空間桿件結構的有限單元法

第二章空間桿件結構的有限單元法

第一節(jié)局部坐標系下的單元分析圖2-1所示為空間剛架中的仁一桿件單元。選取局部坐標系時，去形心軸為x軸，哼截面的主軸分別為坐標系的歹軸和截面的主軸分別為坐標系的歹軸和之軸。X、歹、之軸的方向按右手定則確定。這樣，單元空間剛架單元的兩端分別與結點I和j相聯結。每一個結點有六各界點位移分量和六個結點力分量。在局部坐標系下空間桿件的桿端位移列陣3。和桿端力列陣Fe分別為Oe=UiOe=Ui-r_Fe=XivwS 0" 0" uiixiyizijYZMMMiixiyizivjXjwjYj0 0 0】xjzjzjZ MM M】j xj yj zj其中u為軸向位移，v、w為橫向位移，［為桿件的扭轉角，0y、0z分別為繞其中u為軸向位移，z軸彎曲時的轉角；X為桿件單元的軸力，y、z分別為沿y軸和z軸作用的剪力，M、M、M為作用在桿端的力偶矩。這里力偶矩和角位移的指向按照右手定則用雙箭頭X y z表示；力和線位移的指向用單箭頭表示。圖2-1中所示的桿端力和桿端位移為正方向。與平面單元的推導方法一樣，首先求出當桿端位移Oe中的一個分量為1,而其余分量均為零時的桿端力。圖2-2所示為當單元Q的i端發(fā)生單位位移時，桿端力與桿端位移之間的關系。圖中未繪出的桿端力和桿端位移分量，在該情況下數值為零。

一EA012EI00006EIEea:l012EI00006EI-10z000z00z000zr-1X13121312u_112EI6EI12EI6EIiY00 y-0y0；00y0y0Vi13121312iZGJGJwi00000:00000illM6EI4EI6EI2EI000--0 y0:00 0 A0xlM12l12l0yi6EI4EI6EI2EI_*.M0z000z:0z000z0 zi.…………l2l:l2l…zi.EA；EAX0000000000u_jllljY12EI6EI12EI6EIVJ0- z000一 z-0z000一 zjZ13121312wj12EI6EI12EI6EIj—00 0 0:00 0 0nM131213120.xjGJGJ一M00000；000000yjllyjM6EI2EI6EI4EI0zjJ00—— y-0 y-0:00 y-0 y-0zj12l12l6EI2EI6EI4EI0z000z:0一z000z12l12l」依同樣方法可以確定當單元j依同樣方法可以確定當單元j端發(fā)生單位位移時，桿端力與桿端位移之間的關系。當單元的桿端位移分量為任意值時，可以寫出空間單元剛度方程，以矩陣表示為（2-1）式（2-1）可以簡寫為（2-2）Fe=ke5e（2-2）其中單元剛度矩陣為

EA0000EA1000001012EI6EI12EI6EI00000000zzzz1312131212EI6EI12EI6EI00000000JJJ13121312GJGJ0000000000116EI4EI6EI2EI000 y-000 y-0 J0y1211216EI4EI6EI2EI0z000z0z000z121121EAEA- 00000000001112EI6EI12EI6EI00000000zzzz1312131212EI6EI12EI6EI0000000 y-0y13121312GJGJ0000000000116EI2EI6EI4EI000 十000 y-0 十0一y1211216EI2EI6EI4EI00000000zzzz121121(2-3)式(2-3)為局部坐標系中的空間單元剛度矩陣。它是12階方陣，其性質也與平面結構的相同。第二節(jié)空間單元坐標變換將局部坐標系下的單元剛度矩陣轉換為整體坐標系下的單元剛度矩陣，是通過坐標轉換矩陣完成的。首先考慮單元0在端點i的三個桿端力分量，在局部坐標系了形中，它們是X、Y、Z；在整體坐標系xyz中，是X、Y、Z與Xi、Y、Zi之間的關系。設亍軸與x、y、z軸的夾角分別為xx、孫、xz(圖2-3),則無軸在xyz坐標系中的方向余弦為1-=cos(x,x)1-=cos(x,y)1-=cos(x,z)將桿端力X、Y、Zi在x軸上頭英，可求得桿端力X=X\"+同理可得

=公+z屋Z=Xl-+Yl-y+Zl-綜合上三式一X一i綜合上三式一X一i工iil.iyl「iz一X一,Y=l-l_l-YiyiyyyziZl</—l.l</—Z-i-Lzizyzzi」(2-4)這就是在端點i由整體坐標系中的桿端力X?Y、Z,推算局部坐標系中桿端力X、Y、Z的轉換關系式。其中兩坐標系的轉換矩陣（簡稱“關系矩陣”）為iii7ll-iiiyizt=ilI(2-5)yiyyyzl一l.l_zizyzz參照上述方法，同樣可以推出以Mi、My、M表示Mx、M.^>Mzj,以X、Y^、Zj表示Xj、Y、Zj,以Mij、Mj、M產示Mi、MjMj的表達式，其轉換矩陣也是t。綜合以上分析，整體坐標系中的單元桿端力分量列陣F⑥與局部坐標系中單元桿端力分量列陣Fe之間的關系，可用下時表達FeFe=TeFe(2-6)同理，可導出整體坐標系與局部坐標系桿端位移之間的轉換關系(2-7)在以上兩式中t0；00Te(2-8)Te(2-8)t00t稱為“單元坐標轉換矩陣”它是12X12階矩陣，是一個正交矩陣，故有Te-1=TeT (2-9)在平面結構中，確定了單元的兩個結點i和j的坐標，就確定了桿剪的位置。在空間結構中，僅僅確定兩個端點的坐標還不能完全確定剛架桿件在空間的位置，因為相同的ij桿，其截面形心主軸認可由不同的方向。為確定剛架桿件在空間的確切位置，還需要在桿軸

線外在取一點k,以確定其形心主軸的方向。取結構的整體坐標系為xyz，單元局部坐標系為xyz，Oy為桿件截面形心主軸之一，如圖2-4所示。單元的位置由i、j、k三個點的坐標決定。這里i為單元起始結點號，j為單元終點號，由i、j兩點可確定Ox的方向。K點在單元所在的xOy平面內，但又不在X軸上，如果剛架上找不到合適的點，可用一個假想的點代替。以i、j、k三點在整體坐標系xyz中的坐標分別為（xry「zj、酩、y.>z?、（xk、yk、zk），那么如何根據這三個點的坐標值來確定坐標系的關系矩陣；中的九個元素呢？t中的第一行元素較容易確定。如圖2-4可得l-XXl-xyyl-xyyj-y.Jl1(2-10)其中l(wèi)為桿長，可按下式求得l_其中l(wèi)為桿長，可按下式求得l_xz：'(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2（2-11）設i設i、j、k分別為三個坐標軸方向的單位矢量OX軸矢量x可表示為（2-12）因為Oz軸的矢量z與平面ijk垂直，所以有z=(ik)x(z=(ik)x(jk)=x一xy-yz-zkikik ix一xy-xz-zkjkjkj丁「i（2-13）為后面的運算方便，可設YZ=zk-Ziyk-y,x-xZX=-XY=x-xXY=x-xxk-xizk-z,yk-y.yk-y.則有Z=YZ^-ZX*XYk則有Oz軸的方向余弦為

L「YZ〃2l=ZX/1>1_=XY/1,式中 必12二V(YZ)2+(ZX)2+(XY)2 (2-16)由于Oy軸與Ox軸垂直，Oy軸與Oz軸垂直，且Oy的方向余弦之和等于1,于是有y?(xxik)=0

12+12+12=1以上三式可組成聯立方程TOC\o"1-5"\h\z‘yx'xx+Iyylxy W”（2-20）（2-20）4x l~Xy 'x =°>XTi yk- y.鼠一yx+12yy+12yz=1解式(2-20)的聯立方程，可得(2-21)式中S=(1-12)(x—x)—11(y—y)—11(z—z)xxkixxxykixxxzkiS2="Zx(xk-x}+(j"(了「>一七上(T"S=-1-1-(x-x)-1-1-(y-y)+(1-12)(z一z)xzxxkixxxyki xzki=、S21+S22+S23由式(2-10)、式(2-15)和式(2-21)便可確定坐標關系矩陣t。將式(2-6)和式(2-7)代入式(2-2)，化簡整理后，可得空間剛架桿件單元整體坐標系中的單元剛度方程Fe=TeTkeT5e (2-22)Fe=ke5eke=TeTFe=ke5e（2-24）ke為空間單元在整體坐標系中的單元剛度矩陣。式（2-23）為兩種坐標系的單元剛

度矩陣的轉換關系式。式（2-24）和式（2-23）在形式上與平面結構的公式一樣。第三節(jié)空間剛架分析舉例空間剛架整體剛度矩陣K的形成、結點荷載列陣的形成和支承條件的引入，均與平面剛架的處理方法相同。例2-1試求圖2-5a所示空間剛架B結點的位移及各桿內力。設各桿的材料和幾何性質相同。E=2.1x102GPa,G=9x104GPa,A=0.005m2,l=2.3m,J=2.6x10-5m4,I=1.2I=1.2x10-5m4,1=3.0x10-5m4,P=10kN,q=15kN/m.（矩形截面梁在扭轉時將發(fā)生翹曲。本題中桿件為實體截面，約束所引起的附加正應力已略去，J為“相當極慣性矩”。）解：（1）確定結點，劃分單元，建立坐標系。括號內數字為結點位移編號，見（圖2-5b）。（2）形成局部坐標系中的單元剛度矩陣keEA一二EA一二4.375x105kN/m,lEI=2.52x103kN?m,2EI =2.1x103kN?m,l2EI z-5.25x103kN?m,l6EI一-2.625x103kN,1212EI-2.1875x103kN/m,13GJ--9.75x102kN?mlEI-6.3x103kN?m24EI -4.2x103kN?ml4EI—z-1.05x104kN?ml絲L-6.5626x103kN12EI z-5.4688x103kN/m將以上數據代入式（2-3），得局部坐標系中的單元剛度矩陣-43750000000—43750000000-0546900065620—546900065620021880-2625000—21880-2625000097500000—9550000-2625042000002625000k1=0………6562000105000—6562000―0——43750000000437500000000—5469000—656205469000—656200—2188026250002188026250000—975000009750000-2625021000002625042000_0656200052500—656200010500_k2=k1（3）形成整體坐標系中的單元剛度矩陣單元①：k單元①：k1=k1單元②：先形成關系矩陣t和單元坐標轉換矩陣T,見式（2-5）和式（2-8）。根據單元②的局部坐標系與整體坐標系之間的關系（圖2-6），可得「0011t=010單元坐標轉換矩陣為

一00-10001000000一010000:000000100000:00000000000-1：000000000010:000000T=000100:000000000000:00-1000000000:010000000000；100000000000:00000-1000000:000010_000000:000100_根據單元剛度矩陣的轉換關系ke=TeTkeTe可求得整體坐標系中單元②的單元剛度矩陣-2188000-26250：-2188000-26250]0546906562000-546906562000043750000000-43750000006562010500000-65620000-262500042000;2625000210000000097500000-975k2= ： -218800026250:2188000262500-54690-656200054690-65620000-437500000004375000000656205250000-656201050000-262500021000:262500042000_00000-97500000975_（4）根據直接剛度法組集整體剛度矩陣。以下所列為以子塊表示的整體剛度矩陣，各子塊中的元素由匕和k2中的元素組成。k1k1iiijK=k1k1+k2k2Jijjiij0k2k3ji jj（5）引入支承條件，修改整體剛度矩陣K，可得修改后的整體剛度矩陣

439687000-26250010937065620-6562004396870262500656201147500-2625026250840000-656200011475KF（6）組集結點荷載列陣P0,并引入支承條件，求自由結點荷載列陣PF。單元①r單元②的固端力分別為Fi=l050003：05000-31F2=b180007.21018000-7.21f '單元①、單元②的等效結點荷載Pe=—TeTFe-5000310-180007.2I-230-7.2-5000310-180007.2I-230-7.203i0-1807.