高二物理競賽高斯定理課件

1§11.4高斯定理（Gausstheorem）

靜電場中任意閉合曲面S的電通量，等于該曲面所包圍的電量除以e

0

而與S以外的電荷無關(guān)。這個閉合曲面稱為高斯面。

數(shù)學(xué)表達式1.包圍點電荷q的同心球面S的電通量球面上各點的場強方向與其徑向相同。球面上各點的場強大小由庫侖定律給出。S反映場和源的關(guān)系。

2任意閉合曲面S不包圍電荷，點電荷q處于S之外：如圖所示，由于從q發(fā)出的電場線，凡是穿入S面的，必定又從S面穿出，所以穿過S面的電場線凈條數(shù)必定等于零，曲面S的電通量必定等于零。多個點電荷q1,q2,…,qn，其中k個被任意閉合曲面S所包圍，另外nk個處于S面之外：根據(jù)上一條的證明，閉合曲面S外的nk個電荷對S面的電通量無貢獻，S面的電通量只決定于其內(nèi)部的k個電荷，并應(yīng)表示為:3任意閉合曲面S包圍了一個任意的帶電體這時可以把帶電體劃分成很多很小的體元d，體元所帶的電荷dq=d可看作點電荷，與上面第3條的結(jié)果一致，這時S的電通量可表示為根據(jù)矢量分析中的高斯定理，可以將上式寫成下面的微分形式:

高斯定理源自庫侖定律，在靜電學(xué)中，常常利用它來求解電荷分布具有一定對稱性的電場問題。4例：一無限長均勻帶電細棒，其線電荷密度為，求距細棒為a處的電場強度。

解：以細棒為軸作一個高為l、截面半徑為a的圓柱面，如圖所示。以該圓柱面為高斯面，運用高斯定理，由于對稱性，圓柱側(cè)面上各點的場強E的大小相等,方向都垂直于圓柱側(cè)面向外。

通過高斯面S的電通量可分為圓柱側(cè)面和上、下底面三部分通量的代數(shù)和。S

a5因上、下底面的場強方向與面平行，其電通量為零，即式中后兩項為零。此閉合面包含的電荷總量其方向沿場點到直導(dǎo)線的垂線方向。正負由電荷的符號決定。S

a6例：求半徑為R的均勻帶電球體在球內(nèi)外各點的場強分布。設(shè)球體電荷密度為r

，總電量為Q。解：因為電荷分布具有球?qū)ΨQ性。固選取同心的球面為高斯面。QRr7例：均勻帶電的球殼內(nèi)外的場強分布。設(shè)球殼半徑為R，所帶總電量為Q。解：場源的對稱性決定著場強分布的對稱性。它具有與場源同心的球?qū)ΨQ性。固選同心球面為高斯面。場強的方向沿著徑向，且在球面上的場強處處相等。當(dāng)高斯面內(nèi)電荷為Q，所以當(dāng)高斯面內(nèi)電荷為0高斯面高斯面均勻帶電球殼8結(jié)果表明：1)均勻帶電球殼外的場強分布正像球面上的電荷都集中在球心時所形成的點電荷在該區(qū)的場強分布一樣。2)在球面內(nèi)的場強均為零。注意：1）不是每個面元上電荷在球面內(nèi)產(chǎn)生的場強為零，而是所有面元上電荷在球面內(nèi)產(chǎn)生場強的矢量和=0。2）非均勻帶電球面在在球面內(nèi)任一點產(chǎn)生的場強不可能都為零。（在個別點有可能為零）

9解：由于電荷分布對于場點p到平面的垂線op

是對稱的，所以

p點的場強必然垂直于該平面。

又因電荷均勻分布在無限大的平面上，所以電場分布對該平面對稱。即離平面等遠處的場強大小都相等、方向都垂直于平面，當(dāng)場強指離平面。當(dāng)場強方向指向平面。例：求無限大均勻帶電平板的場強分布。設(shè)面電荷密度為。10

由于圓筒側(cè)面上各點的場強方向垂直于側(cè)面的法線方向，所以電通量為零；又兩個底面上場強相等、電通量相等，均為穿出。場強方向垂直于帶電平面。

選一其軸垂直于帶電平面的圓筒式封閉面作為高斯面

S，帶電平面平分此圓筒，場點p位于它的一個底面上。11

場強方向指離平面;場強方向指向平面。例：求兩個平行無限大均勻帶電平面的場強分布。設(shè)面電荷密度分別為和。解：該系統(tǒng)不再具有簡單的對稱性，不能直接應(yīng)用高斯定理。然而每一個帶電平面的場強先可用高斯定理求出，然后再用疊加原理求兩個帶電平面產(chǎn)生的總場強。需注意方向：A區(qū)：與相反B區(qū)：與相反C區(qū)：與相同所有區(qū)域與大小相同，方向：12直流電路中的平行板電容器間的場強，就是這種情況。由圖可知，在A

區(qū)和B區(qū)場強均為零。C區(qū)場強的方向從帶正電的平板指向帶負電的平板。場強大小為一個帶電平板產(chǎn)生的場強的兩倍。13小結(jié)：⑴通過用閉合曲面的電通量概念可以說明高斯定理。但需注意這僅僅是為了便于理解而用的一種形象解釋，它不是高斯定理的嚴格數(shù)學(xué)證明。⑵高斯定理是在庫侖定律基礎(chǔ)上得到的（定律是對客觀事實的描述，通常是對實驗結(jié)果的歸納，而定理是由定律通過推理演變而來），但是前者適用范圍比后者更廣泛。

高斯定理反映了庫侖定律的平方反比關(guān)系F

1/r2，如庫侖定律無此關(guān)系則得不到高斯定理。庫侖定律只適用于真空中的靜電場，而高斯定理適用于靜電場和隨時間變化的場，高斯定理是電磁場理論的基本方程之一。14(4)雖然高斯定理說明電通量只與S內(nèi)電荷有關(guān)而與S外電荷無關(guān)，但這并不是說

只與S內(nèi)電荷有關(guān)而與S外電荷無關(guān)。實際上，

是由S內(nèi)、外所有電荷產(chǎn)生的結(jié)果。(3)高斯定理表明，通過閉合曲面的電通量只與閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和有關(guān)，而與閉合曲面外的電荷無關(guān)。這同時也表明靜電場是有源場，其源就是電荷。(5)

高斯定理對靜電場的描述是不完備的。高斯定理是靜電場的兩個基本定理之一(另一個是環(huán)路定理)。兩個定理各自反映靜電場性質(zhì)的一個側(cè)面。二者結(jié)合，才能完整地描述靜電場。15(7)

用高斯定理求場強是比較簡單的。然而，我們需要明確，雖然高斯定理是普遍成立，但是任何帶電體產(chǎn)生的場強不是都能由它計算出，因為這樣的計算是有條件的，它要求電場分布具有一定的對稱性，在具有某種對稱性時，才能適選高斯面，從而很方便的計算出值。

(8)應(yīng)用高斯定理時，要注意下面環(huán)節(jié)：分析對稱性；b)適選高斯面（必須是閉合曲面以