圓盤自轉(zhuǎn)問題研究

圓盤自轉(zhuǎn)題研究陜西省小學(xué)教師培訓(xùn)中心

王凱

趙熹民桌上有一半徑為的固定圓盤與一半徑為r的動圓盤o將盤o的沿作無滑121動的滾動滾時始終保持兩圓邊沿切)。圓盤

2

繞著圓盤

1

轉(zhuǎn)動一周后，圓盤

2

本身旋轉(zhuǎn)了)。A.1圈B.2圈C.3圈D.4圈這是第五屆初中“祖杯賽”試題。這道題涉及到圓盤的自轉(zhuǎn)。什么是圓盤的自轉(zhuǎn)？圓盤圍繞自己的圓心轉(zhuǎn)動即為自轉(zhuǎn)盤圍繞自己的圓心轉(zhuǎn)動一周就稱為圓盤自轉(zhuǎn)一周或一圈。為研究上題，我們先研究一個簡單問題。例1桌有一個固定的圓盤與一個活動的圓盤，這兩個圓盤的半徑相等。將活動圓盤繞著固定圓盤的邊沿作無滑動的滾(滾時始終保持兩圓盤邊沿密切相)，當(dāng)活動圓盤繞著固定圓盤轉(zhuǎn)動一周后，活動圓盤本身旋轉(zhuǎn)_________圈第屆小學(xué)“祖杯賽”試)解：實驗觀察。觀察上圖可見，在活動圓盤繞著固定圓盤轉(zhuǎn)動過程中，從1到，由

到

，活動圓盤自轉(zhuǎn)了

12

周；從圖到3，

到

再到

，活動圓盤自轉(zhuǎn)了1周。從而可知，當(dāng)活動圓盤繞著固定圓盤轉(zhuǎn)動一周后，活動圓盤本身自轉(zhuǎn)了周即2圈答：活動圓盤本身自轉(zhuǎn)了2圈。從圖4和圖5可見，在活動圓盤沿著直線或凸形曲線作無滑動的滾動時，圓心O移的路程等于圓的周長時，此圓剛好自轉(zhuǎn)一周。這樣，活動圓盤自轉(zhuǎn)的圈數(shù)就可以用圓心O的路程是它周長的倍數(shù)來計算。即圓自轉(zhuǎn)的周=13

圓心移動的路程圓的周長

。

例2文第五屆初中“祖杯賽”試題。解：活動圓盤的周長為2πr，活動圓盤

2

繞著固定圓盤

1

轉(zhuǎn)動一周時，活動圓盤圓心2

移動的路程為2×(3r)=3×(2r)，而

3)

=3，活動圓盤本身旋轉(zhuǎn)了圈選擇。例3△的周長與圓的長相等，當(dāng)O沿的邊沿作無滑動滾動一周后，圓自轉(zhuǎn)了幾圈？解：如圖6所。OOO1346

=AB+BC+CA=圓O周長由∠AO

=360°－°－°－∠°－∠，∠

BO

=180°∠，OCO

=180°C及∠∠°：∠OAO∠O

+∠CO

=360°而OA=AOOB=BO==CO=圓半，所以，弧613=圓O周。

O+弧O+弧OO634圓心移的路程是2個圓周長，故圓自轉(zhuǎn)了圈答：圓自轉(zhuǎn)了2圈例4△的周長是圓周的k倍當(dāng)圓O沿ABC的邊沿作無滑動滾動一周后，圓自轉(zhuǎn)了幾圈？解：由圖6可：

OOO1346

=AB+BC+CA=圓O周的倍?；?/p>

O6

+弧

O23

+弧

O4

=圓O周。圓心移的路程是k+1)圓周長，故圓O自轉(zhuǎn)了k+1)圈答：圓自轉(zhuǎn)了k+1圈23

由凸n邊的外角是°知凸邊形的周長是圓周的倍當(dāng)圓O繞著凸n邊形的邊沿作無滑動滾動一周后，圓本身自轉(zhuǎn)了圈一般地，若封閉的凸平面圖形的周長是圓O周長的倍那么當(dāng)圓繞凸平面圖形的沿作無滑動滾動一周后，圓O本自轉(zhuǎn)了k+1圈例5如7所有個同樣大小的圓固定不動另有一等圓圓A緊個固定的圓滾動而不是滑動，當(dāng)繞完一周回到原來的位置時，本身轉(zhuǎn)了多少圈？解：由圖可，ABC=120°

3603

，把圓B看固定圓，圓A是滾動圓，從圓A到圓，由例1知