絕對值大全(零點分段法、化簡、最值)

.z.絕對值大全〔零點分段法、化簡、最值〕一、去絕對值符號的幾種常用方法解含絕對值不等式的根本思路是去掉絕對值符號，使不等式變?yōu)椴缓^對值符號的一般不等式，而后，其解法與一般不等式的解法一樣。因此掌握去掉絕對值符號的方法和途徑是解題關(guān)鍵。1利用定義法去掉絕對值符號根據(jù)實數(shù)含絕對值的意義，即||=，有||<；||>2利用不等式的性質(zhì)去掉絕對值符號利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化||<或||>(>0)來解，如||>(>0)可為>或<－；||<可化為－<+<，再由此求出原不等式的解集。對于含絕對值的雙向不等式應化為不等式組求解，也可利用結(jié)論"≤||≤≤≤或－≤≤－〞來求解，這是種典型的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法。3利用平方法去掉絕對值符號對于兩邊都含有"單項〞絕對值的不等式，利用||=可在兩邊脫去絕對值符號來解，這樣解題要比按絕對值定義去討論脫去絕對值符號解題更為簡捷，解題時還要注意不等式兩邊變量與參變量的取值范圍，如果沒有明確不等式兩邊均為非負數(shù)，需要進展分類討論，只有不等式兩邊均為非負數(shù)(式)時，才可以直接用兩邊平方去掉絕對值，尤其是解含參數(shù)不等式時更必須注意這一點。4利用零點分段法去掉絕對值符號所謂零點分段法，是指：假設數(shù)，，……，分別使含有|－|，|－|，……，|－|的代數(shù)式中相應絕對值為零，稱，，……，為相應絕對值的零點，零點，，……，將數(shù)軸分為+1段，利用絕對值的意義化去絕對值符號，得到代數(shù)式在各段上的簡化式，從而化為不含絕對值符號的一般不等式來解，即令每項等于零，得到的值作為討論的分區(qū)點，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應求出解集的并集。零點分段法是解含絕對值符號的不等式的常用解法，這種方法主要表達了化歸、分類討論等數(shù)學思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化。5利用數(shù)形結(jié)合去掉絕對值符號解絕對值不等式有時要利用數(shù)形結(jié)合，利用絕對值的幾何意義畫出數(shù)軸，將絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點間的距離求解。數(shù)形結(jié)合法較為形象、直觀，可以使復雜問題簡單化，此解法適用于或(為正常數(shù))類型不等式。對(或<)，當||≠|(zhì)|時一般不用。二、如何化簡絕對值絕對值的知識是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，在中考和各類競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，含有絕對值符號的數(shù)學問題又是學生遇到的難點之一，解決這類問題的方法通常是利用絕對值的意義，將絕對值符號化去，將問題轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號的問題，確定絕對值符號內(nèi)局部的正負，借以去掉絕對值符號的方法大致有三種類型?！惨弧?、根據(jù)題設條件例1：設化簡的結(jié)果是〔

〕?！睞〕〔B〕

〔C〕

〔D〕思路分析：由可知可化去第一層絕對值符號，第二次絕對值符號待合并整理后再用同樣方法化去．解：∴應選〔B〕．歸納點評

只要知道絕對值將合內(nèi)的代數(shù)式是正是負或是零，就能根據(jù)絕對值意義順利去掉絕對值符號，這是解答這類問題的常規(guī)思路．〔二〕、借助數(shù)軸例2：實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖，則代數(shù)式的值等于〔

〕．〔A〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕思路分析

由數(shù)軸上容易看出，這就為去掉絕對值符號掃清了障礙．解：原式∴應選〔C〕．歸納點評

這類題型是把條件標在數(shù)軸上，借助數(shù)軸提供的信息讓人去觀察，一定弄清：1．零點的左邊都是負數(shù)，右邊都是正數(shù)．2．右邊點表示的數(shù)總大于左邊點表示的數(shù)．3．離原點遠的點的絕對值較大，牢記這幾個要點就能沉著自如地解決問題了．〔三〕、采用零點分段討論法例3：化簡思路分析

本類型的題既沒有條件限制，又沒有數(shù)軸信息，要對各種情況分類討論，可采用零點分段討論法，本例的難點在于的正負不能確定，由于*是不斷變化的，所以它們?yōu)檎?、為負、為零都有可能，應當對各種情況—一討論．解：令得零點：；令得零點：，把數(shù)軸上的數(shù)分為三個局部〔如圖〕①當時,∴

原式②當時，，∴原式③當時，，∴

原式∴歸納點評：雖然的正負不能確定，但在*個具體的區(qū)段內(nèi)都是確定的，這正是零點分段討論法的優(yōu)點，采用此法的一般步驟是：1．求零點：分別令各絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式為零，求出零點〔不一定是兩個〕．2．分段：根據(jù)第一步求出的零點，將數(shù)軸上的點劃分為假設干個區(qū)段，使在各區(qū)段內(nèi)每個絕對值符號內(nèi)的局部的正負能夠確定．3．在各區(qū)段內(nèi)分別考察問題．4．將各區(qū)段內(nèi)的情形綜合起來，得到問題的答案．誤區(qū)點撥

千萬不要想當然地把等都當成正數(shù)或無根據(jù)地增加一些附加條件，以免得出錯誤的結(jié)果．三、帶絕對值符號的運算

在初中數(shù)學教學中，如何去掉絕對值符號？因為這一問題看似簡單，所以往往容易被人們無視。其實它既是初中數(shù)學教學的一個重點，也是初中數(shù)學教學的一個難點，還是學生容易搞錯的問題。則，如何去掉絕對值符號呢？我認為應從以下幾個方面著手：〔一〕、要理解數(shù)a的絕對值的定義。在中學數(shù)學教科書中，數(shù)a的絕對值是這樣定義的，"在數(shù)軸上，表示數(shù)a的點到原點的距離叫做數(shù)a的絕對值。〞學習這個定義應讓學生理解，數(shù)a的絕對值所表示的是一段距離，則，不管數(shù)a本身是正數(shù)還是負數(shù)，它的絕對值都應該是一個非負數(shù)?！捕?、要弄清楚怎樣去求數(shù)a的絕對值。從數(shù)a的絕對值的定義可知，一個正數(shù)的絕對值肯定是它的本身，一個負數(shù)的絕對值必定是它的相反數(shù)，零的絕對值就是零。在這里要讓學生重點理解的是，當a是一個負數(shù)時，怎樣去表示a的相反數(shù)〔可表示為"-a〞〕，以及絕對值符號的雙重作用〔一是非負的作用，二是括號的作用〕。〔三〕、掌握初中數(shù)學常見去掉絕對值符號的幾種題型。1、對于形如︱a︱的一類問題只要根據(jù)絕對值的3個性質(zhì)，判斷出a的3種情況，便能快速去掉絕對值符號。當a>0時，︱a︱=a(性質(zhì)1：正數(shù)的絕對值是它本身)；當a=0時，︱a︱=0(性質(zhì)2：0的絕對值是0)；當a<0時；︱a︱=–a(性質(zhì)3：負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù))。2、對于形如︱a+b︱的一類問題首先要把a+b看作是一個整體，再判斷a+b的3種情況，根據(jù)絕對值的3個性質(zhì)，便能快速去掉絕對值符號進展化簡。當a+b>0時，︱a+b︱=(a+b)=a+b(性質(zhì)1：正數(shù)的絕對值是它本身)；當a+b=0時，︱a+b︱=(a+b)=0(性質(zhì)2：0的絕對值是0)；當a+b<0時，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b(性質(zhì)3：負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù))。3、對于形如︱a-b︱的一類問題同樣，仍然要把a-b看作一個整體，判斷出a-b的3種情況，根據(jù)絕對值的3個性質(zhì)，去掉絕對值符號進展化簡。但在去括號時最容易出現(xiàn)錯誤。如何快速去掉絕對值符號，條件非常簡單，只要你能判斷出a與b的大小即可〔不管正負〕。因為︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以當a>b時，︱a-b︱=〔a-b〕=a-b，︱b-a︱=〔a-b〕=a-b?？谠E：無論是大減小，還是小減大，去掉絕對值，都是大減小。4、對于數(shù)軸型的一類問題，根據(jù)3的口訣來化簡，更快捷有效。如︱a-b︱的一類問題，只要判斷出a在b的右邊〔不管正負〕，便可得到︱a-b︱=〔a-b〕=a-b，︱b-a︱=〔a-b〕=a-b。5、對于絕對值符號前有正、負號的運算非常簡單，去掉絕對值符號的同時，不要忘記打括號。前面是正號的無所謂，如果是負號，忘記打括號就慘了，差之毫厘失之千里也！6、對于絕對值號里有三個數(shù)或者三個以上數(shù)的運算

萬變不離其宗，還是把絕對值號里的式子看成一個整體，把它與0比擬，大于0直接去絕對值號，小于0的整體前面加負號。四、去絕對值化簡專題練習〔1〕

設化簡的結(jié)果是〔

B

〕?！睞〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕(2)

實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖，則代數(shù)式的值等于〔

C〕。〔A〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕(3)

，化簡的結(jié)果是*-8。(4)

，化簡的結(jié)果是-*+8。(5)

，化簡的結(jié)果是-3*。(6)a、b、c、d滿足且，則a+b+c+d=0〔提示：可借助數(shù)軸完成〕(7)假設，則有〔

A

〕。〔A〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕(8)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖，則式子化簡結(jié)果為〔

C

〕．〔A〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕(9)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點如下圖，則以下四個式子，中負數(shù)的個數(shù)是〔B

〕．〔A〕0

〔B〕1

〔C〕2

〔D〕3(10)化簡=(1)-3*(*<-4)(2)-*+8(-4≤*≤2)(3)3*(*>2)(11)設*是實數(shù)，以下四個結(jié)論中正確的選項是〔

D

〕?！睞〕y沒有最小值〔B〕有有限多個*使y取到最小值〔C〕只有一個*使y取得最小值〔D〕有無窮多個*使y取得最小值五、絕對值培優(yōu)教案絕對值是初中代數(shù)中的一個根本概念，是學習相反數(shù)、有理數(shù)運算及后續(xù)二次根式的根底．絕對值又是初中代數(shù)中的一個重要概念，在解代數(shù)式化簡求值、解方程〔組)、解不等(組)、函數(shù)中距離等問題有著廣泛的應用，全面理解、掌握絕對值這一概念，應從以下方面人手：l．絕對值的代數(shù)意義：2．絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看，表示數(shù)的點到原點的距離(長度，非負)；表示數(shù)、數(shù)的兩點間的距離．3．絕對值根本性質(zhì)①非負性：；②；③；④．培優(yōu)講解〔一〕、絕對值的非負性問題【例1】假設，則。總結(jié)：假設干非負數(shù)之和為0，?！捕?、絕對值中的整體思想【例2】，且，則=．變式1.假設|m－1|=m－1，則m_______1;假設|m－1|>m－1，則m_______1;〔三〕、絕對值相關(guān)化簡問題〔零點分段法〕【例3】閱讀以下材料并解決有關(guān)問題：我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一個結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得〔稱分別為與的零點值〕。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值和可將全體有理數(shù)分成不重復且不遺漏的如下3種情況：〔1〕當時，原式=;〔2〕當時，原式=；〔3〕當時，原式=。綜上討論，原式=通過以上閱讀，請你解決以下問題：分別求出和的零點值；〔2〕化簡代數(shù)式變式1.化簡(1)；(2)；變式2.的最小值是，的最大值為，求的值。〔四〕、表示數(shù)軸上表示數(shù)、數(shù)的兩點間的距離．【例4】〔距離問題〕觀察以下每對數(shù)在數(shù)軸上的對應點間的距離4與，3與5，與，與3.并答復以下各題：〔1〕你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：___.〔2〕假設數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為*，點B表示的數(shù)為―1，則A與B兩點間的距離可以表示為______________.〔3〕結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為，取得最小值時*的取值范圍為___.〔4〕滿足的的取值范圍為______.假設的值為常數(shù)，試求的取值范圍．〔五〕、絕對值的最值問題【例5】〔1〕當取何值時，有最小值？這個最小值是多少？〔2〕當取何值時，有最大值？這個最大值是多少？〔3〕求的最小值?！?〕求的最小值。【例6】．，設，求M的最大值與最小值．課后練習：1、假設與互為相反數(shù)，求的值。2．假設與互為相反數(shù)，則與的大小關(guān)系是()．A．B．C．D．3．數(shù)軸上的三點A、B、C分別表示有理數(shù)，1，一l，則表示()．A．A、B兩點的距離B．A、C兩點的距離C．A、B兩點到原點的距離之和D．A、C兩點到原點的距離之和4.利用數(shù)軸分析，可以看出，這個式子表示的是到2的距離與到的距離之和，它表示兩條線段相加：⑴當時，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨的增大而越來越大；⑵當時，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨的減小而越來越大；⑶當時，發(fā)現(xiàn)，無論在這個范圍取何值，這兩條線段的和是一個定值，且比⑴、⑵情況下的值都小。因此，總結(jié)，有最小值，即等于到的距離5.利用數(shù)軸分析，這個式子表示的是到的距離與到1的距離之差它表示兩條線段相減：⑴當時，發(fā)現(xiàn)，無論取何值，這個差值是一個定值；⑵當時，發(fā)現(xiàn)，無論取何值，這個差值是一個定值；⑶當時，隨著增大，這個差值漸漸由負變正，在中點處是零。因此，總結(jié)，式子當時，有最大值；當時，有最小值；9．設，，則的值是〔〕．A．-3B．1C．3或-1D．-3或110