北京海淀五所重點(diǎn)中學(xué)高三第一次聯(lián)考：理科數(shù)學(xué)

北京海淀五所重點(diǎn)中學(xué)高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)【試題部分】一、選擇題（每題只有一個正確答案，每小題5分，計50分）：1、設(shè)集合，,則A．B．C．D．2、已知某個幾何體的三視圖如右側(cè)，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（）A． B．C．D．3、若,,,，則A． B．C．D．4、函數(shù)的圖象是yyxOyxOyxOyxOA．B．C．D．5、已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個焦點(diǎn)為,點(diǎn)位于該雙曲線上，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的方程為A． B． C． D．6、若過點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為A．B．C．D．7、已知中，,,則的周長為A． B．C． D．8、已知，,設(shè)是不等式組，表示的平面區(qū)域內(nèi)可行解的個數(shù)，由此可推出，，……,則A． B．C． D．9、已知直線及與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為，與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為，則直線與A.相交，且交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)B.相交，且交點(diǎn)在第=1\*ROMANI象限C.相交，且交點(diǎn)在第=2\*ROMANII象限D(zhuǎn).相交，且交點(diǎn)在第=4\*ROMANIV象限10、已知點(diǎn)是的重心，(,)，若，，則的最小值是A． B．C． D．二、填空題（每小題5分，計25分）：11、設(shè)是第三象限角，，則；12、我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直線坐標(biāo)系中，利用求動點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過點(diǎn)，且法向量為的直線（點(diǎn)法式）方程為，化簡得.類比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面(點(diǎn)法式)方程為 (請寫出化簡后的結(jié)果).13、等腰中，斜邊，一個橢圓以為其中一個焦點(diǎn)，另一焦點(diǎn)在線段上，且橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，則該橢圓的離心率是。14、若數(shù)列的通項公式分別是，，且對任意恒成立，則常數(shù)的取值范圍是.15、給出命題：（1）在空間里，垂直于同一平面的兩個平面平行；（2）設(shè)是不同的直線，是一個平面，若，∥，則；（3）已知表示兩個不同平面，為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的充要條件；（4）若點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)在該三角形所在平面內(nèi)的射影是該三角形的外心；（5）是兩條異面直線，為空間一點(diǎn),過總可以作一個平面與之一垂直，與另一個平行。其中正確的命題是（只填序號）.三、解答題（共計6題，計75分）：16、（本小題12分）已知函數(shù)（）的最小正周期為，（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）在，若,且,求的值。17、（本小題12分）已知是上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的實數(shù)，有恒成立，若（Ⅰ）試判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；（Ⅱ）解關(guān)于的不等式：，其中且。18、（本小題12分）在正中，、、分別是、、邊上的點(diǎn)，滿足（如圖1）,將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連結(jié)、（如圖2）（Ⅰ）求證：⊥平面；圖1圖2ＥＢＰＣＦ（Ⅱ圖1圖2ＥＢＰＣＦ19、（本小題13分）在數(shù)列中，任意相鄰兩項為坐標(biāo)的點(diǎn)均在直線上，數(shù)列滿足條件：，()。（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若，，求成立的正整數(shù)的最小值。20、（本小題13分）設(shè)函數(shù)。（Ⅰ）若在定義域內(nèi)存在，而使得不等式能成立，求實數(shù)的最小值；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個不同的零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍。21、（本小題13分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，過其上一點(diǎn)的切線方程為為常數(shù)）.（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）斜率為的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為，斜率為的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為（、兩點(diǎn)不同），且滿足，求證:線段的中點(diǎn)在軸上；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)時，若的坐標(biāo)為，求為鈍角時點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.【解答部分】1.C【解析】，，.2.B【解析】如圖該幾何體可以看作一個正方體與一個直三棱柱組合而成。3.D【解析】，，，所以。4.A【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，排除B,D；在遞減，則在遞減，排除C.5.B【解析】所以雙曲線的方程為.6.D【解析】設(shè)，，求出直線與圓相切時的斜率。，，所以直線的斜率的取值范圍為.7.C【解析】設(shè)三邊分別為，則，的周長8.B【解析】由可行域解的個數(shù)羅列可知9.A【解析】由圖象可知直線與相交，兩直線方程分別為、，則其交點(diǎn)為坐10.C【解析】由三角形重心性質(zhì)可得,，所以11.【解析】得由平方關(guān)系得.12.【解析】，化簡即得.13.【解析】如圖所示，設(shè)，則，所以14.【解析】當(dāng)為奇數(shù)時，，，，所以當(dāng)為偶數(shù)時，，，，所以綜上可得的取值范圍是.15.(2)(4)【解析】(1)錯誤，垂直于同一平面的兩個平面也可能相交；（3）錯誤，“”是“”的必要條件不充分條件；（5）錯誤，只有當(dāng)異面直線垂直時可以作出滿足要求的平面.16.【解析】依題意函數(shù)的最小正周期為，即，解得，所以（Ⅰ）由得，所以，當(dāng)時，……6分（Ⅱ）由及，得而,所以，解得在中，,，，解得，………………12分17.【解析】（Ⅰ）為上的減函數(shù)。理由如下：是上的奇函數(shù)，，又因是上的單調(diào)函數(shù)，由,，所以為上的減函數(shù)。………………6分（Ⅱ）由，得，結(jié)合（I）得，整理得當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；………………12分18.【解析】不妨設(shè)正三角形的邊長為3，則（Ⅰ）在圖1中，取中點(diǎn)，連結(jié)，則∵,∴而，即△是正三角形又∵,∴∴在圖2中有,,∴為二面角的平面角∵二面角為直二面角,∴又∵,∴⊥平面,即⊥平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知⊥平面，,建立如圖的坐標(biāo)系，則.在圖１中，不難得到，且；,故點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo),∴，，不妨設(shè)平面的法向量，則令得∴故直線與平面所成角的大小為.19.【解析】（Ⅰ）依題意：∴，（*） ∴， ∵，∴.∴數(shù)列{}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.∴，即為數(shù)列的通項公式。┉┉┉┉┉6分（Ⅱ）∴∴…10分，即，又當(dāng)時，當(dāng)時，故使成立的正整數(shù)的最小值為5.┉┉┉┉┉┉┉┉13分20.【解析】(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。求導(dǎo)得：，………3分∵函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，∴函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；當(dāng)時，，∴函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上是增函數(shù)?！?，∴。故實數(shù)的最小值為?！?分(Ⅱ)由得：由題設(shè)可得：方程在區(qū)間上恰有兩個相異實根?！?分設(shè)?！?，列表如下：－0＋減函數(shù)增函數(shù)∵，∴。從而有，………11分畫出函數(shù)在區(qū)間上的草圖（見右下），易知要使方程在區(qū)間上恰有兩個相異實根，只需：，即：?！?3分21.【解析】（Ⅰ）由題意可設(shè)拋物線的方程為, ∵過點(diǎn)的切線方程為, ∴拋物線的方程為………………4分（Ⅱ）直線PA的方程為, 同理,可得，又 ∴線段的中點(diǎn)在軸上.………………8分（Ⅲ）由 ∵∠PAB為鈍角，且P,A,B不共線,即 ，，…10分 又∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo) ∴當(dāng)時，； 當(dāng) ∴∠PAB為鈍角時點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍為……13分【鞏固部分】1-4函數(shù)的圖像大致為1xy1OAxyO111xy1OAxyO11BxyO11Cxy11DO2-6若過點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為A． B． C． D．【解析】設(shè)直線方程為，即，直線與曲線有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離小于等于半徑，得，選擇C另外，數(shù)形結(jié)合畫出圖形也可以判斷C正確.【答案】C3-7已知中，的對邊分別為若且，則A.2B．4＋C．4—D．【解析】由可知,,所以,由正弦定理得.4-10如圖，半圓的直徑為圓心，是半圓上不同于、的任意一點(diǎn)。若為半徑上的動點(diǎn)，則的最小值是A．2B．0C【解析】方向相反，數(shù)量積為負(fù)，排除A、B.若點(diǎn)C在弧AB的中點(diǎn)，P在OC的中點(diǎn)，可以得到5-13橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別是，過作傾斜角為的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為，若垂直于軸，則橢圓的離心率為______.【解析】如圖在中，，.6-19已知二次函數(shù).(1) 若數(shù)列滿足，且求數(shù)列的通項公式；（2）對于（1）中的數(shù)列設(shè)數(shù)列的前n和為,求證：.解：（1）.由累加得：,∴.由（1）知，則.∴.∵>0∴遞增∴,∴.7-20已知A、B、C是直線上的不同的三點(diǎn)，O是直線外一點(diǎn)，向量、、滿足，記．（I）求函數(shù)的解析式；（II）若，,證明：不等式成立；（III）若關(guān)于的方程在上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（I）A、B、C三點(diǎn)共線，（II），，則又由（I）得，，，則要證原不等式成立，只須證：。設(shè)．在上均單調(diào)遞增，則有最大值，又因為，所以在恒成立．不等式成立，即原不等式成立．（III）方程即為，令，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，有極小值為＝即為最小值．又，，又－＝．要使原方程在[0，1]上恰有兩個不同實根，必須使．8-21已知圓經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)及上頂點(diǎn)過點(diǎn)傾斜角