絕對(duì)值大全(零點(diǎn)分段法、化簡(jiǎn)、最值)

.z.絕對(duì)值大全〔零點(diǎn)分段法、化簡(jiǎn)、最值〕一、去絕對(duì)值符號(hào)的幾種常用方法解含絕對(duì)值不等式的根本思路是去掉絕對(duì)值符號(hào)，使不等式變?yōu)椴缓^對(duì)值符號(hào)的一般不等式，而后，其解法與一般不等式的解法一樣。因此掌握去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法和途徑是解題關(guān)鍵。1利用定義法去掉絕對(duì)值符號(hào)根據(jù)實(shí)數(shù)含絕對(duì)值的意義，即||=，有||<；||>2利用不等式的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化||<或||>(>0)來(lái)解，如||>(>0)可為>或<－；||<可化為－<+<，再由此求出原不等式的解集。對(duì)于含絕對(duì)值的雙向不等式應(yīng)化為不等式組求解，也可利用結(jié)論"≤||≤≤≤或－≤≤－〞來(lái)求解，這是種典型的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法。3利用平方法去掉絕對(duì)值符號(hào)對(duì)于兩邊都含有"單項(xiàng)〞絕對(duì)值的不等式，利用||=可在兩邊脫去絕對(duì)值符號(hào)來(lái)解，這樣解題要比按絕對(duì)值定義去討論脫去絕對(duì)值符號(hào)解題更為簡(jiǎn)捷，解題時(shí)還要注意不等式兩邊變量與參變量的取值范圍，如果沒(méi)有明確不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)，需要進(jìn)展分類討論，只有不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)(式)時(shí)，才可以直接用兩邊平方去掉絕對(duì)值，尤其是解含參數(shù)不等式時(shí)更必須注意這一點(diǎn)。4利用零點(diǎn)分段法去掉絕對(duì)值符號(hào)所謂零點(diǎn)分段法，是指：假設(shè)數(shù)，，……，分別使含有|－|，|－|，……，|－|的代數(shù)式中相應(yīng)絕對(duì)值為零，稱，，……，為相應(yīng)絕對(duì)值的零點(diǎn)，零點(diǎn)，，……，將數(shù)軸分為+1段，利用絕對(duì)值的意義化去絕對(duì)值符號(hào)，得到代數(shù)式在各段上的簡(jiǎn)化式，從而化為不含絕對(duì)值符號(hào)的一般不等式來(lái)解，即令每項(xiàng)等于零，得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對(duì)值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集。零點(diǎn)分段法是解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的常用解法，這種方法主要表達(dá)了化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化。5利用數(shù)形結(jié)合去掉絕對(duì)值符號(hào)解絕對(duì)值不等式有時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合，利用絕對(duì)值的幾何意義畫(huà)出數(shù)軸，將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離求解。數(shù)形結(jié)合法較為形象、直觀，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，此解法適用于或(為正常數(shù))類型不等式。對(duì)(或<)，當(dāng)||≠|(zhì)|時(shí)一般不用。二、如何化簡(jiǎn)絕對(duì)值絕對(duì)值的知識(shí)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，在中考和各類競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，含有絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)學(xué)問(wèn)題又是學(xué)生遇到的難點(diǎn)之一，解決這類問(wèn)題的方法通常是利用絕對(duì)值的意義，將絕對(duì)值符號(hào)化去，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的問(wèn)題，確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)局部的正負(fù)，借以去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法大致有三種類型?！惨弧?、根據(jù)題設(shè)條件例1：設(shè)化簡(jiǎn)的結(jié)果是〔

〕。〔A〕〔B〕

〔C〕

〔D〕思路分析：由可知可化去第一層絕對(duì)值符號(hào)，第二次絕對(duì)值符號(hào)待合并整理后再用同樣方法化去．解：∴應(yīng)選〔B〕．歸納點(diǎn)評(píng)

只要知道絕對(duì)值將合內(nèi)的代數(shù)式是正是負(fù)或是零，就能根據(jù)絕對(duì)值意義順利去掉絕對(duì)值符號(hào)，這是解答這類問(wèn)題的常規(guī)思路．〔二〕、借助數(shù)軸例2：實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖，則代數(shù)式的值等于〔

〕．〔A〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕思路分析

由數(shù)軸上容易看出，這就為去掉絕對(duì)值符號(hào)掃清了障礙．解：原式∴應(yīng)選〔C〕．歸納點(diǎn)評(píng)

這類題型是把條件標(biāo)在數(shù)軸上，借助數(shù)軸提供的信息讓人去觀察，一定弄清：1．零點(diǎn)的左邊都是負(fù)數(shù)，右邊都是正數(shù)．2．右邊點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊點(diǎn)表示的數(shù)．3．離原點(diǎn)遠(yuǎn)的點(diǎn)的絕對(duì)值較大，牢記這幾個(gè)要點(diǎn)就能沉著自如地解決問(wèn)題了．〔三〕、采用零點(diǎn)分段討論法例3：化簡(jiǎn)思路分析

本類型的題既沒(méi)有條件限制，又沒(méi)有數(shù)軸信息，要對(duì)各種情況分類討論，可采用零點(diǎn)分段討論法，本例的難點(diǎn)在于的正負(fù)不能確定，由于*是不斷變化的，所以它們?yōu)檎?、為?fù)、為零都有可能，應(yīng)當(dāng)對(duì)各種情況—一討論．解：令得零點(diǎn)：；令得零點(diǎn)：，把數(shù)軸上的數(shù)分為三個(gè)局部〔如圖〕①當(dāng)時(shí),∴

原式②當(dāng)時(shí)，，∴原式③當(dāng)時(shí)，，∴

原式∴歸納點(diǎn)評(píng)：雖然的正負(fù)不能確定，但在*個(gè)具體的區(qū)段內(nèi)都是確定的，這正是零點(diǎn)分段討論法的優(yōu)點(diǎn)，采用此法的一般步驟是：1．求零點(diǎn)：分別令各絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式為零，求出零點(diǎn)〔不一定是兩個(gè)〕．2．分段：根據(jù)第一步求出的零點(diǎn)，將數(shù)軸上的點(diǎn)劃分為假設(shè)干個(gè)區(qū)段，使在各區(qū)段內(nèi)每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的局部的正負(fù)能夠確定．3．在各區(qū)段內(nèi)分別考察問(wèn)題．4．將各區(qū)段內(nèi)的情形綜合起來(lái)，得到問(wèn)題的答案．誤區(qū)點(diǎn)撥

千萬(wàn)不要想當(dāng)然地把等都當(dāng)成正數(shù)或無(wú)根據(jù)地增加一些附加條件，以免得出錯(cuò)誤的結(jié)果．三、帶絕對(duì)值符號(hào)的運(yùn)算

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何去掉絕對(duì)值符號(hào)？因?yàn)檫@一問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，所以往往容易被人們無(wú)視。其實(shí)它既是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，還是學(xué)生容易搞錯(cuò)的問(wèn)題。則，如何去掉絕對(duì)值符號(hào)呢？我認(rèn)為應(yīng)從以下幾個(gè)方面著手：〔一〕、要理解數(shù)a的絕對(duì)值的定義。在中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中，數(shù)a的絕對(duì)值是這樣定義的，"在數(shù)軸上，表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值。〞學(xué)習(xí)這個(gè)定義應(yīng)讓學(xué)生理解，數(shù)a的絕對(duì)值所表示的是一段距離，則，不管數(shù)a本身是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，它的絕對(duì)值都應(yīng)該是一個(gè)非負(fù)數(shù)。〔二〕、要弄清楚怎樣去求數(shù)a的絕對(duì)值。從數(shù)a的絕對(duì)值的定義可知，一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值肯定是它的本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值必定是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值就是零。在這里要讓學(xué)生重點(diǎn)理解的是，當(dāng)a是一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，怎樣去表示a的相反數(shù)〔可表示為"-a〞〕，以及絕對(duì)值符號(hào)的雙重作用〔一是非負(fù)的作用，二是括號(hào)的作用〕?！踩场⒄莆粘踔袛?shù)學(xué)常見(jiàn)去掉絕對(duì)值符號(hào)的幾種題型。1、對(duì)于形如︱a︱的一類問(wèn)題只要根據(jù)絕對(duì)值的3個(gè)性質(zhì)，判斷出a的3種情況，便能快速去掉絕對(duì)值符號(hào)。當(dāng)a>0時(shí)，︱a︱=a(性質(zhì)1：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身)；當(dāng)a=0時(shí)，︱a︱=0(性質(zhì)2：0的絕對(duì)值是0)；當(dāng)a<0時(shí)；︱a︱=–a(性質(zhì)3：負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù))。2、對(duì)于形如︱a+b︱的一類問(wèn)題首先要把a(bǔ)+b看作是一個(gè)整體，再判斷a+b的3種情況，根據(jù)絕對(duì)值的3個(gè)性質(zhì)，便能快速去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)展化簡(jiǎn)。當(dāng)a+b>0時(shí)，︱a+b︱=(a+b)=a+b(性質(zhì)1：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身)；當(dāng)a+b=0時(shí)，︱a+b︱=(a+b)=0(性質(zhì)2：0的絕對(duì)值是0)；當(dāng)a+b<0時(shí)，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b(性質(zhì)3：負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù))。3、對(duì)于形如︱a-b︱的一類問(wèn)題同樣，仍然要把a(bǔ)-b看作一個(gè)整體，判斷出a-b的3種情況，根據(jù)絕對(duì)值的3個(gè)性質(zhì)，去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)展化簡(jiǎn)。但在去括號(hào)時(shí)最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。如何快速去掉絕對(duì)值符號(hào)，條件非常簡(jiǎn)單，只要你能判斷出a與b的大小即可〔不管正負(fù)〕。因?yàn)棣虼?小︱=︱小-大︱=大-小，所以當(dāng)a>b時(shí)，︱a-b︱=〔a-b〕=a-b，︱b-a︱=〔a-b〕=a-b?？谠E：無(wú)論是大減小，還是小減大，去掉絕對(duì)值，都是大減小。4、對(duì)于數(shù)軸型的一類問(wèn)題，根據(jù)3的口訣來(lái)化簡(jiǎn)，更快捷有效。如︱a-b︱的一類問(wèn)題，只要判斷出a在b的右邊〔不管正負(fù)〕，便可得到︱a-b︱=〔a-b〕=a-b，︱b-a︱=〔a-b〕=a-b。5、對(duì)于絕對(duì)值符號(hào)前有正、負(fù)號(hào)的運(yùn)算非常簡(jiǎn)單，去掉絕對(duì)值符號(hào)的同時(shí)，不要忘記打括號(hào)。前面是正號(hào)的無(wú)所謂，如果是負(fù)號(hào)，忘記打括號(hào)就慘了，差之毫厘失之千里也！6、對(duì)于絕對(duì)值號(hào)里有三個(gè)數(shù)或者三個(gè)以上數(shù)的運(yùn)算

萬(wàn)變不離其宗，還是把絕對(duì)值號(hào)里的式子看成一個(gè)整體，把它與0比擬，大于0直接去絕對(duì)值號(hào)，小于0的整體前面加負(fù)號(hào)。四、去絕對(duì)值化簡(jiǎn)專題練習(xí)〔1〕

設(shè)化簡(jiǎn)的結(jié)果是〔

B

〕。〔A〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕(2)

實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖，則代數(shù)式的值等于〔

C〕?！睞〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕(3)

，化簡(jiǎn)的結(jié)果是*-8。(4)

，化簡(jiǎn)的結(jié)果是-*+8。(5)

，化簡(jiǎn)的結(jié)果是-3*。(6)a、b、c、d滿足且，則a+b+c+d=0〔提示：可借助數(shù)軸完成〕(7)假設(shè)，則有〔

A

〕?！睞〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕(8)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖，則式子化簡(jiǎn)結(jié)果為〔

C

〕．〔A〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕(9)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如下圖，則以下四個(gè)式子，中負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是〔B

〕．〔A〕0

〔B〕1

〔C〕2

〔D〕3(10)化簡(jiǎn)=(1)-3*(*<-4)(2)-*+8(-4≤*≤2)(3)3*(*>2)(11)設(shè)*是實(shí)數(shù)，以下四個(gè)結(jié)論中正確的選項(xiàng)是〔

D

〕?！睞〕y沒(méi)有最小值〔B〕有有限多個(gè)*使y取到最小值〔C〕只有一個(gè)*使y取得最小值〔D〕有無(wú)窮多個(gè)*使y取得最小值五、絕對(duì)值培優(yōu)教案絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)根本概念，是學(xué)習(xí)相反數(shù)、有理數(shù)運(yùn)算及后續(xù)二次根式的根底．絕對(duì)值又是初中代數(shù)中的一個(gè)重要概念，在解代數(shù)式化簡(jiǎn)求值、解方程〔組)、解不等(組)、函數(shù)中距離等問(wèn)題有著廣泛的應(yīng)用，全面理解、掌握絕對(duì)值這一概念，應(yīng)從以下方面人手：l．絕對(duì)值的代數(shù)意義：2．絕對(duì)值的幾何意義從數(shù)軸上看，表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離(長(zhǎng)度，非負(fù))；表示數(shù)、數(shù)的兩點(diǎn)間的距離．3．絕對(duì)值根本性質(zhì)①非負(fù)性：；②；③；④．培優(yōu)講解〔一〕、絕對(duì)值的非負(fù)性問(wèn)題【例1】假設(shè)，則?？偨Y(jié)：假設(shè)干非負(fù)數(shù)之和為0，?！捕场⒔^對(duì)值中的整體思想【例2】，且，則=．變式1.假設(shè)|m－1|=m－1，則m_______1;假設(shè)|m－1|>m－1，則m_______1;〔三〕、絕對(duì)值相關(guān)化簡(jiǎn)問(wèn)題〔零點(diǎn)分段法〕【例3】閱讀以下材料并解決有關(guān)問(wèn)題：我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一個(gè)結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如化簡(jiǎn)代數(shù)式時(shí)，可令和，分別求得〔稱分別為與的零點(diǎn)值〕。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：〔1〕當(dāng)時(shí)，原式=;〔2〕當(dāng)時(shí)，原式=；〔3〕當(dāng)時(shí)，原式=。綜上討論，原式=通過(guò)以上閱讀，請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：分別求出和的零點(diǎn)值；〔2〕化簡(jiǎn)代數(shù)式變式1.化簡(jiǎn)(1)；(2)；變式2.的最小值是，的最大值為，求的值。〔四〕、表示數(shù)軸上表示數(shù)、數(shù)的兩點(diǎn)間的距離．【例4】〔距離問(wèn)題〕觀察以下每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離4與，3與5，與，與3.并答復(fù)以下各題：〔1〕你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？答：___.〔2〕假設(shè)數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為*，點(diǎn)B表示的數(shù)為―1，則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為_(kāi)_____________.〔3〕結(jié)合數(shù)軸求得的最小值為，取得最小值時(shí)*的取值范圍為_(kāi)__.〔4〕滿足的的取值范圍為_(kāi)_____.假設(shè)的值為常數(shù)，試求的取值范圍．〔五〕、絕對(duì)值的最值問(wèn)題【例5】〔1〕當(dāng)取何值時(shí)，有最小值？這個(gè)最小值是多少？〔2〕當(dāng)取何值時(shí)，有最大值？這個(gè)最大值是多少？〔3〕求的最小值?！?〕求的最小值。【例6】．，設(shè)，求M的最大值與最小值．課后練習(xí)：1、假設(shè)與互為相反數(shù)，求的值。2．假設(shè)與互為相反數(shù)，則與的大小關(guān)系是()．A．B．C．D．3．?dāng)?shù)軸上的三點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù)，1，一l，則表示()．A．A、B兩點(diǎn)的距離B．A、C兩點(diǎn)的距離C．A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和D．A、C兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和4.利用數(shù)軸分析，可以看出，這個(gè)式子表示的是到2的距離與到的距離之和，它表示兩條線段相加：⑴當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨的增大而越來(lái)越大；⑵當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨的減小而越來(lái)越大；⑶當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)，無(wú)論在這個(gè)范圍取何值，這兩條線段的和是一個(gè)定值，且比⑴、⑵情況下的值都小。因此，總結(jié)，有最小值，即等于到的距離5.利用數(shù)軸分析，這個(gè)式子表示的是到的距離與到1的距離之差它表示兩條線段相減：⑴當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)，無(wú)論取何值，這個(gè)差值是一個(gè)定值；⑵當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)，無(wú)論取何值，這個(gè)差值是一個(gè)定值；⑶當(dāng)時(shí)，隨著增大，這個(gè)差值漸漸由負(fù)變正，在中點(diǎn)處是零。因此，總結(jié)，式子當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，有最小值；9．設(shè)，，則的值是〔〕．A．-3B．1C．3或-1D．-3或110