【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)一 三角函數(shù)的概念（一）

三角函數(shù)的概念環(huán)節(jié)一三角函數(shù)的概念（一）創(chuàng)設(shè)情境問(wèn)題1如圖，單位圓⊙O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，建立一個(gè)函數(shù)模型，刻畫(huà)點(diǎn)P的位置變化情況．根據(jù)已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為我們需要研究哪些內(nèi)容？答案：明確研究背景—對(duì)應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)分析—下定義—研究性質(zhì)．1．形成概念問(wèn)題2如圖，以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)．射線OA從x軸的非負(fù)半軸開(kāi)始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α，終止位置為OP．（1）如圖，當(dāng)α=

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？求解的依據(jù)是什么？（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)的步驟是什么？點(diǎn)P的坐標(biāo)唯一確定嗎？新知探究新知探究答案：（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)，求解的依據(jù)是勾股定理；（2）步驟：如圖，畫(huà)出

的終邊OP，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于M，在Rt△OMP中，利用勾股定理可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

，

)．點(diǎn)P的坐標(biāo)是唯一確定的．1．形成概念1．形成概念

追問(wèn)1當(dāng)α=

或

時(shí)，能利用上述的方法求解嗎？若不能，如何轉(zhuǎn)化？點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么？它們是唯一確定的嗎？新知探究答案：畫(huà)出

的終邊OP，顯然點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，1)．

畫(huà)出

的終邊OP，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于M，∠MOP=

，在Rt△OMP中，利用勾股定理，且點(diǎn)P在第二象限，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

，

)．點(diǎn)P的坐標(biāo)是唯一確定的．

1．形成概念

追問(wèn)2一般地，任意給定一個(gè)角α，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？你能用函數(shù)的語(yǔ)言刻畫(huà)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？答案：對(duì)于R中的任意一個(gè)角α，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)為P(x，y)，無(wú)論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的．所以，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是角α的函數(shù)．新知探究1．形成概念

定義設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)．（1）把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y=sinα；新知探究（2）把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即y=cosα；（3）把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做α的正切，記作tanα，即=tanα（x≠0）．1．形成概念新知探究追問(wèn)3對(duì)于R中的任意一個(gè)角α，是唯一確定的嗎？為什么？是α的函數(shù)嗎？答案：當(dāng)α=+kπ（k∈Z）時(shí)，α的終邊在y軸上，這時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)等于0，所以=tanα無(wú)意義．除此之外，對(duì)于確定的角α，點(diǎn)P(x，y)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是唯一確定的，所以也是唯一確定的．由此可知，=tanα（x≠0）也是以角α為自變量，以單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)．1．形成概念

定義我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)．通常將它們記為：正弦函數(shù)y=sinx；新知探究余弦函數(shù)y=cosx；正切函數(shù)

y=tanx，x≠+kπ（k∈Z）．2．理解概念問(wèn)題3

請(qǐng)同學(xué)們先閱讀教科書(shū)第178~179頁(yè)，再回答如下問(wèn)題：（2）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系各是什么？（1）符號(hào)sinα，cosα和tanα分別表示什么？在你以往的學(xué)習(xí)中有類似的引入特定符號(hào)表示一種量的經(jīng)歷嗎？（3）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域分別是什么？為什么？新知探究

（2）正弦函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：α→點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y；

余弦函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：α→點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x；

正切函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：α→

．答案：（1）分別表示sinα=y，cosα=x，tanα=

；引入過(guò)符號(hào)logab表示ax=b中的x．新知探究（3）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域是R；

正切函數(shù)的定義域是{x∈R|x≠+kπ，k∈Z}．2．理解概念答案：作出Rt△ABC，其中∠A=x，∠C=90°，再將它放入直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，AC在x軸的非負(fù)半軸上，可得出y1=z1的結(jié)論．對(duì)于余弦、正切也有相同的結(jié)論．問(wèn)題4

在初中我們學(xué)了銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．設(shè)x∈(0，

)，把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角x的正弦記為y1，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的x的正弦記為z1，y1與z1相等嗎？對(duì)于余弦、正切也有相同的結(jié)論嗎？新知探究2．理解概念4．應(yīng)用概念例1

利用三角函數(shù)的定義求

的正弦、余弦和正切值．追問(wèn)依據(jù)三角函數(shù)定義，如何求一個(gè)角α的三角函數(shù)值？答案：利用勾股定理求出角α與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)定義，求得角α的三角函數(shù)值．在直角坐標(biāo)系中，作∠AOB=

（如圖）．易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(

，

)．所以，sin

=

，cos

=

，tan

=－

．新知探究4．應(yīng)用概念sinπ=0，cosπ=－1，tanπ=0；

sin

=－1，cos

=0，

的正切值不存在．新知探究練習(xí)利用三角函數(shù)定義，求0，，π，

的三個(gè)三角函數(shù)值．答案：sin0=0，cos0=1，tan0=0；

sin

=1，cos

=0，

的正切值不存在．4．應(yīng)用概念例2

如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r．求證：sinα=

，cosα=

，tanα=

．（2）在你所作出的圖形中，你發(fā)現(xiàn)

，

，

與任意角α的三角函數(shù)有怎樣的關(guān)系？依據(jù)什么？追問(wèn)（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，如何作圖得到sinα，cosα，tanα呢？新知探究4．應(yīng)用概念答案：（1）作單位圓，求出單位圓與OP的交點(diǎn)(x0，y0)，則sinα=y0，cosα=x0，tanα=

．（2）發(fā)現(xiàn)

=y0=sinα，

=x0=cosα，

=

=tanα．新知探究4．應(yīng)用概念證明：如圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P0(x0，y0)．分別過(guò)點(diǎn)P，P0作x軸的垂線PM，P0M0，垂足分別為M，M0，則

|P0M0|=|y0|，|PM|=|y|，|OM0|=|x0|，|OM|=|x|，△OMP∽△OM0P0．新知探究于是

，即|y0|=

．因?yàn)閥0與y同號(hào)，所以y0=

，即sinα=

．同理可得cosα=

；tanα=

．4．應(yīng)用概念追問(wèn)例2實(shí)際上給出了任意角三角函數(shù)的另外一種定義，而且這種定義與已有的定義是等價(jià)的．你能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述一下這種定義嗎？答案：設(shè)α是任意一個(gè)角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r，則

，

，

分別叫做角α的正弦、余弦、正切．新知探究4．應(yīng)用概念練習(xí)已知點(diǎn)P在半徑為2的圓上按順時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，角速度為1rad/s．求2s時(shí)點(diǎn)P所在的位置．解：

以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心O，OP所在直線為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系．2s時(shí)點(diǎn)P所在位置記為Q．因?yàn)辄c(diǎn)P是在圓上按順時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，角速度為1rad/s，所以圓心角∠POQ＝－2rad．又因?yàn)閳A的半徑為2，所以2s時(shí)，點(diǎn)P在該坐標(biāo)系中的位置為（2cos2，－2sin2）．新知探究歸納小結(jié)（1）任意角三角函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么？（2）三角函數(shù)的概念是什么？它的定義方法與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的定義方法有什么不同？任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)有哪些區(qū)別和聯(lián)系？（3）能不能畫(huà)一個(gè)結(jié)構(gòu)圖來(lái)反映本節(jié)課的研究思路及內(nèi)容？問(wèn)題5

本節(jié)課學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的概念，結(jié)合下述問(wèn)題，完成本節(jié)課的總結(jié)：歸納小結(jié)（2）對(duì)于R中的任意一個(gè)角α，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)為P(x，y)，sinα=y，cosα=x，tanα=

．冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等是通過(guò)具體實(shí)例的共性歸納而抽象出來(lái)的，而三角函