北航理論力學(xué)生教學(xué)課件-動(dòng)力學(xué)

2一、碰撞的特點(diǎn)和分類特點(diǎn)：碰撞時(shí)間極短促；速度有顯著變化；碰撞力巨大，且在碰撞過程中變化復(fù)雜；碰撞中物體必然變形；機(jī)械能損失。碰撞的兩個(gè)階段，恢復(fù)系數(shù)：(2)

恢復(fù)階段，所受沖量：I2(1)

變形階段，所受沖量：I1I1

I2恢復(fù)系數(shù)：I1e

I2公切面3二、問題的簡化常規(guī)力(如重力)不計(jì)；碰撞力的效應(yīng)以沖量計(jì)；碰撞物體在碰撞過程中的位移忽略不計(jì)。三、理論基礎(chǔ)(1)

沖量定理(動(dòng)量定理的積分形式)；(2)

沖量矩定理(動(dòng)量矩定理的積分形式)；例：質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定面的碰撞。小球高度H， 下落到固定面上，彈起高度h，H

>

h。Hh解：

一、變形階段：v

2gH

0所受沖量：I1

()1(1)方程：

0

mv

I2二、恢復(fù)階段：0

u

2gh所受沖量：I2

()方程：mu

0

I(2)(1),(2)

I1,

I2

I

I2

I11e

I2

u

I

v4v

u5例：平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)固定面的碰撞。Ah1CvC一、力學(xué)模型：碰撞前：1

,vCy質(zhì)心C：vC

()

vAy二、變形階段：A

:v角速度：1

方程：質(zhì)心C：v

uC角速度：

2未知量：I1,

I2

,

v,,2

,uC可解。(4)(5)(6)C

2

2muC

mv

I2方程：J

(

)

I

hI

I

e

2

1vAy

vC

h1(1)(2)(3)C

1C

1

1mv

mv

IJ

(

)

I

hv

h

0三、恢復(fù)階段：A

:0

uAy6(2),(5),(6)11e

I2

2

I

(4):(1)四、撞前：撞后：

eI1vAy

e

I2

uAy碰撞點(diǎn)撞后法向相對(duì)速度碰撞點(diǎn)撞前法向相對(duì)速度(4)(5)(6)C

2

2muC

mv

I2J

(

)

I

hI

I

e

2

1(1)(2)(3)mv

mvC

I1JC

(

1

)

I1

hv

h

0C

1uC

v

I2

ev

v

IA點(diǎn)：vAy

vC

h1uAy

uC

h2uAyvAyvC

uC

v

v

h

h

h2vC

v

v

h

h

h1

e(vC

v)

e(h

h1

)(vC

v)

(h

h1

)7五、動(dòng)能損失：212

21

CC

1T

1

mv2

J

21222

CC

2T

1

mu2

J

T

T2

T1六、附：

如果補(bǔ)充碰撞全程方程：muC

mvC

I1

I2J

(

)

(I

I

)

h

C

2

1

1

2則非獨(dú)立方程。8TIITn

切平面的法線稱為碰撞法線T-T

公共切平面2

nuIu1碰撞前碰撞點(diǎn)的速度v1,v21

2碰撞后碰撞點(diǎn)的速度u

,u壓縮沖量（大?。篒1恢復(fù)沖量（大小）：I2恢復(fù)系數(shù)v1n

v2n

u1n

u2ne

I2I11vv29（1）:若v1

//v2

//n

，稱為正碰撞，否則稱為斜碰撞（3）:e

0

,

稱為完全塑性碰撞e

1

,稱為完全彈性碰撞（2）:若兩物體的質(zhì)心在碰撞法線上,稱為對(duì)心碰撞,

否則稱為偏心碰撞。碰撞的分類TIT1u1vIIu2

nv210解：取桿為研究對(duì)象vCCuuACvA

vC

2ghmuC

mvC

IuA

uC

uACcosACuAn

uC

uCCAnv

v

vI

uAn

uAn0.5

uAn例：已知：L,m,h,

,e

0.5求桿碰撞后的角速度和質(zhì)心速度。v1n

v2n

u1n

u2ne

I2I1y

:

muC

mvC

I12

2

1

mL2

0

I

L

cos0.5vC

uC

0.5L

cosuCI11I例：質(zhì)量為m的剛體可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，受到?jīng)_量I的作用，軸承O有約束力沖量，確定約束沖量為零的條件。xxyyooIoyICClKK2vvcc

uc11解：應(yīng)用沖量定理muC

mvC

I

Iox

Ioyy

: 0

I

sin

IoyIoyI

0

0Ioxa

x

:

muC

mvC

I

Iox應(yīng)用對(duì)O軸的沖量矩定理JO2

JO

(1)

Il

0若Iox

0

2

1

ma(

)

IJO

(2

1)

Il

J

Omal

12例：已知沖量I作用前系統(tǒng)摩擦。求沖擊結(jié)束時(shí)，滑塊A的速度和桿的角速度。，m1

2m2

,AB

L，不計(jì)1解：應(yīng)用沖量定理Bm

AvCvIIAA

IN2mC

m21mm1vA

m2vC

Ix

:

m1vA

m2vC

I應(yīng)用對(duì)固定點(diǎn)（與A點(diǎn)重合）的沖量矩定理m

L

IL22m2vC

L

1

2

12應(yīng)用剛體平面運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)法vC

vA

vACAC29mvA

2I29mvC

13I3m2

L

10I13OABDII

AyABBxII

Ax

IByI

'BxByI

'DBI

'Dx例：圖示系統(tǒng)初始

，A點(diǎn)作用一沖量I，求沖擊后的此瞬時(shí)OA桿的角速度。設(shè)各桿為l，質(zhì)量均為m。I

'Dy14OABDOABDII思考題：O、D點(diǎn)是否有鉛垂的約束沖量。15思考題：質(zhì)量為m長為L的均質(zhì)桿AB

放在水平面上，桿與水平面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f，若在桿的B端垂直于桿作用一水平?jīng)_量I。求沖擊結(jié)束后的瞬時(shí)，桿的角加速度和質(zhì)心加速度。ABI解：(1)

先求出碰撞結(jié)束的瞬時(shí),

桿上質(zhì)點(diǎn)的速度分布;應(yīng)用沖量定理和沖量矩定理:Cmv1

ml2

0

I

l12

2CvCC

Imvml

6I16ABCvC碰撞結(jié)束的瞬時(shí),

桿上質(zhì)點(diǎn)的速度分布:ABvCC

Imvml

6ICCvl317碰撞結(jié)束的瞬時(shí),

桿上質(zhì)點(diǎn)的摩擦力分布:BCCvl3CvAB1

fmg32

fmg3A質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和關(guān)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理:3

3Cxma

1

fmg

2

fmg12

3

6

3

31

ml

2

2

fmg

l

1

fmg

l18例：半徑為r，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓環(huán)

地放在粗糙水平面上，輪與水平面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f。設(shè)在初始時(shí)刻(t=0)，圓環(huán)受到一水平通過環(huán)心的碰撞沖量S的作用，S位于圓環(huán)的所在平面內(nèi)。試確定圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(即圓環(huán)中心的速度、位移隨時(shí)間t的變化規(guī)律)，以環(huán)心初始時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。vo191.

運(yùn)動(dòng)的第一階段(連滾帶滑)NmgyxoaFffma

Ff0

N

mgmr

2

r

FFf

f

N可解得(積分并代入初始條件)：rv fgt

v0

fgt(v

,

)v

r設(shè)經(jīng)過1

時(shí)間，環(huán)達(dá)到純滾動(dòng)：t0r

f

fgt1

r1v02

fg

t

1

0

1201v2r,

v

v

fgt

v0

,

202.

運(yùn)動(dòng)的第二階段(純滾)NmgyxoaFffma

Ff0

N

mgmr

2

r

Fa

r可得：可解得(積分并代入初始條件)：

Ff

r

Ffm

mr2

rf

F

01012v2rv

v

v0

1(t

t

)21fma

Ff0

N

mgmr2

r

F

MFf

N

fM