空間桿件結(jié)構(gòu)的有限單元法

第二章空間桿件結(jié)構(gòu)的有限單元法

第一節(jié)局部坐標(biāo)系下的單元分析圖2-1所示為空間剛架中的仁一桿件單元。選取局部坐標(biāo)系時(shí)，去形心軸為x軸，哼截面的主軸分別為坐標(biāo)系的歹軸和截面的主軸分別為坐標(biāo)系的歹軸和之軸。X、歹、之軸的方向按右手定則確定。這樣，單元空間剛架單元的兩端分別與結(jié)點(diǎn)I和j相聯(lián)結(jié)。每一個(gè)結(jié)點(diǎn)有六各界點(diǎn)位移分量和六個(gè)結(jié)點(diǎn)力分量。在局部坐標(biāo)系下空間桿件的桿端位移列陣3。和桿端力列陣Fe分別為Oe=UiOe=Ui-r_Fe=XivwS 0" 0" uiixiyizijYZMMMiixiyizivjXjwjYj0 0 0】xjzjzjZ MM M】j xj yj zj其中u為軸向位移，v、w為橫向位移，［為桿件的扭轉(zhuǎn)角，0y、0z分別為繞其中u為軸向位移，z軸彎曲時(shí)的轉(zhuǎn)角；X為桿件單元的軸力，y、z分別為沿y軸和z軸作用的剪力，M、M、M為作用在桿端的力偶矩。這里力偶矩和角位移的指向按照右手定則用雙箭頭X y z表示；力和線位移的指向用單箭頭表示。圖2-1中所示的桿端力和桿端位移為正方向。與平面單元的推導(dǎo)方法一樣，首先求出當(dāng)桿端位移Oe中的一個(gè)分量為1,而其余分量均為零時(shí)的桿端力。圖2-2所示為當(dāng)單元Q的i端發(fā)生單位位移時(shí)，桿端力與桿端位移之間的關(guān)系。圖中未繪出的桿端力和桿端位移分量，在該情況下數(shù)值為零。

一EA012EI00006EIEea:l012EI00006EI-10z000z00z000zr-1X13121312u_112EI6EI12EI6EIiY00 y-0y0；00y0y0Vi13121312iZGJGJwi00000:00000illM6EI4EI6EI2EI000--0 y0:00 0 A0xlM12l12l0yi6EI4EI6EI2EI_*.M0z000z:0z000z0 zi.…………l2l:l2l…zi.EA；EAX0000000000u_jllljY12EI6EI12EI6EIVJ0- z000一 z-0z000一 zjZ13121312wj12EI6EI12EI6EIj—00 0 0:00 0 0nM131213120.xjGJGJ一M00000；000000yjllyjM6EI2EI6EI4EI0zjJ00—— y-0 y-0:00 y-0 y-0zj12l12l6EI2EI6EI4EI0z000z:0一z000z12l12l」依同樣方法可以確定當(dāng)單元j依同樣方法可以確定當(dāng)單元j端發(fā)生單位位移時(shí)，桿端力與桿端位移之間的關(guān)系。當(dāng)單元的桿端位移分量為任意值時(shí)，可以寫出空間單元?jiǎng)偠确匠?，以矩陣表示為?-1）式（2-1）可以簡寫為（2-2）Fe=ke5e（2-2）其中單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

EA0000EA1000001012EI6EI12EI6EI00000000zzzz1312131212EI6EI12EI6EI00000000JJJ13121312GJGJ0000000000116EI4EI6EI2EI000 y-000 y-0 J0y1211216EI4EI6EI2EI0z000z0z000z121121EAEA- 00000000001112EI6EI12EI6EI00000000zzzz1312131212EI6EI12EI6EI0000000 y-0y13121312GJGJ0000000000116EI2EI6EI4EI000 十000 y-0 十0一y1211216EI2EI6EI4EI00000000zzzz121121(2-3)式(2-3)為局部坐標(biāo)系中的空間單元?jiǎng)偠染仃嚒Ｋ?2階方陣，其性質(zhì)也與平面結(jié)構(gòu)的相同。第二節(jié)空間單元坐標(biāo)變換將局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?，是通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣完成的。首先考慮單元0在端點(diǎn)i的三個(gè)桿端力分量，在局部坐標(biāo)系了形中，它們是X、Y、Z；在整體坐標(biāo)系xyz中，是X、Y、Z與Xi、Y、Zi之間的關(guān)系。設(shè)亍軸與x、y、z軸的夾角分別為xx、孫、xz(圖2-3),則無軸在xyz坐標(biāo)系中的方向余弦為1-=cos(x,x)1-=cos(x,y)1-=cos(x,z)將桿端力X、Y、Zi在x軸上頭英，可求得桿端力X=X\"+同理可得

=公+z屋Z=Xl-+Yl-y+Zl-綜合上三式一X一i綜合上三式一X一i工iil.iyl「iz一X一,Y=l-l_l-YiyiyyyziZl</—l.l</—Z-i-Lzizyzzi」(2-4)這就是在端點(diǎn)i由整體坐標(biāo)系中的桿端力X?Y、Z,推算局部坐標(biāo)系中桿端力X、Y、Z的轉(zhuǎn)換關(guān)系式。其中兩坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣（簡稱“關(guān)系矩陣”）為iii7ll-iiiyizt=ilI(2-5)yiyyyzl一l.l_zizyzz參照上述方法，同樣可以推出以Mi、My、M表示Mx、M.^>Mzj,以X、Y^、Zj表示Xj、Y、Zj,以Mij、Mj、M產(chǎn)示Mi、MjMj的表達(dá)式，其轉(zhuǎn)換矩陣也是t。綜合以上分析，整體坐標(biāo)系中的單元桿端力分量列陣F⑥與局部坐標(biāo)系中單元桿端力分量列陣Fe之間的關(guān)系，可用下時(shí)表達(dá)FeFe=TeFe(2-6)同理，可導(dǎo)出整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系桿端位移之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系(2-7)在以上兩式中t0；00Te(2-8)Te(2-8)t00t稱為“單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣”它是12X12階矩陣，是一個(gè)正交矩陣，故有Te-1=TeT (2-9)在平面結(jié)構(gòu)中，確定了單元的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)i和j的坐標(biāo)，就確定了桿剪的位置。在空間結(jié)構(gòu)中，僅僅確定兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)還不能完全確定剛架桿件在空間的位置，因?yàn)橄嗤膇j桿，其截面形心主軸認(rèn)可由不同的方向。為確定剛架桿件在空間的確切位置，還需要在桿軸

線外在取一點(diǎn)k,以確定其形心主軸的方向。取結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系為xyz，單元局部坐標(biāo)系為xyz，Oy為桿件截面形心主軸之一，如圖2-4所示。單元的位置由i、j、k三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)決定。這里i為單元起始結(jié)點(diǎn)號(hào)，j為單元終點(diǎn)號(hào)，由i、j兩點(diǎn)可確定Ox的方向。K點(diǎn)在單元所在的xOy平面內(nèi)，但又不在X軸上，如果剛架上找不到合適的點(diǎn)，可用一個(gè)假想的點(diǎn)代替。以i、j、k三點(diǎn)在整體坐標(biāo)系xyz中的坐標(biāo)分別為（xry「zj、酩、y.>z?、（xk、yk、zk），那么如何根據(jù)這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值來確定坐標(biāo)系的關(guān)系矩陣；中的九個(gè)元素呢？t中的第一行元素較容易確定。如圖2-4可得l-XXl-xyyl-xyyj-y.Jl1(2-10)其中l(wèi)為桿長，可按下式求得l_其中l(wèi)為桿長，可按下式求得l_xz：'(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2（2-11）設(shè)i設(shè)i、j、k分別為三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量OX軸矢量x可表示為（2-12）因?yàn)镺z軸的矢量z與平面ijk垂直，所以有z=(ik)x(z=(ik)x(jk)=x一xy-yz-zkikik ix一xy-xz-zkjkjkj丁「i（2-13）為后面的運(yùn)算方便，可設(shè)YZ=zk-Ziyk-y,x-xZX=-XY=x-xXY=x-xxk-xizk-z,yk-y.yk-y.則有Z=YZ^-ZX*XYk則有Oz軸的方向余弦為

L「YZ〃2l=ZX/1>1_=XY/1,式中 必12二V(YZ)2+(ZX)2+(XY)2 (2-16)由于Oy軸與Ox軸垂直，Oy軸與Oz軸垂直，且Oy的方向余弦之和等于1,于是有y?(xxik)=0

12+12+12=1以上三式可組成聯(lián)立方程TOC\o"1-5"\h\z‘yx'xx+Iyylxy W”（2-20）（2-20）4x l~Xy 'x =°>XTi yk- y.鼠一yx+12yy+12yz=1解式(2-20)的聯(lián)立方程，可得(2-21)式中S=(1-12)(x—x)—11(y—y)—11(z—z)xxkixxxykixxxzkiS2="Zx(xk-x}+(j"(了「>一七上(T"S=-1-1-(x-x)-1-1-(y-y)+(1-12)(z一z)xzxxkixxxyki xzki=、S21+S22+S23由式(2-10)、式(2-15)和式(2-21)便可確定坐標(biāo)關(guān)系矩陣t。將式(2-6)和式(2-7)代入式(2-2)，化簡整理后，可得空間剛架桿件單元整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠蘁e=TeTkeT5e (2-22)Fe=ke5eke=TeTFe=ke5e（2-24）ke為空間單元在整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?。式?-23）為兩種坐標(biāo)系的單元?jiǎng)?/p>

度矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系式。式（2-24）和式（2-23）在形式上與平面結(jié)構(gòu)的公式一樣。第三節(jié)空間剛架分析舉例空間剛架整體剛度矩陣K的形成、結(jié)點(diǎn)荷載列陣的形成和支承條件的引入，均與平面剛架的處理方法相同。例2-1試求圖2-5a所示空間剛架B結(jié)點(diǎn)的位移及各桿內(nèi)力。設(shè)各桿的材料和幾何性質(zhì)相同。E=2.1x102GPa,G=9x104GPa,A=0.005m2,l=2.3m,J=2.6x10-5m4,I=1.2I=1.2x10-5m4,1=3.0x10-5m4,P=10kN,q=15kN/m.（矩形截面梁在扭轉(zhuǎn)時(shí)將發(fā)生翹曲。本題中桿件為實(shí)體截面，約束所引起的附加正應(yīng)力已略去，J為“相當(dāng)極慣性矩”。）解：（1）確定結(jié)點(diǎn)，劃分單元，建立坐標(biāo)系。括號(hào)內(nèi)數(shù)字為結(jié)點(diǎn)位移編號(hào)，見（圖2-5b）。（2）形成局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噆eEA一二EA一二4.375x105kN/m,lEI=2.52x103kN?m,2EI =2.1x103kN?m,l2EI z-5.25x103kN?m,l6EI一-2.625x103kN,1212EI-2.1875x103kN/m,13GJ--9.75x102kN?mlEI-6.3x103kN?m24EI -4.2x103kN?ml4EI—z-1.05x104kN?ml絲L-6.5626x103kN12EI z-5.4688x103kN/m將以上數(shù)據(jù)代入式（2-3），得局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?43750000000—43750000000-0546900065620—546900065620021880-2625000—21880-2625000097500000—9550000-2625042000002625000k1=0………6562000105000—6562000―0——43750000000437500000000—5469000—656205469000—656200—2188026250002188026250000—975000009750000-2625021000002625042000_0656200052500—656200010500_k2=k1（3）形成整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噯卧伲簁單元①：k1=k1單元②：先形成關(guān)系矩陣t和單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T,見式（2-5）和式（2-8）。根據(jù)單元②的局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系之間的關(guān)系（圖2-6），可得「0011t=010單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為

一00-10001000000一010000:000000100000:00000000000-1：000000000010:000000T=000100:000000000000:00-1000000000:010000000000；100000000000:00000-1000000:000010_000000:000100_根據(jù)單元?jiǎng)偠染仃嚨霓D(zhuǎn)換關(guān)系ke=TeTkeTe可求得整體坐標(biāo)系中單元②的單元?jiǎng)偠染仃?2188000-26250：-2188000-26250]0546906562000-546906562000043750000000-43750000006562010500000-65620000-262500042000;2625000210000000097500000-975k2= ： -218800026250:2188000262500-54690-656200054690-65620000-437500000004375000000656205250000-656201050000-262500021000:262500042000_00000-97500000975_（4）根據(jù)直接剛度法組集整體剛度矩陣。以下所列為以子塊表示的整體剛度矩陣，各子塊中的元素由匕和k2中的元素組成。k1k1iiijK=k1k1+k2k2Jijjiij0k2k3ji jj（5）引入支承條件，修改整體剛度矩陣K，可得修改后的整體剛度矩陣

439687000-26250010937065620-6562004396870262500656201147500-2625026250840000-656200011475KF（6）組集結(jié)點(diǎn)荷載列陣P0,并引入支承條件，求自由結(jié)點(diǎn)荷載列陣PF。單元①r單元②的固端力分別為Fi=l050003：05000-31F2=b180007.21018000-7.21f '單元①、單元②的等效結(jié)點(diǎn)荷載Pe=—TeTFe-5000310-180007.2I-230-7.2-5000310-180007.2I-230-7.203i0-1807.