彈塑性力學(xué)-彈塑性本構(gòu)關(guān)系（PPT47）

彈塑性力學(xué)學(xué)本構(gòu)關(guān)系系附加應(yīng)力對(duì)對(duì)附加應(yīng)變變負(fù)做功，，即附加應(yīng)力對(duì)對(duì)附加應(yīng)變變做功為非非負(fù)，即有有(1)穩(wěn)定材料與與非穩(wěn)定材材料穩(wěn)定材料非穩(wěn)定材料料（應(yīng)變硬化化和理想塑塑性材料））（應(yīng)變軟化化材料）德魯克公設(shè)設(shè)和依留申申公設(shè)是傳傳統(tǒng)塑性力力學(xué)的基礎(chǔ)礎(chǔ)，它把塑塑性勢(shì)函數(shù)數(shù)與屈服函函數(shù)緊密聯(lián)聯(lián)系在一起起。德魯克克公設(shè)只適適用于穩(wěn)定定材料，而而依留申既既適用于穩(wěn)穩(wěn)定材料，，又適用于于不穩(wěn)定材材料。(2)德魯克塑性性公設(shè)的表表述德魯克公設(shè)設(shè)可陳述為：：對(duì)于處在在某一狀態(tài)態(tài)下的穩(wěn)定定材料的質(zhì)質(zhì)點(diǎn)(試件)，借助于一一個(gè)外部作作用在其原原有應(yīng)力狀狀態(tài)之上，，緩慢地施施加并卸除除一組附加加壓力，在在附加應(yīng)力力的施加和和卸除循環(huán)環(huán)內(nèi)，外部部作用所作作之功是非非負(fù)的。設(shè)材料單元元體經(jīng)歷任任意應(yīng)力歷歷史后，在在應(yīng)力σij0下處于平衡衡，即開(kāi)始始應(yīng)力σij0在加載面內(nèi)內(nèi)，然后在在單元體上上緩慢地施施加一個(gè)附附加力，使使σij0達(dá)到σij，剛好在屈屈服面上，，再繼續(xù)加加載到σij+dσij，在這一階階段，將產(chǎn)產(chǎn)生塑性應(yīng)應(yīng)變dεijp，最后應(yīng)力力又卸回到到σij0。若整個(gè)應(yīng)應(yīng)力循環(huán)過(guò)過(guò)程中，附附加應(yīng)力dσij所作的塑性性功不小于于零，即附附加應(yīng)力的的塑性功不不出現(xiàn)負(fù)值值，則這種種材料就是是穩(wěn)定的，，這就是德魯克公設(shè)設(shè)。在應(yīng)力循環(huán)環(huán)中，外載載所作的功功為：不論材料是是不是穩(wěn)定定，上述總總功不可能能是負(fù)的，，不然，我我們可通過(guò)過(guò)應(yīng)力循環(huán)環(huán)不斷從材材料中吸取取能量，這這是不可能能的。要判判斷材料穩(wěn)穩(wěn)定必須依依據(jù)德魯克克公設(shè)，即即附加應(yīng)力力所作的塑塑性功不小小零得出由于彈性應(yīng)應(yīng)變?chǔ)舏je在應(yīng)力循環(huán)環(huán)中是可逆逆的，因而而于是有：(3)德魯克塑性性公設(shè)的重重要推論屈服面的外外凸性塑性應(yīng)變?cè)鲈隽糠较蚺c與加載曲面面正交1屈服曲面的的外凸性此式限制了了屈服面的的形狀：對(duì)于任意應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)，，應(yīng)力增量量方向與塑塑性應(yīng)變向向量之間所所成的夾角角不應(yīng)該大大于90°穩(wěn)定材料的的屈服面必必須是凸的的.(a)滿足穩(wěn)定材材料的屈服服面(b)不滿足穩(wěn)定定材料的屈屈服面2塑性應(yīng)變?cè)鲈隽肯蛄颗c與屈服面法法向平行加載面切平面必與加載面的外法線重合，否則總可以找到A0使A0A·dεp≥0不成立(如右圖)。標(biāo)量dλ，稱為塑性性因子表明，塑性應(yīng)變分量σij之間的比例可由在加載面上Φ的位置確定。加載準(zhǔn)則意義：只有有當(dāng)應(yīng)力增增量指向加加載面的外外部時(shí)才能能產(chǎn)生塑性性變形。3德魯克塑性性公設(shè)的評(píng)評(píng)述德魯克公設(shè)設(shè)的適用條條件：（1）應(yīng)力循環(huán)中中外載所作作的真實(shí)功功與ij0起點(diǎn)無(wú)關(guān)；；應(yīng)力循環(huán)中中外載所作作真實(shí)功與與附加應(yīng)力力功(2)附加應(yīng)力功功不符合功功的定義，，并非真實(shí)實(shí)功（4）德魯克公設(shè)設(shè)的適用條條件：①ij0在塑性勢(shì)面面與屈服面面之內(nèi)時(shí)，，德魯克公公設(shè)成立；；②ij0在塑性勢(shì)面面與屈服面面之間時(shí)，，德魯克公公設(shè)不成立立；附加應(yīng)力功功為非負(fù)的的條件（3）非真實(shí)物理理功不能引引用熱力學(xué)學(xué)定律；勢(shì)面線屈服面（5）金屬材料的的塑性勢(shì)面面與屈服面面基本一致致。3.1.3依留申塑性性公設(shè)的表表述依留申塑性性公設(shè)：在彈塑性材材料的一個(gè)個(gè)應(yīng)變循環(huán)環(huán)內(nèi)，外部部作用做功功是非負(fù)的的，如果做做功是正的的，表示有有塑性變形形，如果做做功為零，，只有彈性性變形發(fā)生生。設(shè)材料單元元體經(jīng)歷任任意應(yīng)力歷歷史后，在在應(yīng)力σij0下處于平衡衡，即初始始的應(yīng)變?chǔ)舏j0在加載面內(nèi)內(nèi)，然后在在單元體上上緩慢地施施加荷載，，使εij達(dá)到屈服面面，再繼續(xù)續(xù)加載達(dá)到到應(yīng)變點(diǎn)εij+dεij，此時(shí)產(chǎn)生生塑性應(yīng)變變dεijp。然后卸載載使應(yīng)變又又回到原先先的應(yīng)變狀狀態(tài)εij0，并產(chǎn)生了了與塑性變變量所對(duì)應(yīng)應(yīng)的殘余應(yīng)應(yīng)力增量dσijp。殘余應(yīng)力增增量與塑性性應(yīng)變?cè)隽苛看嬖陉P(guān)系系：式中，D為彈性矩陣陣。根據(jù)依留申申公設(shè)，在在完成上述述應(yīng)變循環(huán)環(huán)中，外部部功不為負(fù)負(fù)，即只有在彈性性應(yīng)變時(shí)，，上述WI=0。根據(jù)Druker塑性公設(shè)可將Druker塑性公設(shè)改改寫成：由圖(a)可知，對(duì)于于彈性性質(zhì)質(zhì)不隨加載載面改變的的非耦合情情況，外部部作用在應(yīng)應(yīng)變循環(huán)內(nèi)內(nèi)做功WI和應(yīng)力循環(huán)環(huán)所作的外外部功之間間僅差一個(gè)個(gè)正的附加加項(xiàng)：因此可將應(yīng)應(yīng)變循環(huán)所所作的外部部功，寫成成上式表明，，如果德魯魯克塑性公公設(shè)成立，，WD≥0，則依留申申塑性公設(shè)設(shè)也一定成成立，反之之，依留申塑性性公設(shè)成立立，并不要要求WD≥0，也就是說(shuō)說(shuō)，德魯克克塑性公設(shè)設(shè)是依留申申塑性公設(shè)設(shè)的充分條條件，而不不是必要條條件。ABCD當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)由由A到B時(shí)，dσ<0,但dσp>0,塑性變形dεp>0，總變形dε>0應(yīng)變空間加加載面外凸凸①加載準(zhǔn)則(取大于號(hào)表表示有新的的塑性變形形發(fā)生)②塑性勢(shì)面與屈服面相同③根據(jù)關(guān)關(guān)于的的正交交法則，可可得：由應(yīng)力空間間中的屈服服與應(yīng)變空空間中屈服服面的轉(zhuǎn)換換關(guān)系，可可得：結(jié)合可得：3.1.4塑性位勢(shì)理理論與流動(dòng)法則與彈性位勢(shì)勢(shì)理論相類類似，Mises于1928年提出塑性性位勢(shì)理論論。他假設(shè)設(shè)經(jīng)過(guò)應(yīng)力力空間的任任何一點(diǎn)M，必有一塑塑性位勢(shì)等等勢(shì)面存在在，其數(shù)學(xué)學(xué)表達(dá)式稱稱為塑性位位勢(shì)函數(shù)，，記為：或式中，為硬化參數(shù)數(shù)。塑性應(yīng)變?cè)鲈隽靠梢杂糜盟苄晕粍?shì)勢(shì)函數(shù)對(duì)應(yīng)應(yīng)力微分的的表達(dá)式來(lái)來(lái)表示，即即：上式就稱為為塑性位勢(shì)理理論。它表明一一點(diǎn)的塑性性應(yīng)變?cè)隽苛颗c通過(guò)該該點(diǎn)的塑性性勢(shì)面存在在著正交關(guān)關(guān)系，這就就確定了應(yīng)應(yīng)變?cè)隽康牡姆较?，也也就確定了了塑性應(yīng)變變?cè)隽扛鞣址至康谋戎抵怠Ａ鲃?dòng)規(guī)則也也稱為正交交定律，是是確定塑性性應(yīng)變?cè)隽苛扛鞣至康牡谋戎?，也也即塑性增增量方向的的一條規(guī)定定。上式是是流動(dòng)規(guī)則則的一種表表示形式，，另外還有有另一種表表示形式：：它表明塑性性應(yīng)變?cè)隽苛颗c通過(guò)該該點(diǎn)的屈服服曲面成正正交關(guān)系。。與德魯克公公設(shè)表達(dá)式式比較，可可以看出，，服從于德德魯克公設(shè)設(shè)的材料，，塑性勢(shì)函函數(shù)g就是屈服函函數(shù)Φ。即g=Φ，由此得到的的塑性應(yīng)力力應(yīng)變關(guān)系系通常稱為為與加載條條件相關(guān)聯(lián)的流流動(dòng)法則。如果g≠Φ，即屈服面面與塑性應(yīng)應(yīng)變?cè)隽坎徊徽?，則則其相應(yīng)的的塑性應(yīng)力力應(yīng)變關(guān)系系稱為非關(guān)聯(lián)流動(dòng)動(dòng)法則。在應(yīng)變空間間，流動(dòng)規(guī)規(guī)則可用下下式表示：：和都為非負(fù)的的比例系數(shù)數(shù)。3.2硬化規(guī)律塑性模型三三要素屈服條件流動(dòng)法則硬化規(guī)律判斷何時(shí)達(dá)達(dá)到屈服屈服后塑性性應(yīng)變?cè)隽苛康姆较?，，也即各分分量的比值值決定給定的的應(yīng)力增量量引起的塑塑性應(yīng)變?cè)鲈隽看笮∮不?guī)律：：加載面在在應(yīng)力空間間中的位置置、大小和和形狀的變變化規(guī)律。。（確定加加載面依據(jù)據(jù)哪些具體體的硬化參參量而產(chǎn)生生硬化的規(guī)規(guī)律稱為硬硬化定律））硬化模型：：實(shí)際土體體硬化規(guī)律律+簡(jiǎn)化假設(shè)（（如采用等等值面硬化化理論，主主應(yīng)力方向向不旋轉(zhuǎn)，，加載面形形狀不變等等）金屬材料：：采用等向向強(qiáng)化和隨隨動(dòng)強(qiáng)化；；巖土材料：：靜力問(wèn)題題采用等向向強(qiáng)化；循循環(huán)荷載和動(dòng)力問(wèn)題題采用隨動(dòng)動(dòng)強(qiáng)化或混混合強(qiáng)化常用模型3.2.1等向強(qiáng)化模模型這種模型無(wú)無(wú)論在哪個(gè)個(gè)方向加載載拉伸和壓壓縮強(qiáng)化總總是相等地地產(chǎn)生和開(kāi)開(kāi)展；在復(fù)復(fù)雜加載條條件下，即即表示應(yīng)力力空間中作作形狀相似似的擴(kuò)大，，如圖中OABDD'E'代表等向強(qiáng)強(qiáng)化，圖中中B與D'點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的的應(yīng)力值均均為σ's(指絕對(duì)值)，在這種情情況下，壓壓縮屈服應(yīng)應(yīng)力和彈性性區(qū)間都隨隨著材料強(qiáng)強(qiáng)化而增大大。在應(yīng)力空間間中，這種種后繼屈服服面的大小小只與最最大的應(yīng)力力狀態(tài)有關(guān)關(guān)，而與中中間的加載載路徑無(wú)關(guān)關(guān)。在右圖圖中，路徑徑1與路徑2的最終應(yīng)力力狀態(tài)都都剛好對(duì)應(yīng)應(yīng)于加載過(guò)過(guò)程中最大大應(yīng)力狀態(tài)態(tài)，因此兩兩者的最終終后繼屈服服是一樣的的；而路徑徑3的最終后繼繼屈服面由由加載路徑徑中最大應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)來(lái)來(lái)定。3.2.2隨動(dòng)強(qiáng)化模模型圖中OABCDE代表隨動(dòng)強(qiáng)強(qiáng)化模型，，彈性卸載載區(qū)間是襯襯始屈服應(yīng)應(yīng)力σs的兩倍。根根據(jù)這種模模型，材料料的彈性區(qū)區(qū)間保持不不變，但是是由于拉伸伸時(shí)的強(qiáng)化化而使壓縮縮屈服應(yīng)力力幅值減小小。與等向強(qiáng)化化模型不同同，隨動(dòng)強(qiáng)強(qiáng)化模型是是考慮包辛辛格效應(yīng)的的。在單向向拉壓情況況下，隨動(dòng)動(dòng)強(qiáng)化模型型可以用下下式表示：：包辛格逆效效應(yīng)（Bauschinger）分直接包包辛格效應(yīng)應(yīng)及包辛格格逆效應(yīng)。。直接包辛辛格效應(yīng)指指拉伸后鋼鋼材縱向壓壓縮屈服強(qiáng)強(qiáng)度小于縱縱向拉伸屈屈服強(qiáng)度，，如圖1所示；包辛辛格逆效應(yīng)應(yīng)在相反的的方向產(chǎn)生生相反的結(jié)結(jié)果，如圖圖2所示。普拉格將隨隨動(dòng)強(qiáng)化模模型推廣到到復(fù)雜應(yīng)力力狀態(tài)中，，他假定在在塑性變形形過(guò)程中，，屈服面形形狀和大小小都不改變變，只是在在應(yīng)力空間間內(nèi)作剛體體平移。3.2.3混合強(qiáng)化模模型運(yùn)動(dòng)硬化和和等向硬化化的組合，，可以構(gòu)成成更一般的的硬化模型型，稱為混混合強(qiáng)化模模型這時(shí)，后繼繼屈服面既既有位置的的改變，也也產(chǎn)生均勻勻的膨脹。。等向強(qiáng)化混合強(qiáng)化隨動(dòng)強(qiáng)化(運(yùn)動(dòng)強(qiáng)化)初始屈服面面3.2.4加工硬化規(guī)規(guī)律加工硬化規(guī)規(guī)律是決定定一個(gè)給定定的應(yīng)力增增量引起的的塑性應(yīng)變變?cè)隽康囊灰粭l規(guī)則，，在流動(dòng)規(guī)規(guī)律中，dλ這個(gè)因素可可以假定為為：式中，A為硬化參數(shù)數(shù)Hα的函數(shù)。不同同的的學(xué)學(xué)者者曾曾建建議議不不同同的的硬硬化化規(guī)規(guī)律律來(lái)來(lái)計(jì)計(jì)算算A的數(shù)數(shù)值值，，常常用用的的硬硬化化規(guī)規(guī)律律有有下下列列幾幾種種：：塑性性功功Wp硬化化定定律律：：矩陣陣形形式式：：由得：：塑性性應(yīng)應(yīng)變變?chǔ)舏jp硬化化定定律律：：進(jìn)一一步步有有：：由得：：塑性性體體應(yīng)應(yīng)變變?chǔ)舦p硬化化定定律律設(shè)廣義義塑塑性性力力學(xué)學(xué)中中，，如如果果取取于是是：：矩陣陣形形式式：：由則有有：：3.3彈塑塑性性本本構(gòu)構(gòu)關(guān)關(guān)系系屈服服條條件件流動(dòng)動(dòng)法法則則硬化化規(guī)規(guī)律律判斷斷何何時(shí)時(shí)達(dá)達(dá)到到屈屈服服屈服服后后塑塑性性應(yīng)應(yīng)變變?cè)鲈隽苛康牡姆椒较蛳?，，也也即即各各分分量量的的比比值值決定定給給定定的的應(yīng)應(yīng)力力增增量量引引起起的的塑塑性性應(yīng)應(yīng)變變?cè)鲈隽苛看蟠笮⌒”竟?jié)節(jié)內(nèi)內(nèi)容容塑性性本本構(gòu)構(gòu)關(guān)關(guān)系系彈性性本本構(gòu)構(gòu)關(guān)關(guān)系系彈塑塑性性本本構(gòu)構(gòu)關(guān)關(guān)系系塑性性增增量量理理論論又又稱稱為為塑塑性性流流動(dòng)動(dòng)理理論論，，它它把把塑塑性性變變形形看看成成非非線線性性流流動(dòng)動(dòng)。。塑塑性性增增量量理理論論把把應(yīng)應(yīng)變變?cè)鲈隽苛糠址譃闉閺棌椥孕詰?yīng)應(yīng)變變?cè)鲈隽苛亢秃退芩苄孕詰?yīng)應(yīng)變變?cè)鲈隽苛績(jī)蓛刹坎糠址?，，即即式式中中，，彈彈性性?yīng)應(yīng)變變?cè)鲈隽苛繎?yīng)應(yīng)用用廣廣義義虎虎克克定定律律計(jì)計(jì)算算，，塑塑性性應(yīng)應(yīng)變變?cè)鲈隽苛扛鶕?jù)據(jù)塑塑性性增增量量理理論論計(jì)計(jì)算算。。塑塑性性增增量量理理論論主主包包括括三三個(gè)個(gè)部部分分：：關(guān)關(guān)于于屈屈服服面面理理論論，，關(guān)關(guān)于于流流動(dòng)動(dòng)規(guī)規(guī)則則理理論論，，關(guān)關(guān)于于加加工工硬硬化化(或軟軟化化)理論論。。應(yīng)應(yīng)用用彈彈塑塑性性增增量量理理論論計(jì)計(jì)算算塑塑性性應(yīng)應(yīng)變變：：首首先先，，要要確確定定材材料料的的屈屈服服條條件件，，對(duì)對(duì)加加工工硬硬化化材材料料，，需需要要確確定定材材料料是是否否服服從從相相關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)流流動(dòng)動(dòng)規(guī)規(guī)則則。。若若材材料料服服從從不不相相聯(lián)聯(lián)流流動(dòng)動(dòng)規(guī)規(guī)則則，，沿沿需需確確定定材材料料的的塑塑性性勢(shì)勢(shì)函函數(shù)數(shù)。。然然后后，，還還需需要要確確定定材材料料的的硬硬化化或或軟軟化化規(guī)規(guī)律律。。最最后后可可運(yùn)運(yùn)用用流流動(dòng)動(dòng)規(guī)規(guī)則則理理論論確確定定塑塑性性應(yīng)應(yīng)變變?cè)鲈隽苛康牡姆椒较蛳?，，根根?jù)據(jù)硬硬化化規(guī)規(guī)律律計(jì)計(jì)算算塑塑性性應(yīng)應(yīng)變變?cè)鲈隽苛康牡拇蟠笮⌒?。?.3.1塑性性增增量量理理論論3.3.2一個(gè)個(gè)普普遍遍的的彈彈塑塑性性模模量量張張量量表表達(dá)達(dá)式式加工工硬硬化化規(guī)規(guī)律律是是決決定定一一個(gè)個(gè)給給定定的的應(yīng)應(yīng)力力增增量量引引起起的的塑塑性性應(yīng)應(yīng)變變?cè)鲈隽苛康牡囊灰粭l條規(guī)規(guī)則則，，在在流流動(dòng)動(dòng)規(guī)規(guī)律律中中，，dλ這個(gè)個(gè)因因素素可可以以假假定定為為：：廣義義虎虎克克定定律律用用增增量量形形式式表表示示：：根據(jù)據(jù)塑塑性性勢(shì)勢(shì)函函數(shù)數(shù)：：以及及進(jìn)一一步步有有：：(b)(a)將(b)代入入(a)得：：再代代入入(b)得：：彈塑塑性性模模量量張張量量彈性性狀狀態(tài)態(tài)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)彈性性應(yīng)應(yīng)變變塑性性狀狀態(tài)態(tài)當(dāng)前前應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)、、加加卸卸載載狀狀態(tài)態(tài)、、加載載歷歷史史、、加加載載路路徑徑、、微微觀觀結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)塑性性應(yīng)應(yīng)變變<增量量關(guān)關(guān)系系>沿加加載載路路徑徑積積分分應(yīng)力力應(yīng)應(yīng)變變?nèi)苛筷P(guān)關(guān)系系應(yīng)力力應(yīng)應(yīng)變變?cè)鲈隽苛筷P(guān)關(guān)系系彈塑塑性性本本構(gòu)構(gòu)關(guān)關(guān)系系的的建建立立3.3.3廣義義虎虎克克定定律律基本本方方程程增量量表表達(dá)達(dá)式式于是是：：于是是代入入引入入側(cè)側(cè)限限變變形形模模量量M彈性性常常數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系表表3.3.4無(wú)靜靜水水壓壓力力影影響響的的理理想想彈彈塑塑性性材材料料本本構(gòu)構(gòu)關(guān)關(guān)系系理想想塑塑性性材材料料，，適適用用于于金金屬屬材材料料。。采用用相相關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)流流動(dòng)動(dòng)法法則則由于于某某屈屈服服單單元元周周圍圍材材料料仍仍處處于于彈彈性性狀