2021-2022學(xué)年廣東省中山紀(jì)念中學(xué)高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.2.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為A. B.C. D.3.已知函數(shù)滿(mǎn)足=1,則等于()A.- B. C.- D.4.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則A. B.C. D.5.正三棱柱中,,是的中點(diǎn),則異面直線與所成的角為()A. B. C. D.6.已知集合A={0,1},B={0,1,2},則滿(mǎn)足A∪C=B的集合C的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.17.如圖所示,為了測(cè)量、兩座島嶼間的距離,小船從初始位置出發(fā),已知在的北偏西的方向上,在的北偏東的方向上,現(xiàn)在船往東開(kāi)2百海里到達(dá)處,此時(shí)測(cè)得在的北偏西的方向上,再開(kāi)回處,由向西開(kāi)百海里到達(dá)處,測(cè)得在的北偏東的方向上,則、兩座島嶼間的距離為()A.3 B. C.4 D.8.若為虛數(shù)單位,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示復(fù)數(shù),則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A.E B.F C.G D.H9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,,則的通項(xiàng)公式()A. B. C. D.10.空間點(diǎn)到平面的距離定義如下:過(guò)空間一點(diǎn)作平面的垂線,這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.已知平面,,兩兩互相垂直,點(diǎn),點(diǎn)到,的距離都是3,點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足到的距離與到點(diǎn)的距離相等,則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是()A. B.3 C. D.11.已知,滿(mǎn)足條件(為常數(shù)),若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,則()A. B. C. D.12.已知函數(shù),其中,若恒成立,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類(lèi)的,,,四件參賽作品,只評(píng)一件一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:甲說(shuō):“或作品獲得一等獎(jiǎng)”;乙說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”;丙說(shuō):“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;丁說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”.若這四位同學(xué)中有且只有兩位說(shuō)的話(huà)是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是______.14.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_________.15.已知是第二象限角,且,,則____.16.已知,滿(mǎn)足約束條件則的最大值為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來(lái)的100年,是中國(guó)青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國(guó)、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來(lái)之際,學(xué)校組織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識(shí)競(jìng)賽,競(jìng)賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類(lèi)題、4道B類(lèi)題,參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.(1)求甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題的概率;(2)若甲同學(xué)答對(duì)每道A類(lèi)題的概率都是,答對(duì)每道B類(lèi)題的概率都是,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類(lèi)題和1道B類(lèi)題,用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)已知(1)若,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的范圍;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且存在滿(mǎn)足,令函數(shù),試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明.19.(12分)已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足().(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)(),數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù),的值.21.(12分)設(shè)點(diǎn),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),且的最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)如圖,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn),是直線上的兩點(diǎn),且,,求四邊形面積的最大值.22.(10分)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系,判斷直線為參數(shù))與圓的位置關(guān)系.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式,解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.2.D【解析】分析:根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解:因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為,所以,又,則故選D.點(diǎn)睛:此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種:(1)定義法,若()或(),數(shù)列是等比數(shù)列;(2)等比中項(xiàng)公式法,若數(shù)列中,且(),則數(shù)列是等比數(shù)列.3.C【解析】

設(shè)的最小正周期為,可得,則,再根據(jù)得,又,則可求出,進(jìn)而可得.【詳解】解:設(shè)的最小正周期為,因?yàn)?,所以,所以,所以,又,所以?dāng)時(shí),,,因?yàn)?,整理得,因?yàn)?,,,則所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性,考查學(xué)生分析能力和計(jì)算能力,是一道難度較大的題目.4.B【解析】

因?yàn)?,所以,故選B.5.C【解析】

取中點(diǎn),連接,,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì),得出//,則即為異面直線與所成角,求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:如圖,取中點(diǎn),連接,,由于正三棱柱,則底面,而底面,所以,由正三棱柱的性質(zhì)可知,為等邊三角形,所以,且,所以平面,而平面,則,則//,,∴即為異面直線與所成角,設(shè),則,,,則,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)幾何法求異面直線的夾角,考查計(jì)算能力.6.A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素,然后列出滿(mǎn)足題意的情況,得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2,所以符合要求的集合有,共4種情況,所以選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】考查集合并集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.7.B【解析】

先根據(jù)角度分析出的大小,然后根據(jù)角度關(guān)系得到的長(zhǎng)度,再根據(jù)正弦定理計(jì)算出的長(zhǎng)度,最后利用余弦定理求解出的長(zhǎng)度即可.【詳解】由題意可知:,所以,,所以,所以,又因?yàn)?,所以,所?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中的角度問(wèn)題,難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.8.C【解析】

由于在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,然后將代入化簡(jiǎn)后可找到其對(duì)應(yīng)的點(diǎn).【詳解】由,所以,對(duì)應(yīng)點(diǎn).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)就關(guān)系,復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】

利用證得數(shù)列為常數(shù)列,并由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由,得,可得().相減得,則(),又由,,得,所以,所以為常數(shù)列,所以,故.故選:C【點(diǎn)睛】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力,應(yīng)用意識(shí).10.D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值,利用到軸的距離等于到點(diǎn)的距離得到點(diǎn)軌跡方程,得到,進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖,原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離,求點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值.設(shè),則,化簡(jiǎn)得:,則,解得:,即點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解,關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.11.B【解析】

由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,我們可以畫(huà)出滿(mǎn)足條件件為常數(shù))的可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式,分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)分析列出一個(gè)含參數(shù)的方程組,消參后即可得到的取值.【詳解】畫(huà)出,滿(mǎn)足的為常數(shù))可行域如下圖:由于目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,可得直線與直線的交點(diǎn),使目標(biāo)函數(shù)取得最大值,將,代入得:.故選:.【點(diǎn)睛】如果約束條件中含有參數(shù),我們可以先畫(huà)出不含參數(shù)的幾個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點(diǎn),然后得到一個(gè)含有參數(shù)的方程(組,代入另一條直線方程,消去,后,即可求出參數(shù)的值.12.A【解析】

,從而可得,,再解不等式即可.【詳解】由已知,,所以,,由,解得,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,涉及到恒成立問(wèn)題,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.B【解析】

首先根據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)”,故假設(shè)分別為一等獎(jiǎng),然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說(shuō)法的正確性,即可得出結(jié)果.【詳解】若A為一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤,不滿(mǎn)足題意;若B為一等獎(jiǎng),則乙、丙的說(shuō)法正確,甲、丁的說(shuō)法錯(cuò)誤,滿(mǎn)足題意;若C為一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的說(shuō)法均正確,不滿(mǎn)足題意;若D為一等獎(jiǎng),則乙、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤,不滿(mǎn)足題意;綜上所述,故B獲得一等獎(jiǎng).【點(diǎn)睛】本題屬于信息題,可根據(jù)題目所給信息來(lái)找出解題所需要的條件并得出答案,在做本題的時(shí)候,可以采用依次假設(shè)為一等獎(jiǎng)并通過(guò)是否滿(mǎn)足題目條件來(lái)判斷其是否正確.14.【解析】

先求出導(dǎo)數(shù),再在定義域上考慮導(dǎo)數(shù)的符號(hào)為正時(shí)對(duì)應(yīng)的的集合,從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,令,則,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,注意先考慮函數(shù)的定義域,再考慮導(dǎo)數(shù)在定義域上的符號(hào),本題屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

由是第二象限角,且,可得,由及兩角和的正切公式可得的值.【詳解】解:由是第二象限角,且,可得,,由,可得,代入,可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正切公式,相對(duì)不難,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.16.1【解析】

先畫(huà)出約束條件的可行域,根據(jù)平移法判斷出最優(yōu)點(diǎn),代入目標(biāo)函數(shù)的解析式,易可得到目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】解:由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域,由于,則,要求的最大值,則求的截距的最小值,顯然當(dāng)平行直線過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值為:.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求最值問(wèn)題,我們常用幾何法求最值.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)分布列見(jiàn)解析,期望為.【解析】

(1)甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題包含兩個(gè)事件:一個(gè)抽到2道B類(lèi)題,一個(gè)是抽到3個(gè)B類(lèi)題,計(jì)算出抽法數(shù)后可求得概率;(2)的所有可能值分別為,依次計(jì)算概率得分布列,再由期望公式計(jì)算期望.【詳解】(1)令“甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題”為事件,則抽到2道類(lèi)題有種取法,抽到3道類(lèi)題有種取法,∴;(2)的所有可能值分別為,,,,,∴的分布列為:0123【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.解題關(guān)鍵是掌握相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式.18.(1)(2)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)大于或等于0(2)先判斷為一個(gè)零點(diǎn),然后再求導(dǎo),根據(jù),化簡(jiǎn)求得另一個(gè)零點(diǎn)。解析:(1)當(dāng)時(shí),,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),恒成立.[來(lái)源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為.①,即時(shí),,即,解之得,解集為空集;②,即時(shí),即,解之得,所以③,即時(shí),即,解之得,所以綜上所述,當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)∵有兩個(gè)極值點(diǎn),∴是方程的兩個(gè)根,且函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.∵∴函數(shù)也是在區(qū)間和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減∵,∴是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).由題意知:∵,∴,∴∴,∴又=∵是方程的兩個(gè)根,∴,,∴∵函數(shù)圖像連續(xù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和.19.(1);(2).【解析】試題分析:(1)設(shè)公差為,列出關(guān)于的方程組,求解的值,即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可得,即可利用裂項(xiàng)相消求解數(shù)列的和.試題解析:(1)設(shè)公差為.由已知得,解得或(舍去),所以,故.(2),考點(diǎn):等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;數(shù)列的求和.20.(1)(2),.【解析】

(1)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系式,即求解數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可得,利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和裂項(xiàng)法,求得,結(jié)合題意,即可求解.【詳解】(1)由題意,當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),可得,即,顯然當(dāng)時(shí)上式也適合,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)可得,所以.因?yàn)閷?duì)恒成立,所以,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,以及裂項(xiàng)法求和的應(yīng)用,其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,以及合理利用“裂項(xiàng)法”求和是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.21.(1);(2

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