高等數(shù)學(xué)課件：第八章 重 積 分1

1第八章重積分2

重積分是定積分的推廣和發(fā)展.其同定積分一樣也是某種確定和式的極限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取極限.

定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),其積分區(qū)域是一個(gè)確定區(qū)間.

而二重、三重積分的被積函數(shù)是二元、三元函數(shù),其積分域是一個(gè)平面有界閉區(qū)域和空間有界閉區(qū)域.重積分有其廣泛的應(yīng)用.序言3問(wèn)題的提出二重積分的概念二重積分的性質(zhì)小結(jié)思考題作業(yè)doubleintegral第一節(jié)二重積分的概念

與性質(zhì)第九章重積分4?曲邊梯形面積是如何求以直代曲、回憶思想是分割、以不變代變.取近似、求和、取極限.二重積分的概念與性質(zhì)一、問(wèn)題的提出?

一般立體的體積如何求先從曲頂柱體的體積開(kāi)始.一般立體的體積可分成一些比較簡(jiǎn)單的曲頂柱體的體積.而曲頂柱體的體積的計(jì)算問(wèn)題,可作為二重積分的一個(gè)模型.5曲頂柱體體積=特點(diǎn)1．曲頂柱體的體積D困難曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以頂是曲面且在D上連續(xù)).?曲頂頂是曲的二重積分的概念與性質(zhì)6柱體體積=

特點(diǎn)

分析如何創(chuàng)造條件使?

解決問(wèn)題的思路、步驟與分割、平頂平曲這對(duì)矛盾互相轉(zhuǎn)化與曲邊梯形面積的求法類(lèi)似取近似、求和、取極限.二重積分的概念與性質(zhì)

底面積×高7步驟如下用若干個(gè)小平頂柱體體積之和先任意分割曲頂柱體的底，曲頂柱體的體積并任取小區(qū)域，近似表示曲頂柱體的體積，二重積分的概念與性質(zhì)8(1)

分割相應(yīng)地此曲頂柱體分為n個(gè)小曲頂柱體.(2)

取近似第i個(gè)小曲頂柱體的體積的近似式(用表示第i個(gè)子域的面積).將域D任意分為n個(gè)子域在每個(gè)子域內(nèi)任取一點(diǎn)二重積分的概念與性質(zhì)9(3)求和

即得曲頂柱體體積的近似值:(4)

取極限λ)趨于零,求n個(gè)小平頂柱體體積之和令n個(gè)子域的直徑中的最大值(記作上述和式的極限即為曲頂柱體體積二重積分的概念與性質(zhì)102.非均勻平面薄片的質(zhì)量(1)

將薄片分割成n個(gè)小塊，看作均勻薄片.(2)(3)(4)近似

任取小塊設(shè)有一平面薄片,求平面薄片的質(zhì)量M.二重積分的概念與性質(zhì)11也表示它的面積,二、二重積分的概念1.二重積分的定義定義作乘積

并作和

①②③二重積分的概念與性質(zhì)12積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素這和式則稱此零時(shí),如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于的極限存在,極限為函數(shù)二重積分,記為即④二重積分的概念與性質(zhì)13曲頂柱體體積它的面密度曲頂即在底D上的二重積分,平面薄片D的質(zhì)量即二重積分的概念與性質(zhì)在薄片D上的二重積分,14

2.

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D,二重積分可寫(xiě)為注定積分中1.重積分與定積分的區(qū)別:重積分中可正可負(fù).則面積元素為二重積分的概念與性質(zhì)D152.二重積分的存在定理

設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)存在.連續(xù)函數(shù)一定可積注今后的討論中,積分區(qū)域內(nèi)總是連續(xù)的.或是分片連續(xù)函數(shù)時(shí),則都假定被積函數(shù)在相應(yīng)的二重積分的概念與性質(zhì)16(2)3.二重積分的幾何意義(3)

(1)在D上的二重積分就等于二重積分是二重積分是而在其它的部分區(qū)域上是負(fù)的.這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.那末,柱體體積的負(fù)值;柱體體積;在D上的若干部分區(qū)域上是正的,二重積分的概念與性質(zhì)17例設(shè)D為圓域?二重積分=解

上述積分等于由二重積分的幾何意義可知，是上半球面上半球體的體積：二重積分的概念與性質(zhì)RD18性質(zhì)１為常數(shù),則(二重積分與定積分有類(lèi)似的性質(zhì))二重積分的概念與性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)19以1為高的性質(zhì)2將區(qū)域D分為兩個(gè)子域性質(zhì)3若為D的面積oxyD1D2

注既可看成是以D為底,柱體體積.

對(duì)積分區(qū)域的可加性質(zhì).D1與D2除分界線外無(wú)公共點(diǎn).D又可看成是D的面積.二重積分的概念與性質(zhì)20二重積分的概念與性質(zhì)問(wèn)在有界閉區(qū)域D1上可積,且則必有21特殊地性質(zhì)4(比較性質(zhì))設(shè)則二重積分的概念與性質(zhì)例的值=().(A)為正(B)為負(fù)(C)等于0(D)不能確定為負(fù)B22選擇題

比較(D)無(wú)法比較.oxy

1??1?2C(2,1)?性質(zhì)4(比較性質(zhì))的大小,則()二重積分的概念與性質(zhì)23幾何意義以m為高和以M為高的兩個(gè)證再用性質(zhì)1和性質(zhì)3,

性質(zhì)5(估值性質(zhì))則σ為D的面積,則曲頂柱體的體積介于以D為底,平頂柱體體積之間.證畢.二重積分的概念與性質(zhì)24解估值性質(zhì)區(qū)域D的面積在D上例不作計(jì)算,二重積分的概念與性質(zhì)25性質(zhì)6(二重積分中值定理)體積等于顯然幾何意義證D上連續(xù),σ為D的面積,則在D上至少存在一點(diǎn)使得則曲頂柱體以D為底為高的平頂柱體體積.將性質(zhì)5中不等式各除以二重積分的概念與性質(zhì)有26的最大值M與最小值m之間的.由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理.兩端各乘以點(diǎn)的值證畢.即是說(shuō),確定的數(shù)值是介于函數(shù)在D上至少存在一點(diǎn)使得函數(shù)在該與這個(gè)確定的數(shù)值相等,即二重積分的概念與性質(zhì)27選擇題(A)(B)(C)(D)提示:B是有界閉區(qū)域D:上的連續(xù)函數(shù),不存在.利用積分中值定理.二重積分的概念與性質(zhì)28利用積分中值定理,解即得:由函數(shù)的連續(xù)性知,顯然,其中點(diǎn)是圓域內(nèi)的一點(diǎn).二重積分的概念與性質(zhì)29二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義(曲頂柱體的體積)(四步:分割、取近似、求和、取極限)二重積分的概念與性質(zhì)四、小結(jié)(注意對(duì)稱性質(zhì)的用法)作業(yè)習(xí)題9-1(P-78)2.4(4)5.(1)(3)30思考題

將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比