2014固體物理5.聲子比熱容

第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容晶格（點陣）熱容在溫度為

(=kBT)的聲子總能量可表示成所有聲子模能量的總和K,

pUlat

UK

,

p

nK

,

pK

p

K

p式中<nK,p>表示平衡情況下波矢為K、極化模為

p

的聲子占有數(shù)。聲子為玻色子，因此有1

12K

,

p

n

1

1eK

,

p

/eK

,

p第

5

章 聲子（II）：熱學性質聲子比熱容普朗克分布（玻色分布）考慮一組處于熱平衡的全同諧振子。玻爾茲曼因子e

En

/KBT表示量子態(tài)En

出現(xiàn)的熱力學概率，則處于第n+1

個量子態(tài)與第n

個量子態(tài)的諧振子數(shù)目的比為

N

n1Nn

e

/

,

kBT第n

個量子態(tài)的諧振子占總諧振子數(shù)的比為3es

/s0en

/s

Ns0Nn1第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容利用一個諧振子的平均激發(fā)量子數(shù)為

ses

/

n

s0

es

/s0(1

x)2s01

x

xs

1

;dx

s0

sxs

x

d

xs

x

s0可得14

n

e

/

11

e

/

e

/此即普朗克分布（玻色分布）第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容5.1.2

簡正模的計算方法具有不同頻率K,p

的諧振子集合的熱平衡能量為假定在

~+d

范圍內晶體具有給定極化模為p

的振動模式數(shù)Dp()d，用積分代替求和，U

K

p5e

1K

,

p

/K

,

ppp1e

/U

dD

()

第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容晶格比熱容為6所以問題就轉化為求Dp()，即求單位頻率間隔內的模式數(shù)目，此函數(shù)亦稱為模式密度，但常稱為態(tài)密度定義:在頻率

附近單位頻率間隔中的簡正模式數(shù)。用D()表示。（有時也用單位體積、單位頻率間隔中的簡正模式數(shù)）D()d表示在頻率

d

范圍內的簡正模式數(shù)，模式密度又稱為聲子的態(tài)密度（或能級密度），1)2TClatp

U

kB

p(e

/(

/

)

e2

/dD

()第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容5.1.3

一維情況下的態(tài)密度考慮玻恩-卡曼環(huán)狀原子鏈，波矢

K

的取值K

l

2π

l

2π

（l為整數(shù)且l

(

N

,N

]）Na

L

2

2L=Na

為原子鏈的長度，所以在區(qū)間

π/a

K

π/a單位長度的模式數(shù)目為L/2，在其它區(qū)間為0實際上

需要知道的是單位頻率間隔內的模式（或狀態(tài)的數(shù)目）D()7第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容(K)是K

的偶函數(shù)，所以在

處d

間隔內的模式數(shù)等于在K

處dK間隔內的模式數(shù)的兩倍D()d

2

L

dK

2

L

d2π

2π

d

/

dK當(K)成水平直線，即群速等于0時，D()就出現(xiàn)一個奇點85.1

聲子比熱容5.1.4

三維情況下的態(tài)密度第

5

章 聲子（II）：熱學性質將周期性邊界條件應用于邊長為L

的立方體所包含的

N3

個原胞，于是波矢

K

三個分量的取值與一維的情況一樣，即(2π)

3

2π

V

L

3

L

2

29（l為整數(shù)且l

(

N

,N

]）

l

2πzKx

,

Ky

,

K對每一種偏振模式每一支色散，波矢空間每一體積元

(2/L)3

內有一個

K

值，即

K

空間每單位體積內允許的

K

值數(shù)為5.1

聲子比熱容對每種偏振，波矢比K

小的模式總數(shù)為第

5

章 聲子（II）：熱學性質dKd

2π2

dD()

dN

VK

2(2π)3

310

4

πK

3VN

因此對每種偏振類型，態(tài)密度為第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容5.1.5

計算態(tài)密度的德拜模型所謂德拜模型是假定在晶體的波矢空間存在著連續(xù)介質彈性波的色散關系，這相當于長波極限下聲學支格波的色散關系

的色散關系是線性的，德拜模型正是由這樣一個簡單的線性色散關系去替代復雜的色散關系。則由（書中（20））給出態(tài)密度。

vK

，

K2π2v311D()

V2第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容一般情況下，先畫出某支色散關系的等能面來，常數(shù)，在波矢空間中相等的點組成的面稱為等能面，在德拜模型中，所有相等的點在波矢空即

v

K＝聲子的能量為

s

(K

)

能量相同就意味著

相同，間中為一波矢

K

為半徑的球面。第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容在球內的模式數(shù)應為：球的體積×波矢空間單位體積的模式數(shù)=∴K

3

N

'4

L

33

2

K

v3L

3N

'

2

3v34

V36

2v3則模式密度—單位頻率間隔中的模式數(shù)為:D()

dN

'

V2d

2

2v3第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容由于對一個有三種偏離振態(tài)（三個聲學支），則有：對于縱波：對于橫波：（兩支橫波可簡并）3LV

2LD

()

2

2v32V

2T2

vTD

()

第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容∴

總的模式密度：3

3

2

L

T

vvV21L)

D

(D(

T)

D

()

2

2當三種模式都可簡并時:3V22

2v3D()

第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容函數(shù)圖形如下，是一個拋物線性函數(shù)：D()第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容按連續(xù)介質

性波的理論，頻率是不受任何限制的，可從0變到∞，則總的模式數(shù)：D()d→∞發(fā)散。這個結果表明，總的模式數(shù)有無限多，而與晶體中的模式數(shù)與總

度相同的結果相

。0（為初基晶胞數(shù)）則D率小于D

的模式可用連續(xù)介質中的彈性波處理，第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容為了解決這個

，德拜認為不是所有的頻率的模式都存在，而存在著一個頻率上限

D

，稱為德拜截止頻率，超過D

的振動模式是不存在的，而頻D()d

3ND由總的3N個聲子模式

度決定：03V22

2v3d

3ND0V6

2v3

N3D5.1

聲子比熱容與德拜截止頻率相對應的波矢定義為德拜截止波第

5

章 聲子（II）：熱學性質矢:波矢空間畫一個球，稱為德拜球，球內應包含所有的簡正模式，即3N個模式，球外的短波振動在晶體中是不存在的，而球內的所有模式可用連續(xù)介質中的彈性波來處理，球內的模式數(shù)應為晶體中所有的模式數(shù)，即3N個。vKDD

VN

136KD

2是晶體中格波的最大波矢，以

KD

為半徑在KD第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容如對一個三維點陣常數(shù)為

a

的立方點陣，第1BZ為一邊長為a的立方體，第1BZ中有N

個K

（N為晶體中的初基晶胞數(shù)），按德拜模型（即對晶體使用連續(xù)介質中的彈性波的色散關系），

K 值只能在德拜球中取值，但第1BZ中的聲子模式數(shù)也是3N個，因此德拜模型實際上用一個球代替了第1BZ，也就是說本應在第1BZ中取的K

值，而現(xiàn)在是在德拜球內取值，顯然，德拜球的體積應等于第1BZ的體積，根據(jù)此模型，模式密度D()

～關系應為：20

＞DD()

2

2v33V2D

第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容對每一種偏振類型，聲子能量為2π2v311

0e

/ppU

dD

()e

/

D

d

V2

其中定義x

/

/kBT，以及xD

D

/kBT

/T

稱為德拜溫度為簡單起見，假定波速v

與偏振態(tài)無關，因此210

xD0Dex1x3dx2π2v3

1

B

2π2v33e

/V2

3V(k T

)4U

3

d第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容德拜溫度為26π

N1/

3D

vkB

kB因此總的聲子能量V22

Bx3

T

31xD

dx0exU

9Nk

T第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容由上式對溫度進行微分運算，可得熱容13e

/2Vπ2v3

0D

dU

3231)2D

d

4e

/xD0x4exT

3

9Nk

B

dxx(e

1)2B

T

2π2v3k T

2

0CV(e

/U

3V25.1

聲子比熱容第

5

章 聲子（II）：熱學性質德拜近似下的固體比熱容鍺和硅的比熱容245.1

聲子比熱容杜隆-珀替定律根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計理論的能量均分定理，每一個簡諧振動的平均能量是

kBT，若固體中有N

個原子，則有

3N

個簡諧振動模，則固體總能量為U

3NkBT第

5

章 聲子（II）：熱學性質熱容為U25CV

T

3NkB即熱容是一個與溫度和材料無關的常數(shù)，此即杜隆-珀替定律第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容在高溫的極限T

>>

情況下，即xD<<1，x<<1

1ex所以在高溫極限，熱容趨于經(jīng)典值B

x0D

dxT

3x4exx(e

1)2VC

9Nk

B26DBV

B3xD0(ex

1)2因此

x23

C

9Nk

T

x2dx

9Nk

T

1

x3

3Nk3

第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容5.1.6

德拜的T3

律在很低的溫度(T<<

)下，有xD→∞，即上式中積分的上限為趨于無窮

BxD

dx0x3

T

31exU

9Nk

T60100

s1s4s1

s1

15dx

x3esx

dx

x3

e

sx

x3

π4dx

ex所以在低溫極限下U

3π3

Nk T

4

/

53B52712π4

T

3

234Nk

T

3C

Nk

B

B

T3

定律5.1

聲子比熱容固體氬的低溫熱容第

5

章 聲子（II）：熱學性質在此溫區(qū)，實驗結果與德拜的T3

律符合極佳285.1

聲子比熱容在低溫下，

kBT

的晶格振動模式對熱容幾乎沒有貢獻，熱容只要來自

kBT

的振動模，所以在低溫極限，熱容決定于最低頻率的振動，而這些正是波長最長的彈性波曾

(4.

1)，在長波極限下

(波長遠遠大于晶格常量)，晶體可當作彈性連續(xù)介質來處理，因此德拜假定用連續(xù)介質的色散關系來處理晶格熱容的理論在低溫極限下能給出正確的結果對實際晶體，T3

律只適用于溫度非常低的區(qū)域第

5

章 聲子（II）：熱學性質295.1

聲子比熱容從以上講述中不難看到，固體物理中處理的是有大量粒子存在且粒子之間有強相互作用的體系，不可能精確求解，通常用一些簡單的物理模型處理問題，簡單模型包含了復雜問題的關鍵所在。因此在處理物理問題時要注意物理模型的選取，從這個意義上來說，固體物理的發(fā)展史也可以說是物理模型的演變史。第

5

章 聲子（II）：熱學性質第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容愛因斯坦模型所謂愛因斯坦模型是假定所有的簡正模式都具有相同的頻率，色散關系曲線是一條水平線，頻率不是波矢的函數(shù)，這實際上是長光學支模式（

E

）D()

N

(

E

)上式的系數(shù)由整個振動模式?jīng)Q定，若三個光學支都用愛因斯坦模型，則：D()

3N

(

E

)11e0

/N0e

/U

dD()

熱能第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容32此即愛因斯坦模型的結果，三維情況下，用3N取代N，即熱容1)2e0

/0

0

/

2

(e

NkB

T

U

VCV

1)2e0

/00

/

2

(eCV

3NkB在高溫極限

CV

3NkB同樣滿足杜隆-珀替定律第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容當溫度較高時：即

k

T

?BE

或T?

kB，愛因斯坦熱容

CV

，這就是點陣熱容的經(jīng)E~

3NkBE

，按指數(shù)規(guī)律急劇當溫度較低時，CV典值（杜隆——珀替定律）。~

e下降，但實際上固體的熱容是按T

3規(guī)律下降，而不是指數(shù)下降，這個模型與實驗結果出入較大，主要是模型過于簡化，即認為所有簡正模式具有相同的頻率，低溫下一起凍結，溫度升高時同時激發(fā)，因此導致熱容在低溫時急劇下降。第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容5.1.8

D()的一般表達式聲子頻率在

和+d

之間的允許K

值的數(shù)目為s3(2π)3D()d

V

d

K這是在

空間一個薄殼內積分，薄殼兩側的聲K子頻率分別為

和+d這樣求態(tài)密度的問題就轉化為如何計算薄殼的體積了34第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容sd

K

dS

dK3K個面積元，在等頻面d

和+d

之間的體積元是一個以

dS

為底、以

dK⊥為高的圓柱體令

dS

表示

空間內選定等頻面

上的一KxKydSdK其中dK⊥為兩等頻面之間的垂垂直于等頻面，因此K直距離，另外

的梯度

也|

|

dK

dK35第

5

章 聲子（II）：熱學性質5.1

聲子比熱容D()d

3g(2π)

vV

dS