2021年陜西省高中數(shù)學(xué)競賽試題及參考答案

PAGEPAGE8全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試題（4月24日上午8:30—11:00）第一試一、選擇題（每小題6分，共48分．給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1、已知集合，是的子集，且中各元素的和為，則滿足條件的子集共有（）A.個B.個C.個D.個2、在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是（）A.B.C.D.3、設(shè)是同一平面內(nèi)的三個單位向量，且，則的最大值是（）A.B.C.D.4、從這個數(shù)中，任取個不同的數(shù)，則這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A.B.C.D.5、是拋物線上關(guān)于直線對稱的相異兩點，則等于（）A.B.C.D.ACDBGM6、如圖，在棱長為1的正四面體中，為的重心，是線段的中點，則三棱錐的外接球的表面積為（）ACDBGMA.B.C.D.7、設(shè)函數(shù)（均為非零整數(shù)）.若，，則的值是（）A.B.C.D.8、設(shè)非負(fù)實數(shù)滿足，則的最小值為（）A.B.C.D.二、填空題（每小題8分，共32分）9、在數(shù)列中，，且任意連續(xù)三項的和都是，則_______________.10、設(shè)均為正整數(shù)，且滿足，則的最小值是_______________.11、設(shè)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，若對，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.12、設(shè)，則函數(shù)的最小值為_________.第二試一、（本題滿分20分）設(shè)均為非零實數(shù)，且滿足．（1）求的值；（2）在中，若，求的最大值．二、（本題滿分20分）已知直線，動圓，菱形的一個內(nèi)角為，頂點在直線上，頂點在圓上，當(dāng)變化時，求菱形的面積的取值范圍．三、（本題滿分20分）如圖，圓與圓相交于兩點，圓的弦與圓相切，圓的弦與圓相切，直線與的外接圓交于另一點．求證：．EEDCABOO12圖11四、（本題滿分30分）設(shè)函數(shù)，且的最小值為，（1）求的值；（2）已知數(shù)列滿足，，設(shè)，其中表示不超過的最大整數(shù)．求．五、（本題滿分30分）設(shè)為正實數(shù)，且滿足，對任意整數(shù)，證明：．參考答案：第一試一、CBADCBDA二、（9）5；（10）54；（11）；（12）1.第8題提示：法一：法二：第12題提示：，根據(jù)絕對值的幾何意義，當(dāng)時，最小．第二試一、（1）依題意有，．（2），，，，當(dāng)，即時，的最大值為．二、設(shè)直線方程方程為，則直線與間距離為，，，原點到直線的距離為，，由，得，即．，，解得且．，的取值范圍為且．三、提示:由，得,（1）由，得，即，（2）由（1）、（2）兩式，得，