量子力學(xué)-第二章chap5微擾理論

（一）引言（二）微擾體系方程（三）態(tài)矢和能量的一級(jí)修正（四）態(tài)矢和能量的二階修正（五）微擾理論適用條件（六）（七）實(shí)例§1

非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論（一）引言近似方法的重要性前幾章介紹了量子力學(xué)的基本理論，使用這些理論解決了一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。如：一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題；線性諧振子問(wèn)題；勢(shì)壘貫穿問(wèn)題；氫原子問(wèn)題。這些問(wèn)題都給出了問(wèn)題的精確解析解。然而，對(duì)于大量的實(shí)際物理問(wèn)題，Schr?dinger

方有精確解的情況很少。通常體系的Hamilton量是比較復(fù)雜的，往往不能精確求解。因此，在處理復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，量子力學(xué)求問(wèn)題近似解的方法（簡(jiǎn)稱近似方法）就顯得特別重要。微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天體運(yùn)行的天體物理學(xué)中，計(jì)算行星運(yùn)行軌道時(shí)，就是使用微擾方法。計(jì)算中需要考慮其他行星影響的二級(jí)效應(yīng)可精確求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設(shè)體系

Hamilton 量不顯含時(shí)間，而且可分為兩部分：

H?

H?

H?

(0)（二）微擾體系方程H?

H?

(0)

H?

H(0)

所描寫(xiě)的體系是可以精確求解的，其本征值E

n

(0)，本征矢|ψn(0)>滿足如下本征方程：(0)n(0)

(0)n

n

E

|(0)?H

|另一部分

H’是很小的（很小的物理意義將在下面

）,可以看作是加于H(0)

上的微小擾動(dòng)?，F(xiàn)在的問(wèn)題是如何求解微擾后Hamilton量H的本征值和本征矢，即如何求解整 系的

Schr?dinger

方程：H?

|

n

En

|

n

當(dāng)H’=0

時(shí)，|ψn>=|ψn

(0)>,En

=E

n

(0)

；H?

|

n

En

|

n

當(dāng)H’=0時(shí)，|ψn>=|ψn(0)>,En

=E

n

(0)

；當(dāng)H’≠0時(shí)，引入微擾，使體系能級(jí)發(fā)生移動(dòng)，由E

n

(0)

→En

，狀態(tài)由 |ψn

(0)>

→|ψn

>。為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫(xiě)為：H?

H?

(1)其中λ是很小的實(shí)數(shù)，表征微擾程度的參量。因?yàn)镋n

、|ψn

>都與微擾有關(guān)，可以把它們看成是λ的函數(shù)而將其展開(kāi)成λ的冪級(jí)數(shù)(微擾級(jí)數(shù))：H?

H?

(0)

H?

(

2)n(1)

2n(0)nn2

(

2)n(1)nn

E

(0)En|

|

|

|

E

E其中E

n

(0),

λE

n(1), λ2

E

n

(1),

...

分別是能量的

0

級(jí)近似，能量的一級(jí)修正和二級(jí)修正等；而|ψn

(0)>, λ|ψn

(1)>, λ2

|ψn

(2)>,

...分別是狀態(tài)矢量的0

級(jí)近似，一級(jí)修正和二級(jí)修正等。代入Schr?dinger方程得：)

|

)(|)?(H?

(0)(

2)n2

|(1)n(0)n2

(

2)(1)(

2)n2(1)n|

|(1)(0)n

H

)(|

n

En

En

(E

(0))

|

)(|)?(H?

(0)(

2)n2

|(1)n(0)n2

(

2)(1)(

2)n2

|(1)n(1)(0)n

H

)(|

|n

En

En

(E

(0)乘開(kāi)得：

[]

]

]

[]

?????(1)(1)(

2)(0)(1)(0)(0)33n

n

n

n

n

nn

n

n

nn

nn

n(0)n(1)n(0)n2

[E

(0)

|

(

2)

E

(1)

|

(1)

E

(

2)

|

(0)[E

(0)

|

(1)

E

(1)

|

(0)E

(0)

|

(0)

H

|

]

[H

|

[H

|

H

|

]

2H

|根據(jù)等式兩邊λ同冪次的系數(shù)應(yīng)該相等，可得到如下一系列方程式:(0)n(

2)(1)(0)(1)(0)(0)n(1)n(1)(0)(1)n

n(1)n(

2)n(0)(0)(0)(0)||???n(0)nn(1)

E

|

H

|

H

|??(0)n(1)n(

2)n0

:

H

|1

:

H

|2

:

H

|n

E

|n

En

En

E

|

E

|整理后得：[H?

(0)[H?

(0)[H?

(0)

E

0

(0)n(

2)n(0)n(1)n(1)n(1)(0)n(1)n(

2)n(0)n(0)n(0)n

E

]

|

E

]

|

E

]

|(1)n

E

]

|

E

]

|(1)|?

[H?

[H上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分別是|ψn(1)>和|ψn(2)>所滿足的方程，由此可解得能量和態(tài)矢的第一、二級(jí)修正?，F(xiàn)在 借助于未微擾體系的態(tài)矢|ψn

(0)>和本征能量E

n

(0)來(lái)導(dǎo)出擾動(dòng)后的態(tài)矢|ψn

>和能量En

的表達(dá)式。1

能量的一級(jí)修正λ

E

n

(1)根據(jù)力學(xué)量本征矢的完備性假定，

H(0)的本征矢|ψn

(0)>是完備的，任何態(tài)矢量都可按其展開(kāi)，|ψn

(1)>

也不例外。因此 可以將態(tài)矢的一級(jí)修正展開(kāi)為：

(1)(0)(0)(0)(1)|k

1kknknk(1)n||

k

1a|（三）態(tài)矢和能量的一級(jí)修正akn(1)

=<ψk(0)

|ψn(1)

>

(1)

(0)kn

k(1)n(0)k(0)kk

1

k

1(1)na

|

|

|

|代回前面的第二式并計(jì)及第一式得：

a(1)[E

(

0)kn

kk

1(

0)n(1)(1)n

[H?

E(

0)k(

0)n

E(

0)n(1)(1)n

[H?

E(

0)k(1)kn(

0)(

0)n[H?

E]

|]

|]

||]k

1a左乘<ψm

|(0)(1)(0)n(1)n(0)(H?

(0)n

(H?

(1)

E

)n

E

)(0)n(0)(0)n(0)?H

|n

E

|

k

1(0)n(0)m

|(1)(0)n(1)(0)m(0)k(0)(0)(1)(0)m?|

H

|n

Enkkna

[E

E

]

|

k

1(0)n(0)m(1)(0)n(1)(0)m(0)k(0)m(0)(0)(1)|?|

H

||n

Ekn

k

na

[E

E

]

n mn(1)mnn mkkn(0)

(0)k(1)

E

(1)a

[E

E

]考慮到本征基矢的正交歸一性：k

1?

H(0)na(1)

[E(0)mn

m

E(1)(1)mn

n

mn

E

?]

H考慮兩種情況:1. m=n(1)??(0)n(0)n(1)nn(1)n

HE|

H

|2. m≠nmnmnmnH?

(1)E

(0)

E

(0)E

(0)

E

(0)a(1)

mn

m

n

(0)

|

H?

(1)

|

(0)

微擾矩陣元準(zhǔn)確到一階微擾的體系能量：(1)nn

E

(0)n

EE

(1)(0)n(1)(0)n(0)n

E?|

H

|?(0)n(0)n(0)nH

|

|

(0)n?(0)n(0)nnn

H

E

E

|

H

|

E?(0)n??(0)n(0)nnnH|

H

|其中能量的一級(jí)修正等于微擾Hamilton

量在0

級(jí)態(tài)矢中的平均值.(1)2

態(tài)矢的一級(jí)修正

|ψn

>k

1(0)k(1)kn(1)n||a為了求出體系態(tài)矢的一級(jí)修正，先利用擾動(dòng)態(tài)矢|ψn>的歸一化條件可以證明上式展開(kāi)系數(shù)中an

n(1)=

0

（可以取為

0

）,即 中不包含

。

n

n|

(1)

|

(0)kknk

n(0)nnE

(0)

E

(0)

k

n

|

(0)

(0)

|

H?

|

(0)

|

|k

n(0)k(1)kn(0)n|n|

|a(0)k(0)n|

k

n|kn

k n E

(0)

E

(0)

(0)

|

H?

(1)

|

(0)k

n(0)k(0)n|

|n

k

k

n

E

(0)

E

(0)

(0)

|

H?

(1)

|

(0)能量與態(tài)矢的一級(jí)近似修正的結(jié)果為:(1)nn

E

(0)n

EEnnn

HE

E?(0)nkknn

(0)k

nnE

(0)

E

(0)

k

n

|

(0)

(0)

|

H?

|

(0)

|

|

|(1)n(0)nn|

|（四）能量的二階修正與求態(tài)矢的一階修正一樣，將|ψn(2)

>按|ψn(0)

>展開(kāi)：

(0)k(

2)kn(

2)n(0)k(0)kk

1

k

1

a(

2)n|

|

||與|ψn

(1)

>展開(kāi)式一起代入關(guān)于2

的第三式(0)n(

2)n

E(0)k(1)kn(1)n

[H?

(1)

E(0)k(

2)knk

1n

(0)

E[H?

(0)[H?

(0)||]k

1ak

1(

0)n(

2)n

E(

0)k(1)kn(1)n

[H?

(1)

E(

0)k(

2)kn(

0)n

E||]k

1|]ak[E

(

0)a(0)n(2)(1)n(1)|]?(1)n(2)n(0)n

E]

[H

E]

a

|

n

En

mn(0)k(0)mkn

mkna

(1)(1)(1)(1)

E

(

2)

Ea

(0)

(

2)(0)[E

E

]a

?|

H

|

n

kn

mkk

1

knk

1

kk

1左乘態(tài)矢<ψm(0)

|

(0)

|

(0)

m

n

k

1(1)nk

1

E(0)k(1)(0)m(1)

knk

1(0)k(0)m(0)

(

2)n

kn

Ea

(0)k?|

H

||]a

[En

E

(

2)a(1)

(0)

|

(0)

kn

m

kn

mnma

H(0) (

2)n

mn]a

E[E

(0)(

2)

E

(1) (1)

E

(1)a(1)kn

mk

n

mnk

1正交歸一性k

1(1)n

[H?

(1)

E]k

1[E(0)

E

(0)

]a(

2)

|

(0)k

n

kn

ka(1)

(0)

E

(

2)

|

(0)kn

k

n

n|當(dāng)m=n

時(shí)0

na

H

E

(

2)(1)

(1)

E

(1)a(1)kn

mk n mn(1)

(1)nn

nn(1)

(1)kn

nk(

2)En

H

aa

Hk

1k

1(1)nk(1)knHa(1)nkH

(1)n

kHknE

(0)

E

(0)k

n

kn

kn

kn

H

(1)

H

(1)*E

(0)

E

(0)k

nk

nkn

kn

|

H

(1)

|2E

(0)

E

(0)k

n在推導(dǎo)中使用了微擾矩陣的厄密性(0)

*(1)(0)k(1)*kn?nH(1)(0)k(0)n?|

H

|(0)k(1)(0)n?|

H

||

H

|nk

H

(1)n

mn(0) (

2)n

mnma

H(1) (1)

E

(1)a(1)kn

mk

n

mn]a

E[E

(0)(

2)

E

k

1n

kknknH

(1)E

(0)

E

(0)a(1)

22 (

2)kn

kn

n|

H

(1)

|2E

(0)

E

(0)能量的二級(jí)修正:k

n

E(0)(0)(0)(1)(0)?k

k

n

En

E|

|2|

|

Hk

nknE(0)

E(0)|

(0)

|

H?

|

(0)

|2

k

n

k

nkn

kn

E

(0)

E

(0)|

H

|2k

n在計(jì)及二階修正后，擾動(dòng)體系能量本征值由下式給出：E

E(0)

E(1)

2

E(2)n

n

n

n2kn

kn

nn(0)n|

H

|E

(0)

E

(0)

HEn

E

k

n（五）微擾理論適用條件總結(jié)上述，在非簡(jiǎn)并情況下，受擾動(dòng)體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：|2kn

kn

k

nnn(0)nnE

(0)

E

(0)|

H

HE

E(0)kkn

kn

n

(0)k

nnE(0)

E(0)H

||

|欲使二式有意義，則要求二級(jí)數(shù)收斂。由于不知道級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，無(wú)法判斷級(jí)數(shù)的收斂性，只能要求級(jí)數(shù)已知項(xiàng)中，后項(xiàng)遠(yuǎn)小于前項(xiàng)。由此得到微擾理論適用條件是：k

E(0()0n

1

EknE

E(0()0)Hkn這就是本節(jié)開(kāi)始時(shí)提到的關(guān)于H’很小的明確表示式。當(dāng)這一條件被滿足時(shí)，由上式計(jì)算得到的一級(jí)修正通?？山o出相當(dāng)精確的結(jié)果。微擾適用條件表明：（1）| |=|<ψk(0)

|

H’

|ψn(0)

>|

要小，即微擾矩陣元要??；（2）|En(0)

–Ek(0)|

要大，即能級(jí)間距要寬。例如：在庫(kù)侖場(chǎng)中，體系能量（能級(jí)）與量子數(shù)n2成反比，即En

=

-

μZ2

e4

/2

2

n2

(n

=1,2,3,

...)由上式可見(jiàn)，當(dāng)n大時(shí)，能級(jí)間距變小，因此微擾理論不適用于計(jì)算高能級(jí)（n大）的修正，而只適用于計(jì)算低能級(jí)（n小）的修正。E

(0)

E

(0)n

k

1n

kE

(0)

E

(0)Hknk

n(0)k(0()0)k(0)n|

n

|

|nE

EHkn擾動(dòng)態(tài)矢|ψn>可以看成是未擾動(dòng)態(tài)矢|ψk(0)>的線性疊加。（2）展開(kāi)系數(shù)

/(E

n

(0)

-

E

k

(0))

表明第k個(gè)未擾動(dòng)態(tài)矢|ψk(0)>對(duì)第n個(gè)擾動(dòng)態(tài)矢|ψn>的貢獻(xiàn)有多大。展開(kāi)系數(shù)反比于擾動(dòng)前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)|ψk(0)>

混合的也越強(qiáng)。因此態(tài)矢一階修正無(wú)須計(jì)算無(wú)限多項(xiàng)。（1）在一階近似下：（六）（3）由En

=E

n(0)

+H’nn可知，擾動(dòng)后體系能量是由擾動(dòng)前第n態(tài)能量E

n(0)加上微擾Hamilton量H’在未微擾態(tài)|ψn(0)>中的平均值組成。該值可能是正或負(fù)，引起原來(lái)能級(jí)上移或下移。（4）對(duì)滿足適用條件E(0)

E(0)n

k

1n

kE

(0)

E(0)Hkn的微擾問(wèn)題，通常只求一階微擾其精度就足夠了。如果一級(jí)能量修正H’n

n

=

0

就需要求二級(jí)修正，態(tài)矢求到一級(jí)修正即可。（5）在推導(dǎo)微擾理論的過(guò)程中， 引入了小量λ，令：H’

= λH(1)只是為了便于將擾動(dòng)后的定態(tài)Schrodinger方 夠按λ的冪次分出各階修正態(tài)矢所滿足的方程，僅此而已。一旦得到了各階方程后，λ就可不用再明顯寫(xiě)出，把H(1)

理解為H’即可，因此在以后

中，就不再明確寫(xiě)出這一小量。用微擾論處理問(wèn)題時(shí),要恰當(dāng)?shù)剡x取H0,在有的問(wèn)題中H0與H’的劃分是很顯然的,但在有的問(wèn)題中要根據(jù)如何使計(jì)算簡(jiǎn)化來(lái)決定H0與H’的劃分,同時(shí)還要兼顧計(jì)算結(jié)果的可靠性。通常,除了要求H0的本征值和本征函數(shù)必須已知外,還可以從體系的對(duì)稱性及微擾矩陣元是否滿足一定的選擇定則來(lái)考慮。微擾論是一種逐步近法。如能級(jí)簡(jiǎn)并,上述微擾公式不適用,需要用另外的辦法來(lái)處理。例一電荷為e的線性諧振子，受恒定弱電場(chǎng)ε作用。電場(chǎng)沿x正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。解：（1）電諧振子Hamilton量

2

x

2

exH?

1222

d

22

dx將Hamilton

量分成H0，可看成微擾。+H’

兩部分，在弱電場(chǎng)

下，上式最后一項(xiàng)很小

H?

ex

2

dx

2

H?

02

d

22

22

1

x（七）實(shí)例（2）寫(xiě)出H0

的本征值和本征函數(shù)E(0),ψn(0)n

0,1,2,

2n

n!21

(n

)(0)nN

N

eE(0)nnnnH

(x)

2

x

2

/

2（3）計(jì)算En(1)?E

(1)

H

n

nn

e(0)*ndx

0x(0)n(0)*ndx(0)n

H

上式積分等于0是因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)所致。（4）計(jì)算能量二級(jí)修正欲計(jì)算能量二級(jí)修正，首先應(yīng)計(jì)算矩陣元。k

n

nkknH

(0()*0)?x(0()*0d)

x

H

dx

e

利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：21n1n1n1nnx

[

]

2

n1

(0)

]dx2

n1n

(0)2

n1

(0)*

1

[k

kn

eHn1

(0)

dx]2

n1k

(0)*k

(0)*n

(0)

dx

2

n1

e

1

[k

,n1

n1

2k

,n1

n2

]

e

[k

,n1

n1

2k

,n1

[

]e

n

2knH(2)nknE(0)

E(0)|

H

|2

kn

Ek

nknE

(0)

E

(0)

n1

n

2

k

,n1

2

k

.n1

|

e

[

]

|2k

n]2k

.n1

n1

k

,n122

(

)k

nn

kE(0)

E(0)

1

[

n

e(0)2

n1(0)2n1

(0)nn1

(0)n

E11EE

E

(

e

)2

n對(duì)諧振子有；En(0)

-

En-1(0)

=

ω,En(0)

-

En+1(0)

=-ω，2

2

nE(

2)

(

e

)2[

n

1

2

n1

1

]

(

e

)2

1

2

2

2

e2

2由此式可知，能級(jí)移動(dòng)與n

無(wú)關(guān)，即與擾動(dòng)前振子的狀態(tài)無(wú)關(guān)。(0)(1)nkn

kk

nE(0)

E(0)Hkn(0)kn

kk

nE(0)

E(0)

]

e

[

n22

k

,n1n1k

,n1

(0)n1

2n1

n21n

n1E(0)

E(0)1n1n

n1E(0)

E(0)

(0)en1

(0)

1

(0)n12n11

e

n2

(0)n1(0)n1

n

n

1

1

2

3

e（5）計(jì)算波函數(shù)的一級(jí)修正例

.

設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：

00c

2

1

c

0H

c

30設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級(jí)近似；求H

的精確本征值；在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。解：（1）c<<1，可取0級(jí)和微擾Hamilton

量分別為：

c

0

2

0H

0

1

0

0

0

c

0

3

0

H

c

0

00

00H0

是對(duì)角矩陣，是Hamilton

H0在自身表象中的形式。所以能量的

0

級(jí)近似為：E1(0)

=1E2(0)

=3(0)E3

=

-2由非簡(jiǎn)并微擾公式k

n(

2)nk