.2.若本題中添加條件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且B

備選類型與平行有關(guān)的存在性問(wèn)題(邏輯推理)【典例】P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),M,N分別為AB,PC的中點(diǎn),平面PAD∩平面PBC=l.(1)判斷BC與l的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)判斷MN與平面PAD的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

備選類型與平行有關(guān)的存在性問(wèn)題(邏輯推理)【思路導(dǎo)引】(1)由BC∥AD,可得BC∥平面PAD,再利用線面平行的性質(zhì)定理可得BC∥l;(2)取PD的中點(diǎn)Q,連接AQ,NQ,可證四邊形AMNQ為平行四邊形,由線面平行的判定定理可得線面平行.【思路導(dǎo)引】(1)由BC∥AD,可得BC∥平面PAD,再利用【解析】(1)BC∥l.證明如下:因?yàn)锽C∥AD,CB?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD,又因?yàn)锽C?平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l,所以BC∥l.【解析】(1)BC∥l.(2)MN∥平面PAD.證明如下:取PD的中點(diǎn)Q,連接NQ,AQ,則NQ∥CD,NQ=CD,又CD

AB,所以NQ

AM,所以四邊形AMNQ為平行四邊形,所以MN∥AQ,又因?yàn)锳Q?平面PAD,MN?平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)MN∥平面PAD.證明如下:取PD的中點(diǎn)Q,【解題策略】解決與平行有關(guān)的存在性問(wèn)題的基本策略(1)假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立).(2)在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理.①若能導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí),說(shuō)明假設(shè)成立,即存在,并可進(jìn)一步證明;②若導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果,則說(shuō)明假設(shè)不成立,即不存在.【解題策略】【跟蹤訓(xùn)練】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD為直角梯形,AD=

BC,AD∥BC,∠BCD=90°,在線段PB上是否存在點(diǎn)M,使得AM∥平面PCD?若存在,請(qǐng)確定M點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【跟蹤訓(xùn)練】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD【思路導(dǎo)引】延長(zhǎng)BA,CD交于點(diǎn)E,連接PE.通過(guò)證明AM∥PE及AD=BC,AD∥BC可得M為PB上的一個(gè)三等分點(diǎn),且靠近點(diǎn)P.【思路導(dǎo)引】延長(zhǎng)BA,CD交于點(diǎn)E,連接PE.通過(guò)證明AM∥【解析】存在,點(diǎn)M是線段PB上靠近點(diǎn)P的一個(gè)三等分點(diǎn).證明如下:延長(zhǎng)BA,CD交于點(diǎn)E,連接PE,則PE?平面PCD.若AM∥平面PCD,由平面PBE∩平面PCD=PE,AM?平面PBE,則AM∥PE.由AD=BC,AD∥BC,得,所以故點(diǎn)M是線段PB上靠近點(diǎn)P的一個(gè)三等分點(diǎn).【解析】存在,點(diǎn)M是線段PB上靠近點(diǎn)P的一個(gè)三等分點(diǎn).1.已知直線a和平面α,那么能得出a∥α的一個(gè)條件是 (

)A.存在一條直線b,a∥b且b?αB.存在一條直線b,a∥b且b?αC.存在一個(gè)平面β,a?β且α∥βD.存在一個(gè)平面β,a∥β且α∥β【解析】選C.在選項(xiàng)A,B,D中,均有可能a在平面α內(nèi),故A,B,D不符合題意;在C中,兩平面平行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面,故C符合題意.1.已知直線a和平面α,那么能得出a∥α的一個(gè)條件是 (2.如圖,在三棱錐S-ABC中,E,F分別是SB,SC上的點(diǎn),且EF∥平面ABC,則(

)

A.EF與BC相交 B.EF∥BCC.EF與BC異面 D.以上均有可能【解析】選B.因?yàn)槠矫鍿BC∩平面ABC=BC,又因?yàn)镋F∥平面ABC,所以EF∥BC.

2.如圖,在三棱錐S-ABC中,E,F分別是SB,SC上的3.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)如圖,在五面體FE-ABCD中,四邊形CDEF為矩形,M,N分別是BF,BC的中點(diǎn),則MN與平面ADE的位置關(guān)系是

.

3.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)如圖,在五面體FE-ABCD中【解析】因?yàn)镸,N分別是BF,BC的中點(diǎn),所以MN∥CF.又四邊形CDEF為矩形,所以CF∥DE,所以MN∥DE.又MN?平面ADE,DE?平面ADE,所以MN∥平面ADE.答案:平行【解析】因?yàn)镸,N分別是BF,BC的中點(diǎn),所以MN∥CF.4.下列三個(gè)命題在“

”處都缺少同一個(gè)條件,補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi),m為直線,α為平面),則此條件是

.4.下列三個(gè)命題在“”處都缺少同一個(gè)條件,補(bǔ)上這個(gè)條【解析】①l∥m,m∥α,l?α?l∥α;②m?α,l∥m,l?α?l∥α;③l⊥m,m⊥α,l?α?l∥α.答案:l?α【解析】①l∥m,m∥α,l?α?l∥α;5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長(zhǎng)度等于

.

5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)【解析】因?yàn)镋F∥平面AB1C,EF?平面DABC,且平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC,又因?yàn)镋為AD的中點(diǎn),所以F為CD的中點(diǎn),所以EF=AC,因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2.所以AC=2,所以EF=.答案:【解析】因?yàn)镋F∥平面AB1C,EF?平面DABC,且平面A

11.3.3平面與平面平行

11.3.3平面與平面平行1.平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交圖示

表示法α∥βα∩β=a公共點(diǎn)個(gè)數(shù)___________0個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)1.平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交圖示表示2.平面與平面平行的判定定理判定定理符號(hào)表示圖形表示如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別_______另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行如果l?α,m?α,l∩m≠?,l∥β,m∥β,則α∥β

平行于2.平面與平面平行的判定定理判定定理符號(hào)表示圖形表示如果一個(gè)3.平面與平面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理符號(hào)表示圖形表示如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面_____,那么它們的交線平行如果α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m,則l∥m

相交3.平面與平面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理符號(hào)表示圖形表示如果兩個(gè)【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)平面α∥β,一條直線a平行于平面α,則a一定平行于平面β. (

)(2)三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行,這個(gè)三角板所在平面與平面α平行. (

)(3)平面α內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊與平面β內(nèi)的一個(gè)平行四邊形的兩邊對(duì)應(yīng)平行,則α∥β. (

)(4)若平面α∥β,點(diǎn)P∈α,a∥β且P∈a,那么a?α. (

)【基礎(chǔ)小測(cè)】提示:(1)×.直線a可能與β平行,也可能在β內(nèi).(2)√.三角板的兩條邊所在直線是相交的,根據(jù)平面與平面平行的判定定理可知此說(shuō)法正確.(3)×.若平行四邊形的兩邊是對(duì)邊,則互相平行不相交,無(wú)法推出α∥β.(4)√.因?yàn)槠矫姒痢桅?a∥β,所以a∥α或a?α,又因?yàn)辄c(diǎn)P∈α,P∈a,所以a?α.提示:(1)×.直線a可能與β平行,也可能在β內(nèi).2.已知平面α∥平面β,過(guò)平面α內(nèi)的一條直線a的平面γ與平面β相交,交線為直線b,則a,b的位置關(guān)系是 (

)A.平行B.相交C.異面D.不確定【解析】選A.由面面平行的性質(zhì)定理可知選項(xiàng)A正確.2.已知平面α∥平面β,過(guò)平面α內(nèi)的一條直線a的平面γ與平面3.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,與平面BB1C1C平行的平面是 (

)A.平面AA1D1DB.平面AA1B1BC.平面DD1C1CD.平面ABCD【解析】選A.根據(jù)圖形及平面平行的判定定理知,平面BB1C1C∥平面AA1D1D.3.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)底面為平行四邊形的四棱柱ABC4.下列命題:①兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合;②若l,m是異面直線,l∥α,m∥β,則α∥β.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為

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【解析】對(duì)于①,兩個(gè)平面相交,則有一條交線,也有無(wú)數(shù)多個(gè)公共點(diǎn),故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,借助于正方體ABCD-A1B1C1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB與B1C1異面,而平面DCC1D1與平面AA1D1D相交,故②錯(cuò)誤.答案:①②4.下列命題:類型一平面與平面平行的判定(邏輯推理、直觀想象)【典例】已知正方形ABCD與菱形ABEF所在平面相交,求證:平面BCE∥平面ADF.類型一平面與平面平行的判定(邏輯推理、直觀想象)【思路導(dǎo)引】由四邊形ABCD是正方形,證得BC∥平面ADF,由四邊形ABEF為菱形,證得BE∥平面ADF,即可利用面面平行的判定定理,證得平面BCE∥平面ADF.【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以BC∥AD.因?yàn)锽C?平面ADF,AD?平面ADF,所以BC∥平面ADF.因?yàn)樗倪呅蜛BEF是菱形,所以BE∥AF.因?yàn)锽E?平面ADF,AF?平面ADF,所以BE∥平面ADF.因?yàn)锽C∥平面ADF,BE∥平面ADF,BC∩BE=B,BC,BE?平面BCE,所以平面BCE∥平面ADF.【思路導(dǎo)引】由四邊形ABCD是正方形,證得BC∥平面ADF,【解題策略】常見(jiàn)面面平行的判定方法(1)定義法:兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn).(2)判定定理法:轉(zhuǎn)化為線面平行.(3)平行平面的傳遞性:兩個(gè)平面都和第三個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行.(4)利用平面與平面平行的判定定理的推論:若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線,則這兩個(gè)平面平行.即:

?α∥β.【解題策略】常見(jiàn)面面平行的判定方法【跟蹤訓(xùn)練】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形.點(diǎn)M,N,Q分別在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求證:平面MNQ∥平面PBC.

【跟蹤訓(xùn)練】【證明】因?yàn)镻M∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,所以MQ∥AD,NQ∥BP.又因?yàn)锽P?平面PBC,NQ?平面PBC,所以NQ∥平面PBC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形.所以BC∥AD,所以MQ∥BC.又因?yàn)锽C?平面PBC,MQ?平面PBC,所以MQ∥平面PBC.又因?yàn)镸Q∩NQ=Q,MQ,NQ?平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PBC.【證明】因?yàn)镻M∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,類型二面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)角度1與性質(zhì)有關(guān)的證明問(wèn)題

【典例】如圖,在四面體ABCD中,點(diǎn)E,F分別為棱AB,AC上的點(diǎn),點(diǎn)G為棱AD的中點(diǎn),且平面EFG∥平面BCD.求證:BC=2EF.

類型二面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)【思路導(dǎo)引】由平面EFG∥平面BCD,可得出線線平行,再利用點(diǎn)G為棱AD的中點(diǎn),即可得出結(jié)論.【思路導(dǎo)引】由平面EFG∥平面BCD,可得出線線平行,再利用【證明】因?yàn)槠矫鍱FG∥平面BCD,平面ABD∩平面EFG=EG,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EG∥BD,又G為AD的中點(diǎn),故E為AB的中點(diǎn),同理可得,F為AC的中點(diǎn),所以BC=2EF.【證明】因?yàn)槠矫鍱FG∥平面BCD,角度2與性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題

【典例】如圖,已知平面α∥平面β,P?α,且P?β,過(guò)點(diǎn)P的直線m與α,β分別交于A,C,過(guò)點(diǎn)P的直線n與α,β分別交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,則BD=

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【思路導(dǎo)引】面面平行?線線平行?分線段比例相等.角度2與性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題

【思路導(dǎo)引】面面平行?線線【解析】因?yàn)锳C∩BD=P,所以經(jīng)過(guò)直線AC與BD可確定平面PCD,因?yàn)棣痢桅?α∩平面PCD=AB,β∩平面PCD=CD,所以AB∥CD.所以所以BD=.答案:

【解析】因?yàn)锳C∩BD=P,所以經(jīng)過(guò)直線AC與BD可確定平面【解題策略】應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟提醒:面面平行性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì):面面平行?線線平行,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.與判定定理交替使用,可實(shí)現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化.【解題策略】【拓展延伸】1.常用的面面平行的其他幾個(gè)性質(zhì)(1)兩個(gè)平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.(2)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等.(3)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.(5)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面互相平行.【拓展延伸】2.證明線與線、線與面的平行關(guān)系的一般規(guī)律是:“見(jiàn)了已知想性質(zhì),見(jiàn)了求證想判定”,也就是說(shuō)“發(fā)現(xiàn)已知,轉(zhuǎn)化結(jié)論,溝通已知與未知的關(guān)系”.這是分析和解決問(wèn)題的一般思維方法,而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段.2.證明線與線、線與面的平行關(guān)系的一般規(guī)律是:“見(jiàn)了已知想性【拓展訓(xùn)練】已知平面α∥平面β,點(diǎn)A,C∈α,點(diǎn)B,D∈β,直線AB,CD交于點(diǎn)S,且SA=8,SB=9,CD=34.(1)若點(diǎn)S在平面α,β之間,則SC=

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(2)若點(diǎn)S不在平面α,β之間,則SC=

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【拓展訓(xùn)練】【解析】(1)如圖①所示,因?yàn)锳B∩CD=S,所以AB,CD確定一個(gè)平面,設(shè)為γ,則α∩γ=AC,β∩γ=BD.因?yàn)棣痢桅?所以AC∥BD.于是所以SC=【解析】(1)如圖①所示,因?yàn)锳B∩CD=S,所以AB,CD(2)如圖②所示,同理知AC∥BD,則即,解得SC=272.答案:(1)16

(2)272(2)如圖②所示,同理知AC∥BD,則【變式訓(xùn)練】將本題中的條件“SA=8,SB=9,CD=34.”改為“SA=18,SB=9,CD=34”,求SC.【解析】如圖(1),由α∥β可知BD∥AC,【變式訓(xùn)練】所以所以SC=68.如圖(2),由α∥β知AC∥BD,所以即所以SC=.綜上,SC的大小為68或.所以所以SC【題組訓(xùn)練】1.平面α與圓臺(tái)的上、下底面分別相交于直線m,n,則m,n的位置關(guān)系是 (

)A.平行 B.相交C.異面 D.平行或異面【解析】選A.因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面互相平行,所以由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知m∥n.【題組訓(xùn)練】2.已知平面α∥平面β,直線a?α,則直線a與平面β的位置關(guān)系為

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【解析】因?yàn)棣痢桅?所以α與β無(wú)公共點(diǎn),因?yàn)閍?α,所以a與β無(wú)公共點(diǎn),所以a∥β.答案:a∥β2.已知平面α∥平面β,直線a?α,則直線a與平面β的位置關(guān)3.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中點(diǎn).

(1)求證:AC1∥平面BDE.(2)判斷并證明,點(diǎn)F在棱DD1上什么位置時(shí),平面AC1F∥平面BDE.

3.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的【解析】(1)設(shè)AC∩BD=O,連接OE.因?yàn)镺,E分別為AC,CC1的中點(diǎn),所以O(shè)E∥AC1,又AC1?平面BDE,OE?平面BDE,所以AC1∥平面BDE.【解析】(1)設(shè)AC∩BD=O,連接OE.(2)F為棱DD1的中點(diǎn)時(shí),平面AC1F∥平面BDE.證明如下:因?yàn)辄c(diǎn)F為DD1的中點(diǎn),E為CC1的中點(diǎn),所以DFC1E,四邊形DFC1E為平行四邊形,所以FC1∥DE,FC1?平面BDE,DE?平面BDE,所以FC1∥平面BDE.又AC1∥平面BDE,且FC1∩AC1=C1.所以平面AC1F∥平面BDE.(2)F為棱DD1的中點(diǎn)時(shí),平面AC1F∥平面BDE.類型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)【典例】已知底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD,點(diǎn)E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?若存在,證明你的結(jié)論,并說(shuō)出點(diǎn)F的位置.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【思路導(dǎo)引】解答本題應(yīng)抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC,再確定F的位置.類型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用(邏輯推理、直觀想象)【解析】存在點(diǎn)F,當(dāng)F為PC中點(diǎn)時(shí),BF∥平面AEC,證明如下:如圖,連接BD交AC于O點(diǎn),連接OE,過(guò)B點(diǎn)作OE的平行線交PD于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GF∥CE,交PC于點(diǎn)F,連接BF.因?yàn)锽G∥OE,BG?平面AEC,OE?平面AEC,所以BG∥平面AEC.同理,GF∥平面AEC,又BG∩GF=G.所以平面BGF∥平面AEC.所以BF∥平面AEC.【解析】存在點(diǎn)F,當(dāng)F為PC中點(diǎn)時(shí),BF∥平面AEC,證明如因?yàn)锽G∥OE,O是BD中點(diǎn),所以E是GD中點(diǎn).又因?yàn)镻E∶ED=2∶1,所以G是PE中點(diǎn).而GF∥CE,所以F為PC中點(diǎn).綜上,當(dāng)點(diǎn)F是PC中點(diǎn)時(shí),BF∥平面AEC.因?yàn)锽G∥OE,O是BD中點(diǎn),所以E是GD中點(diǎn).【解題策略】空間中線、面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線、線面、面面間的平行關(guān)系的判定和性質(zhì),常常是通過(guò)線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化來(lái)表達(dá).【解題策略】【變式探究】本例若改為“已知底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD,在棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使PB∥平面ACE?若存在,請(qǐng)找出E點(diǎn)位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由”,該如何解決?

【變式探究】【解析】如圖,連接AC,BD交于點(diǎn)O,取PD中點(diǎn)為E,連接OE,AE,CE,則在△PBD中,OE∥PB,又OE?平面ACE,PB?平面ACE,所以PB∥平面ACE.此時(shí)E為PD中點(diǎn),故當(dāng)E為PD中點(diǎn)時(shí),能使PB∥平面ACE.

【解析】如圖,連接AC,BD交于點(diǎn)O,取PD中點(diǎn)為E,連接O【跟蹤訓(xùn)練】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,點(diǎn)E,F分別是棱CC1,BB1上的點(diǎn),點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),EC=2FB=2,當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí),BM∥平面AEF.【跟蹤訓(xùn)練】【解析】如圖,取EC的中點(diǎn)P,AC的中點(diǎn)Q,連接PQ,PB,BQ,則PQ∥AE.因?yàn)镋C=2FB=2,所以PE=BF.所以四邊形BFEP為平行四邊形,所以PB∥EF.又AE,EF?平面AEF,PQ,PB?平面AEF,【解析】如圖,取EC的中點(diǎn)P,AC的中點(diǎn)Q,連接PQ,PB,所以PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.又PQ∩PB=P,PQ,PB?平面PBQ,所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ?平面PBQ,所以BQ∥平面AEF.故點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)M,即點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)時(shí),BM∥平面AEF.所以PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分別為B1C1,A1B1,AB的中點(diǎn).(1)求證:平面A1C1G∥平面BEF.(2)若平面A1C1G∩BC=H,求證:H為BC的