爾濱工程2010全國賽

儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)摘本文研究了儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定的問題根據(jù)幾何及微積分等知識，2%-3%，證明可行性較高。度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）間函數(shù)關(guān)系。再根據(jù)微分知識，利用等進(jìn)行計算，求解出=2.2。并對照自己繪制的函數(shù)關(guān)系圖，利用圖解法求解出=1.81%-3%，比較合理可靠。0.3%左右。使模型的實(shí)用性更強(qiáng)。整個建模過程中，充分展現(xiàn)了應(yīng)用了等進(jìn)行計算的能力，化解了關(guān)鍵字—問題的提。對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定要用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)。位后油位高度間隔為1cm3 31儲油罐正面示意3油α2儲油罐縱向傾斜變位后示意

油油油油（a）無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面 （b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面3儲油罐截面示意油位油位探注油出油浮m油α水平小橢圓油罐4小橢圓型油罐形狀及尺寸示

二問題分本題主要研究了儲油罐的變位識別和容量標(biāo)定的問題，通過題給的附表，分析無在著差異，這就給做變位的識別提供了可靠的依據(jù)，通過繪圖，可將其實(shí)和罐體變位參數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。首先，要采用純數(shù)學(xué)的理論，微積分思想對罐計算罐體變位參數(shù)

三模型假設(shè)與符號說冠狀球柱體的縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度LD1：橢圓筒平均內(nèi)豎直D2L1FHH1H2S：表示所求圖形的面積V：表示罐內(nèi)液體的體積R1：表示橢圓的長軸R2：表示橢圓的短軸

四模型的建線可以讀出無變位和傾斜變位進(jìn)油時，儲油罐液面的高度隨著油量的變化關(guān)系，由此可以清晰地看出二者差異。為了更明了的表示出而這的差異，我組用擬圖 儲油罐的液高隨油量的變化關(guān)系對比曲模型一由解析幾何分析可知，罐內(nèi)總油量與高度關(guān)系應(yīng)分三種情 計算如圖6所示橢圓筒以液面高端截面為參考面，罐的傾斜角為L，D1，D2，F(xiàn)L1求解出最終結(jié)果，即可進(jìn)行標(biāo)定。以下為具體建立模型方法。圖 軸向切面區(qū)段（H2

圖 中心軸向切 WPFPFW

D

(DH1cos

(DH1cosH1

Dtan

利用矩形面積等于梯形面積的方法，求出H2與H的關(guān)系。AB為傾斜時的液面SEKOCH2L。在梯形ABOCBOH1L1tanACBOL

，梯形面積

1(BOAC)L，令BO=NHLtan，則

1(NNLtan)L1(2NLtan)L。 SEKOCSABOC，HL1(2NLtan)L HNLtan

V[R2cos1RH2(RH)R2(R

)2

1CM1HH（H2NL，Ncot，矩形面積S

H2Ncot，直角三角形面積

1NNcot，因

H1

L'Ncot，用'L

8橢圓筒截R2R22橢圓方程為

1y

。液高為H（CD

，即 y(R

)，即直線AB的直線方程。將y代入橢圓方程得x H(2RH)

1微元面積dAydx22

y

1H2

)R2

R2X2220

Rx2x2R2x2R22

H(2RH

R)x1

2 )]|

2

R)H2(2R1H2(2R1H2

1

2

H2(2R1-H2H2(2R1-H2

H2(2R1-H2)R2-2(2R1H2-H2)+2 ] R2

H(2R

R)|R

|]RRsin-H2(2R1-H2 H2(2R1-H2

H(D

)(H

R)LRRsin-

1 式（5）NR1Ltan，即水平液高

RH （2（4）

NLtan

H1NL'Ncot 當(dāng)LtanNR1Ltan時，則HN1Ltan ND（即水平液高HR的情況）時，用H'DH 替式（5）中的H2，則這部分容積計算式為VRRL[ (DH)(DDH)(DHR)R1 1 H2(D1H2RRL[ (DH)H(RH)H2(D1H2

1 1 式（6）

NLtan2N>D1，而H1D0（下尺點(diǎn)內(nèi)豎直徑）（D1H1H，用（LL）LN=DH+(LL)tan

1N

L'NcotVRRL[ (DH)H(HR)RRsin-

H2(D1H21 H2(D1H2 模型二體各變位參數(shù)的關(guān)系函數(shù)。以此來確定和的數(shù)值?？紤]到橫向偏轉(zhuǎn)角度9。如下：9圓筒橫向偏轉(zhuǎn)角度9，CD，GHH1,FIH1H2。H1cosH1，hH2，H2=H1+L1tanLtan得2h=H1cos+L1tan-Ltan 2算公式。應(yīng)用模型如下圖：圖 體積計算的模（1）11R2R2hR2h

LS

計算截面面積S

R2h2

S截面

dh

R2R2R2hR2

h2R2], V1(h)LS截面

h2R2

（２）計算兩端球缺部分所剩余油料的體積12hV2(h0S

r2r2

，S（h）=rhr2r2r2s2

r2h2s2r2Hrh2S（h=(Hh)2Hrh2H2+1r2h2s2r2Hrh2 hV2(h)=0S 2

=0(Hh)2Hrh則圖（13）

2

h

r)arctan V(h)

(rH)2R2r2R2rR2r2 R2 [LR2

2r22r2

2

)]arctan

3

r2 34 hr2

R2

R2 rarctan rR2

h（與圖（10）h）,V滿V(hR),

V滿V(hR),hR

滿 R2L滿

3

R2L r2R2)2(3rr r2R2R2L2(r3

r2R2)2(2r

r2R2)

(r1)2R2r2r=1.625mV(h)

1.6252(h3h(h1.5)314.8623h

2(h1.5)35.28125(h1.5)

r2Hrh2r2Hrh2

（11h(0,2R)。將傾斜液高(H(H1)H1hHcos(L1L)tan2

(L1Ltan可視為定值，hH2hHcos

由公式V(h)

1.6252(h3h(h1.5)314.8623h 2(h1.5)35.28125(h1.5)

5.7213arctan0.625(h

可得Vh（13（14）（14（15）cos的值，從而確定橫向偏轉(zhuǎn)角度H1H2。h=h2-h1，H=H2-H1，coshH。h=H1cos+L1tan-Ltan2經(jīng)處理得到h與tan的關(guān)系曲線圖和V與tan的關(guān)系曲線根據(jù)已給的h和V的值，確定tan的值，最終確定出罐體的傾斜角度。五模型的求解與驗(yàn)在模型一中，小橢圓儲油罐的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)給出無變位情況下累加進(jìn)油量變化范圍CM1CM2（H1CM1H1=BO-L1tan=2450×tan4.1-CM2H1=BO-L1tan=1200-A（423.45,1035.36）mm（5（6根據(jù)公式（2

HNLtanNHLtan兩式聯(lián)立消去N，得 H2=H1+L1tanLtanH1、H22 水平液高HR時，所求體積公式為（5）式；水平液高HR時，用H'DH 代替式（5）中的H2，則這部分容積計算式為式(6)（5水平液高H2R1時：V[2.45

0.0592.450.890.6

(H10.059)(1.20.059H1)[3.6342(H10.059)(1.259H1)(H1

(H10.059)(1.259H1)

水平液高H2R1V0.890.62.451000[3.6342(H10.059)(1.259H1)(0.659

(H10.059)(1.20.059H1)=4110.15[3.6342(H10.059)(1.259H1)(0.659

(H10.059)(1.20.059H1) 1液面液體體積液面液體體積液面液體體積液面液體體積液面液體體積447717953973937445424719157992593731751213426127698611318294873672377h=4.5dm時，標(biāo)稱液體體積V=1141.598L,實(shí)際液體體積為V=1112.86L，Er=1141.5981112.86當(dāng)h=8.8dmV=2995.784L,實(shí)際液體體積為V=2912.73L,Er=2995.7842912.732%-3%5.2h1、h2（16）V1、V22V1、V2H1H2。h=h2-h1，H=H2-H1，coshH。 處理大量H和V數(shù)據(jù)，根據(jù)公式（11）和(16),畫出了V與cos的14Vcosh=0.132-0.06176=0.07024m=70.24mm，查附表二可知，V1,V2對應(yīng)的H=在該圖上取坐標(biāo)（0.06176,3.4*10^5）（0.132,3.6*10^5）H1H2=1626.92-1556.62=70.3mm，cosh=0.999146514,因此此時的=2.36在該圖上取坐標(biāo)（0.2906,4.0*10^5）和坐標(biāo)（0.3551,4.2*10^5）此時的h=0.3550-0.29061=0.06439m=64.39mmV3V4對應(yīng)的H=H3-H4=1841.92-1777.51=64.41mm，cos=1.74

=

=0.999534233經(jīng)大量的取點(diǎn)驗(yàn)算確定2.2當(dāng)確定之后，公式（11）可以寫成h=0.999263*H-2tan，由此公式與（16）公式聯(lián)立，分別得到h和V與tan的關(guān)系，用 分別繪出h與tan和V與tan15h與tan16V與tan與h的對應(yīng)關(guān)系，找出在對應(yīng)關(guān)系下基本相同的值，即為的真實(shí)值。在一個區(qū)所以，綜合考慮，法，但因方面能力有限，時間過于匆忙，未能夠?qū)崿F(xiàn)。確定完之后，由公式（11）和（16）可建立VH之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而excel2h=5.5dm時，標(biāo)稱液體體積V=7464.78L,實(shí)際液體體積為V=7696.2L，相對誤差Er=7696.27464.78當(dāng)h=23.5dm時，標(biāo)稱液體體積V=55403.01L,實(shí)際液體體積為V=54750.4L,Er=55403.0154750.4六模型的改進(jìn)與評模型一，在高度轉(zhuǎn)化關(guān)系式H2=H1+L1tan

Ltan=4.1，計算出2與實(shí)際測量值的偏差。發(fā)現(xiàn)，若將0.059向上調(diào)，其得到的結(jié)果就會精確一些，當(dāng)調(diào)到0.073時，精度達(dá)到最大，為0.3%左右。這種上調(diào)實(shí)