工程光學第三版下篇物理光學第十一章課后習題詳解

第十一章光的電磁理論基礎1.一個平面電磁波能夠表示為Ex0,Ey2cos[21014(zt)],Ez0,求(1)該c2電磁波的頻次、波長、振幅和原點的初相位？（２）撥的流傳方向和電矢量的振動方向？（３）相應的磁場Ｂ的表達式？解：（1）平面電磁波EAcos[2(zt)]c對應有A2,1014Hz,,3106m。22yz軸，電矢量振動方向為軸。（）波流傳方向沿（）垂直，流傳方向同樣，∴ByBz03B與EBxEyCEy6108[21014(zt)]c2z２.在玻璃中流傳的一個線偏振光能夠表示Ey0,Ez0,Ex102cos1015(t)，試求（1）光的頻次和波長；（2）玻璃的折射率。0.65c解：（1）EAcos[2(zt)]102cos[1015(zt)]c0.65c∴21015v51014Hzn2/k2/0.65c3.9107m（2）ncc31081.54v3.910751014n3.在與一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片，薄片的厚度h0.01mm,折射率n=1.5,若光波的波長為500nm,試計算透明薄片插入前后所惹起的光程和相位的變化。解：光程變化為(n1)h0.005mm相位變化為20.00510620(rad)50024.地球表面每平方米接收到來自太陽光的功率為1.33kw,試計算投射到地球表面的太陽光的電場強度的大小。假定太陽光發(fā)出波長為600nm的單色光。I1212解：∵2A20cAA(2I)12B103v/mc05.寫出平面波E100exp{i[(2x3y4z)16108t]}的流傳方向上的單位矢量k0。°urrr解：∵EAexp[i(krt)]grrkrkxxkyykzzkx2,ky3,kz4uuruuruuruurruuruurkkxx0kyy0kzz02x03y04z0uur2uur3uur4uurk0xyz2900290296.一束線偏振光以45度角從空氣入射到玻璃的界面，線偏振光的電矢量垂直于入射面，試求反射系數(shù)和透射系數(shù)。設玻璃折射率為1.5。解：由折射定律sin2sin12n3cos273rsn1cos1n2cos2n1cos1n2cos22n1cos1tsn2cos2n1cos1

21.57230.3034271.5232220.69662721.537.太陽光（自然光）以60度角入射到窗玻璃（n=1.5）上，試求太陽光的透射比。解：sin2sinn133ocs263n2cos4sin221.5641122cos13340.823scossin2(12)13613n1122(32)23n2cos24sin22cos210.998psin2(12)cos2(n1cos112)(sp)0.91n28.光波以入射角1從折射率為n1介質入射到折射率為n2的介質，在兩介質的表面上發(fā)生反射和折射（折射角為2，見圖10-39），s波和p波的振幅反射系數(shù)和投射系數(shù)分別為rs、rp和ts、tp。若光波從n2介質入射到1介質（見圖10-39b）中，入射角為2，折射角為1，ns波和p波的反射系數(shù)和透射系數(shù)分別為'、r'和t's、t'。試利用菲涅耳公式證明（）rspp1rsr's；（2）rpr'p；（3）tst'ss；（4）tpt'pp（p為p波的透射比，s為s波的透射比）。11n1n1n2n222a)

b)圖10-39習題8圖解：(1)rsn1cos1n2cos2n1cos1n2cos2rs'n1'cos'1n2'cos'2n2cos2n1cos1rsn1'cos'1n2'cos'n2cos2n1cos12(2)同（）1（）ts2cos1sin2,ts'2cos'1sin'22cos2sin13sin(2)sin(1'2')sin(12)1tsts'4sin1cos1sin2cos2sin1cos24sin22cos21sin2(12)sin2cos1sin2(12)n2cos24sin22cos21tsn1cos1sin2(2)1(4)同（）略3電矢量方向與入射面成45度角的一束線偏振光入射到兩介質的界面上，兩介質的折射率分別為n11,n21.5，問：入射角150度時，反射光電矢量的方向角（與入射面所成的角）？若160度，反射光的方向角又為多少？解：（）150，由折射定律2sin1(n1sin1)30.71n2sin(12)tg(rs2)0.335,rpsin(1tg(Q入射光AsApA

12)0.05712)由反射系數(shù)有As'rsAs0.335As0.335A,Ap'rpAp0.057A合振幅與入射面的夾角tgAs'80.33Ap'(2)同理rs0.421,rp0.042arctg(As')84.3Ap'光束入射到平行平面玻璃板上，假如在上表面反射時發(fā)生全偏振，試證明折射光在下表面反射時亦發(fā)生全偏振。證明：當入射角為布儒斯特角時，發(fā)生全偏振，反射光中只有s波第一次反射時，n玻113,1290,nn空,tgBn第二次反射時，2'B,1'2'90,n'n空，tgB'=nn玻得證。亦可由rs,rp求證.光束垂直入射到45度直角棱鏡的一個側面，并經斜面反射后由底二個側面射出（見圖10-40），若入射光強為I0，求從棱鏡透過的出射光強I？設棱鏡的折射率為1.52，且不考慮棱鏡的汲取。I045I圖10-40習題11圖解：經過第一面時，反射比為經過第三面時，反射比為

n120.5220.04261()()n12.523(n1)2(11.52)20.0426n111.52經過第二面時，1=45,sin21.52sin45290在此面發(fā)生全反射，即21出射光強為I123I0（）（）0.917I010.0426110.0426I012.一個光學系統(tǒng)由兩片分別透鏡構成，兩透鏡的折射率分別為1.5和1.7，求此系統(tǒng)的反射光能損失。如透鏡表面鍍上曾透膜，使表面反射比降為0.01，問此系統(tǒng)的光能損失又為多少？設光束以靠近正入射經過各反射面。解此系統(tǒng)有4個反射面，設光束正入射條件下，各面反射率為n1-1)2(1.5-1)20.04R1=(n1+11.5+1(n2-11-1R2)2(1.5)20.04n2+11+11.5R3R40.067光能損失為（初始為I0）1R11R21R31R40.802，損失20%若反射比降為0.01，則'10.0140.96,損失4%13.一半導體砷化鎵發(fā)光管（見圖10-41），管芯AB為發(fā)光區(qū)，其直徑d3mm。為了避免全反射，發(fā)光管上部磨成半球形，以使內部發(fā)的光能夠以最大投射比向外輸送。要使發(fā)光區(qū)邊沿兩點A和B的光不發(fā)生全反射，半球的半徑起碼應取多少？(已知對發(fā)射的0.9nm的光，砷化鎵的折射率為3.4)。AB圖10-41習題13圖解：設半球半徑為，由正弦定理，管芯邊沿發(fā)光的入射角有RsinsinrRQsin最大為，最小為0，0sinr1R若sinr時仍不可以發(fā)生全反射，則內全部光均不會發(fā)生全反射RAB全反射角sinC13.4sinsincrsinc1R3.4dR3.4r5.1mm3.4214.線偏振光在玻璃-空氣界面上發(fā)生全反射，線偏振光的方向角45度，問線偏振光以多大角度入射才能使反射光的s波和p波的相位差等于45度，設玻璃折射率n1.5。解：全反射時，S波與P波相位差為，且tgcos1sin21n22sin21tg2cos21(sin21n2)2sin411tg2sin411n2sin21n202將n1,45代入有sin210.6483或0.58421.553.63或49.85，而Carcsin141.8111.5上述答案均可15.線偏振光在n1和n2介質的界面發(fā)生全反射,線偏振光的方向角45度,證明當cos1n21n2時(是入射角),反射光波和波的相位差有最大植。式中nn2/n1。證明：全反射時，波與波相位差為SPtgcossin2n2cos1cos2n2sin21cos22若最大，則tg2最大，令tg2y,cosxyx1x2n21x2221221222[1xn22x]1xx1xn2xdynx1x22dx1x2令dy0,則有dx1x2[1x2n21x2x]x1x2n22x2x21n21n2(1n21當cos2)2時,取最大1n16.圓柱形光纖（圖10-42）其纖芯和包層的折射率分別為n1和n2，且n1>n2。（1）證明入射光的最大孔徑角2u知足關系式sinun12n22;2）若n11.62,n21.52,求孔徑角？（n2cn1u圖10-42習題16圖解：1Qsinn2,sin2n12n22ccoscn1n1sinun1sin2n12n22n02若n11.62,n21.522u2arcsinn12n2268.217.已知硅試樣的相對介電常數(shù)12，電導率21.cm1，證明當電磁波的頻次0109HZ時，硅試樣擁有良導體作用。計算106HZ時電磁波對這類試樣的穿透深度。解：當時，介質可看作良導體22關于硅236109Hz2121074C9時，硅擁有良導體作用10Hz穿透深度x0=220.356m24107218.鋁在50nm時，有n1.5，nk3.2，試求正入射時的反射比和相位變化。解：正入射時n21k212n1.523.22121.5n21k212n1.523.22120.6361.5tg2n1n2k213.20.577n22k2n121.523.22n22129.12兩束振動方向同樣的單色光波在空間某一點產生的光振動分別表示為E1a1cos(1t)和E2a2cos(2t)，若21015HZ，a16v/m，a28v/m，a10，a2/2，求合振動的表示式。解：合振動EE1E2a1cost1a2cost2Acost此中A2a12a222a1a2cos1210v/ma1sin1a2sin2tga2cosa1cos12

43E10cos53.1321015t20.利用波的復數(shù)表達式求兩個波E1acos(kxt)和E2acos(kxt)的合成波。解：E1與E2的復數(shù)表達式為E1=aexp[ikx+t]E2aexp[ikxt]EE1E2aexp[ikx+t]aexp[ikxt]aexpikx[eiteit]2aisint[coskxisint]取實部ReE2asinkxsint21.一束沿z方向流傳的橢圓偏振光表E(z,t)x0Acos(kzt)y0Acos(kzt)，4試求偏振橢圓的方向角和橢圓長半軸及短半軸大小。解：由題知a1A,a2A,1kz,2kz4,4方向角tg22a1a2cos,290,即4522a1a2設長短半軸分別為A1，A2，則有A12+A22=a12+a22=2A2sin2sin2sin22tg21tg2tgA2A1求得A11.31A,A20.54A,此中略掉tg21項1有一菲涅耳棱體（見圖10-21），其折射率為1.5，入射線偏振光的電矢量與入射面（即圖面）成45度角，求（1）棱體的頂角取多大時，能使從棱體射出圓偏振光？（2）若棱體的折射率為1.49，可否產生圓偏振光？解：1因為入射光的振動方向與入射面夾角為45，所以S波與P波的振幅同樣，所以只要兩次全反射使S、P撥相位差為即可，那么每次反射2產生的相位差為，有tg2tgcossin2n2c8sin2得5315'或5013'2關于固定的n,必然有極大值，將上式對求導dtg2n21n2sin20dsin3sin2n22得sin22n21n2m存在極大值，tgm1n20.4094n122n1.49m44.32,不行能產生圓偏振光423.又旋圓偏振光以50度角入射到空氣-玻璃界面（玻璃折射率為1.5），試決定放射波和透射波的偏振狀態(tài)。解：入射為右旋圓偏振光，如圖，可寫為Es

acos

tEp

acos

t

asin

t2若設

n波

1.5，則布儒斯特角

B

56

，所以反射光中

S波與

P波均存在。有Es

'

rsEs

rs

Es

rs

asin

t2Ep'

rpEp

rp

asin

t∴Es'

比

Ep'落伍

2

相位，且有

rs

rp∴反射光為左旋橢圓偏振光關于透射光Es''

ts

Es

tsacos

tEp

''

tpEP

tpacos

t

2tstp∴投射光為右旋橢圓偏振光。確立其正交重量由下邊兩式表示的光波的偏振態(tài)：E(z,t)xAcos(zt),E(z,t)yAcos[(zt)5]x0cy0c4解：關于合成波有a1a2A,10,25,544∴方向角tg22a1a2cos,3a12a224又∵sin2sin2sin2tg21,(21略）2∵tg0∴為右旋又設長短軸為A1,A2∴A221（1）A1且有A12A222A2（2）∴A11.71A,A20.29A25.真空中沿z方向傳播的兩個單色光波為E1acos2(zacos[2z(vv)t]vt),E2，若()a100v/m,61014HZ,108HZ,試求合成波在z0,z1m和z1.5m各處的強度隨時間的變化關系。若兩波頻次差3108HZ，試求合成波振幅變化和強度變化的空間周期。解：令12,22,k12,k22則E1acosk1z1tE2acosk2z2t則合成波強度I4a2cos2mtkmz此中m121108rad222kmk1k23m12∴I∝4104cos2108tz3z0時I∝4104cos2[108t]3z1時I∝4104cos2108tz1.5時I∝4104cos2[108t]2若3108Hzm3108radkmm12B121014radkB4106m1∴E2acoskmzmtcoskzt2acosz3108tcos4106z121014z空間周期為2mI4a2cos2mtkmz4104cos2z3108t空間周期為1m26.試計算以下各狀況的群速度：（1）g2T2（深水波，g為重力加快度）；（2）（淺水波，T為表面張力，為質量密度）。解：群速度vgvdvd（1）v2T（2）v

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dv11gvg222vgd22dv12T332vgd2v2試求圖10-43所示的周期性矩形波的傅里葉級數(shù)表達式，并繪出其頻譜圖。E(z)Z44圖10-43習題27圖解：周期性矩形波為偶函數(shù)，所以Bn0A012Ezdz4dz1242Au22Ezcosnkzdz24cosnkzdz2sinn24n2即A12,A20,A32,A40fz11coskzcos3kzcos5kzcos7kz..............2圖略求圖10-44所示周期性三角波的傅里葉剖析表達式，并繪出其頻譜圖。E(Z)Z22圖10-44習題28圖解：偶函數(shù)Bn0A012Ezdz22zdz420A22Ezcosnkzdz42zcosnkzdz22cosn1u0n2即A122,A20,A32,A4092fz42coskz1cos3kz1cos5kz..............23252試求圖10-45所示的矩形脈沖的傅里葉變換，并繪出其頻譜圖。E(z)1-LL

圖10-45習題29圖Z解：AkfzeikzdzLikzdz2sinkL2Lsinc2LeLk試求圖10-46所示的三角形脈沖的傅里葉變換。E(z)LZ-L