圓盤自轉(zhuǎn)問題研究

圓盤自轉(zhuǎn)題研究陜西省小學(xué)教師培訓(xùn)中心

王凱

趙熹民桌上有一半徑為的固定圓盤與一半徑為r的動(dòng)圓盤o將盤o的沿作無滑121動(dòng)的滾動(dòng)滾時(shí)始終保持兩圓邊沿切)。圓盤

2

繞著圓盤

1

轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，圓盤

2

本身旋轉(zhuǎn)了)。A.1圈B.2圈C.3圈D.4圈這是第五屆初中“祖杯賽”試題。這道題涉及到圓盤的自轉(zhuǎn)。什么是圓盤的自轉(zhuǎn)？圓盤圍繞自己的圓心轉(zhuǎn)動(dòng)即為自轉(zhuǎn)盤圍繞自己的圓心轉(zhuǎn)動(dòng)一周就稱為圓盤自轉(zhuǎn)一周或一圈。為研究上題，我們先研究一個(gè)簡(jiǎn)單問題。例1桌有一個(gè)固定的圓盤與一個(gè)活動(dòng)的圓盤，這兩個(gè)圓盤的半徑相等。將活動(dòng)圓盤繞著固定圓盤的邊沿作無滑動(dòng)的滾(滾時(shí)始終保持兩圓盤邊沿密切相)，當(dāng)活動(dòng)圓盤繞著固定圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，活動(dòng)圓盤本身旋轉(zhuǎn)_________圈第屆小學(xué)“祖杯賽”試)解：實(shí)驗(yàn)觀察。觀察上圖可見，在活動(dòng)圓盤繞著固定圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，從1到，由

到

，活動(dòng)圓盤自轉(zhuǎn)了

12

周；從圖到3，

到

再到

，活動(dòng)圓盤自轉(zhuǎn)了1周。從而可知，當(dāng)活動(dòng)圓盤繞著固定圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，活動(dòng)圓盤本身自轉(zhuǎn)了周即2圈答：活動(dòng)圓盤本身自轉(zhuǎn)了2圈。從圖4和圖5可見，在活動(dòng)圓盤沿著直線或凸形曲線作無滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)，圓心O移的路程等于圓的周長(zhǎng)時(shí)，此圓剛好自轉(zhuǎn)一周。這樣，活動(dòng)圓盤自轉(zhuǎn)的圈數(shù)就可以用圓心O的路程是它周長(zhǎng)的倍數(shù)來計(jì)算。即圓自轉(zhuǎn)的周=13

圓心移動(dòng)的路程圓的周長(zhǎng)

。

例2文第五屆初中“祖杯賽”試題。解：活動(dòng)圓盤的周長(zhǎng)為2πr，活動(dòng)圓盤

2

繞著固定圓盤

1

轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，活動(dòng)圓盤圓心2

移動(dòng)的路程為2×(3r)=3×(2r)，而

3)

=3，活動(dòng)圓盤本身旋轉(zhuǎn)了圈選擇。例3△的周長(zhǎng)與圓的長(zhǎng)相等，當(dāng)O沿的邊沿作無滑動(dòng)滾動(dòng)一周后，圓自轉(zhuǎn)了幾圈？解：如圖6所。OOO1346

=AB+BC+CA=圓O周長(zhǎng)由∠AO

=360°－°－°－∠°－∠，∠

BO

=180°∠，OCO

=180°C及∠∠°：∠OAO∠O

+∠CO

=360°而OA=AOOB=BO==CO=圓半，所以，弧613=圓O周。

O+弧O+弧OO634圓心移的路程是2個(gè)圓周長(zhǎng)，故圓自轉(zhuǎn)了圈答：圓自轉(zhuǎn)了2圈例4△的周長(zhǎng)是圓周的k倍當(dāng)圓O沿ABC的邊沿作無滑動(dòng)滾動(dòng)一周后，圓自轉(zhuǎn)了幾圈？解：由圖6可：

OOO1346

=AB+BC+CA=圓O周的倍?；?/p>

O6

+弧

O23

+弧

O4

=圓O周。圓心移的路程是k+1)圓周長(zhǎng)，故圓O自轉(zhuǎn)了k+1)圈答：圓自轉(zhuǎn)了k+1圈23

由凸n邊的外角是°知凸邊形的周長(zhǎng)是圓周的倍當(dāng)圓O繞著凸n邊形的邊沿作無滑動(dòng)滾動(dòng)一周后，圓本身自轉(zhuǎn)了圈一般地，若封閉的凸平面圖形的周長(zhǎng)是圓O周長(zhǎng)的倍那么當(dāng)圓繞凸平面圖形的沿作無滑動(dòng)滾動(dòng)一周后，圓O本自轉(zhuǎn)了k+1圈例5如7所有個(gè)同樣大小的圓固定不動(dòng)另有一等圓圓A緊個(gè)固定的圓滾動(dòng)而不是滑動(dòng)，當(dāng)繞完一周回到原來的位置時(shí)，本身轉(zhuǎn)了多少圈？解：由圖可，ABC=120°

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，把圓B看固定圓，圓A是滾動(dòng)圓，從圓A到圓，由例1知