《金融衍生物定價(jià)理論》課程 學(xué)習(xí)指南

以下內(nèi)容包括二篇學(xué)生撰寫的讀書報(bào)告，3篇學(xué)生大習(xí)題解答同濟(jì)大學(xué)國家大學(xué)生創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計(jì)劃階段讀書報(bào)告之一團(tuán)隊(duì)信息項(xiàng)目名稱：股指期權(quán)的定價(jià)模型研究項(xiàng)目代號1390107006項(xiàng)目所在院系理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系指導(dǎo)教師邊保軍教授小組成員廖冠琳、徐寅、唐云超、馮慰君圖書信息題名《MathematicforFinance》ISBN1-85233-330-8出版社Springer出版年代2003年圖書摘要21世紀(jì)數(shù)學(xué)技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)一樣成為任何一門科學(xué)發(fā)展過程中的必備工具。這是一個(gè)重要信號：金融市場不是戰(zhàn)場，卻遠(yuǎn)勝于戰(zhàn)場。金融市場是離不開復(fù)雜艱深，迅速的計(jì)算工作的。以前金融市場的研究較多停留在以描述性分析為主著重描述金融的定義，市場的劃分及金融組織等，或稱為描述金融；而目前國外學(xué)術(shù)界以及實(shí)務(wù)界已將重點(diǎn)轉(zhuǎn)向數(shù)量性分析，比如資本資產(chǎn)定價(jià)原理，衍生資產(chǎn)的復(fù)制方法等，或稱為分析金融。本書《MathematicforFinance》作為哥倫比亞大學(xué)金融數(shù)學(xué)課程的教材，深入淺出，主要研究以數(shù)量性分析為主的金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，條理清晰，觀點(diǎn)也較為新穎。該書大致分為三個(gè)主要部分：一股票、債券的風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)以及投資組合簡要描述了市場模型，對股票、債券的投資風(fēng)險(xiǎn)與投資回報(bào)進(jìn)行了詳細(xì)的定量分析，并引入了經(jīng)典的二叉樹模型。最后就風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合投資進(jìn)行綜合分析。二遠(yuǎn)期合約,期貨,期權(quán)的一般性質(zhì)和定價(jià)原理此部分引入了經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，是金融數(shù)學(xué)的核心部分，也是研究股指期權(quán)定價(jià)模型的重要基礎(chǔ)。三基礎(chǔ)金融衍生品在金融工程中的應(yīng)用及利率衍生品初步讀書心得第一部分：股票、債券的風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)以及投資組合1簡單市場模型首先，通過閱讀本書第一章，了解了簡單市場模型的基本假設(shè)以及一階二叉樹模型。模型假設(shè)是建立數(shù)學(xué)模型的前提和基礎(chǔ)，在金融數(shù)學(xué)中有五條基本假設(shè)：1）遠(yuǎn)期價(jià)格是隨機(jī)變量2）所有價(jià)格為正數(shù)3）討論數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域4）討論函數(shù)為容許函數(shù)5）遠(yuǎn)期價(jià)格有限。此外還有一條最重要的原則，這條原則是數(shù)量分析的基礎(chǔ)，即無套利原則（noarbitrageprincipal）：themarketdoesnotallowforrisk-freeprofitswithnoinitialinvestment.一階二叉樹模型（onestepbinomialmodel）是簡單市場模型的核心，是市場模型的最簡化形式（遠(yuǎn)期價(jià)格只有兩種可能）但卻已經(jīng)充分反映了建立模型的思路，其中包括概率論的應(yīng)用。模型符號表示：表示既期股票價(jià)格表示遠(yuǎn)期股票價(jià)格表示既期債券價(jià)格表示遠(yuǎn)期債券價(jià)格表示既期總資產(chǎn)價(jià)格表示遠(yuǎn)期總資產(chǎn)價(jià)格一階二叉樹模型2債券、股票的風(fēng)險(xiǎn)和收益數(shù)量分析本書相當(dāng)有條理地對無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)債券以及有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票分別進(jìn)行了論述，使我們對用數(shù)學(xué)方法研究金融標(biāo)的的數(shù)量特征有了一個(gè)初步的體驗(yàn)，形成了資產(chǎn)具有時(shí)間價(jià)值的概念，為以后研究金融衍生物的定價(jià)策略打下基礎(chǔ)，增加興趣。債券部分：本金利息債券收益率的數(shù)量計(jì)算：單利下債券收益的數(shù)量計(jì)算：周期復(fù)利下債券收益的數(shù)量計(jì)算：連續(xù)復(fù)利下債券收益的數(shù)量計(jì)算：零息債券價(jià)值分析：其中為facevalue有息債券價(jià)值分析：股票部分：前提：無紅利（nodividend）:thepriceattimetifthemarketfollowsscenario股票收益率的數(shù)量計(jì)算：或（常用）注：Treeofpricemovement:股票價(jià)值分析，其中下股票價(jià)值：下股票價(jià)值：評判股票收益的重要指標(biāo)：ExpectedReturn股票價(jià)格的二叉樹模型：Athreesteptree:股票價(jià)格的綜合分析3如何進(jìn)行有效的投資組合（portfoliomanagement）進(jìn)行有效的投資組合可以規(guī)避單項(xiàng)投資所帶來的風(fēng)險(xiǎn)，本書對如何進(jìn)行有效的投資組合進(jìn)行了數(shù)學(xué)上的分析，找到最佳組合。首先對只有兩種風(fēng)險(xiǎn)投資的組合分析，進(jìn)而對多種風(fēng)險(xiǎn)投資的組合分析，循序漸進(jìn)。評價(jià)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)與收益的指標(biāo)：；參考值兩種股票的情況：組合資產(chǎn)：Weights組合資產(chǎn)的收益：最有效的資產(chǎn)組合：（withoutshortselling）設(shè)當(dāng)時(shí)，存在最優(yōu)組合令則取到最優(yōu)組合時(shí)的值為第二部分:遠(yuǎn)期合約,期貨,期權(quán)的一般性質(zhì)和定價(jià)原理遠(yuǎn)期合約,期貨,期權(quán)的定義與一般性質(zhì)(1)遠(yuǎn)期合約是指投資者雙方為了達(dá)到以事先敲定的固定的價(jià)格在未來某個(gè)固定的時(shí)刻購買或出售資產(chǎn)這一目的所簽定的條款。遠(yuǎn)期合約中同意出售資產(chǎn)的一方被稱作為takeashortforwardposition，遠(yuǎn)期合約中同意購買資產(chǎn)的一方被稱作為takealongforwardposition。簽定遠(yuǎn)期合約的本質(zhì)目的是投資者為了讓自己在對具有風(fēng)險(xiǎn)的投資中對未來的未知價(jià)格掌握屬于自己的主動(dòng)權(quán)。根據(jù)無套利原則，我們可以一定的公式計(jì)算出遠(yuǎn)期合約中的執(zhí)行價(jià)格.對于以不分股利的股票為標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期和約來說，其執(zhí)行價(jià)格為F(t,T)=S(0)*exp(r*(T-t))，其中r是連續(xù)的無風(fēng)險(xiǎn)復(fù)利率。針對有股利的情形有如下定理：對于以分股利的股票為標(biāo)的資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約來說，其執(zhí)行價(jià)格為F(t,T)=[S(0)-div]*exp(r*(T-t))，其中div是指在合約期間所支付的所有股利。如果股利是以固定利率連續(xù)支付的，那么遠(yuǎn)期合約的執(zhí)行價(jià)格公式可修正為F(t,T)=S(0)*exp((r-r’)*(T-t))，其中r’是指股利的支付利率。(2)期貨合約相對于遠(yuǎn)期合約有更多的所謂的“游戲規(guī)則”。遠(yuǎn)期合約一般都在場外交易，而且遠(yuǎn)期合約的條款所受約束較少，合約雙方可以根據(jù)自己的情況制定雙方滿意的合約。但是期貨合約的條款都有固定的格式和規(guī)則，投資者必須嚴(yán)格遵守。每個(gè)期貨投資者進(jìn)行期貨交易之前必須支付一定比例的保證金（deposit）也就是所謂的初始差價(jià)（initialmargin），再根據(jù)markingtomarket（分時(shí)結(jié)算制度）增加保證金的額度。在某種情況下遠(yuǎn)期合約與期貨合約是相互等價(jià)的，看以下定理：在無風(fēng)險(xiǎn)的復(fù)式利率不變的條件下，期貨合約f(0,T)=遠(yuǎn)期合約F(0,T)。(3)期權(quán)（option),是指某一標(biāo)的物的買賣權(quán)或選擇權(quán)，具有在某一限定時(shí)間內(nèi)按某一指定的價(jià)格買進(jìn)或賣出某一特定商品或合約的權(quán)利。和期貨不同，期權(quán)的買方只有權(quán)利而沒有義務(wù)。a)某人可以購買一種機(jī)會(huì)，在未來以約定的價(jià)格購買一股股票。這種不帶義務(wù)的未來購買的權(quán)利被稱作為看漲期權(quán)（calloption）。下面是期權(quán)中的一些條款：期權(quán)的購買者向出售者支付費(fèi)用，即為升水；在到期日，合約的買方以執(zhí)行價(jià)格向合約的賣方支付；如果合約賣方受到買方以交易價(jià)格支付，在到期日必須交付一股股票給買方。下圖是股票和現(xiàn)金可能的交易情形：看漲期權(quán)分為歐式看漲期權(quán)和美式看漲期權(quán)，前者只有在到期日才能執(zhí)行，而后者允許買方在到期日之前的任何時(shí)間行使期權(quán)。美式看漲期權(quán)比歐式期權(quán)的現(xiàn)金流收入更高。在期權(quán)合約中，要么交易不發(fā)生，要么合約的賣方向買方支付股票價(jià)格與執(zhí)行價(jià)格之間的價(jià)差，于是我們可以用到期的股票價(jià)格S(T)和執(zhí)行價(jià)格X描述買方未來可能的支付量，即：看漲期權(quán)的現(xiàn)金流=max{S(T),X}。如果S(T)-X為正，則該最大值公式等于S(T)-X，否則為0。根據(jù)金融原理——資產(chǎn)復(fù)制（replication）和無套利原則（noarbitrageprincipal），我們可以推導(dǎo)出看漲期權(quán)的價(jià)格下限：由Call+X*exp(-r*(T-t))≥S(T)可以得到Call≥S(T)-X*exp(-r*(T-t))。其實(shí)該公式是與遠(yuǎn)期合約的價(jià)格公式相互對應(yīng)的。b)同樣，某人也可以購得一種機(jī)會(huì)，在未來以確定價(jià)格出售一股股票，即使他并不持有任何股票。這種未來出售的權(quán)利被稱作為是看跌期權(quán)（putoption）。下面是期權(quán)中的一些條款：期權(quán)的購買者向出售者支付費(fèi)用，即為升水；在到期日，合約的買方也許給合約的賣方一股股票，或者等量的一股股票的市場價(jià)格；如果合約的賣方從買方收到股票或者其價(jià)格，在到期日他必須支付執(zhí)行費(fèi)用給買方。假設(shè)到期日股票價(jià)格高于執(zhí)行價(jià)，這對于買方將是一次損失的交易，明智的投資者會(huì)拒絕執(zhí)行期權(quán)；相反，如果看跌期權(quán)的買方發(fā)現(xiàn)到期日時(shí)股價(jià)相對較低，那么買方會(huì)選擇從賣方處獲取費(fèi)用并且使用其中一部分購買一股股票，剩余部分即為利潤。下圖是股票和現(xiàn)金可能的交易情形：看跌期權(quán)分為歐式看跌期權(quán)和美式看跌期權(quán)，前者只有在到期日才能執(zhí)行，而后者允許買方在到期日之前的任何時(shí)間行使期權(quán)。美式看跌期權(quán)“或許會(huì)”比歐式看跌期權(quán)的現(xiàn)金流收入更高。c)看漲看跌平價(jià)定理：在不分股利的情形下，有Call^E-Put^E=S(0)-X*exp(-r*T)。該定理針對的是歐式看漲看跌期權(quán)，而且執(zhí)行價(jià)格和到期日相同?？礉q看跌平價(jià)估計(jì)：在不分股利的情形下，有S(0)-X*exp(-r*T)≥Call^A-Put^A≥S(0)-X。該定理針對美式看漲看跌期權(quán)，且執(zhí)行價(jià)格和到期日相同。d)期權(quán)的時(shí)間價(jià)值：WesaythatattimetacalloptionwithstrikepriceXisInthemoneyifS(t)>XAtthemoneyifS(t)=XOutofthemoneyifS(t)<XSimilarly,foraputoptionwesaythatitisInthemoneyifS(t)<XAtthemobeyifS(t)=XOutofthemoneyifS(t)>X買權(quán)賣權(quán)

實(shí)值期權(quán)執(zhí)行價(jià)格＜期貨價(jià)格執(zhí)行價(jià)格＞期貨價(jià)格

平值期權(quán)執(zhí)行價(jià)格＝期貨價(jià)格執(zhí)行價(jià)格＝期貨價(jià)格

虛值期權(quán)執(zhí)行價(jià)格＞期貨價(jià)格執(zhí)行價(jià)格＜期貨價(jià)格(2)期權(quán)定價(jià)理論1.期權(quán)定價(jià)的二叉樹模型:股票的現(xiàn)價(jià)為S,由于股票價(jià)格的波動(dòng)率,到期時(shí)價(jià)格可能上揚(yáng)為Su,也可能下跌為Sd.為簡單計(jì),暫且假定漲跌幅均為10％,則有u=1+10％=1.1，d=1-10％＝0.9,顯然前一情況客戶會(huì)執(zhí)行期權(quán)，后一情況會(huì)放棄期權(quán)在股票價(jià)格為$46.2時(shí),客戶必定以敲定價(jià)格$40購進(jìn)股票.這時(shí)期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為Vu=Su-X=46.2-40=6.2(美元)在股票價(jià)格為$37.8時(shí),客戶必定放棄這約定的股票購買權(quán),這時(shí)期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為Vd=0(美元)在期滿日T時(shí),期權(quán)價(jià)值為VT=max(ST-X)逆向求解：由VT求V這就是二叉樹模型的基本思路.為了解決這個(gè)問題我們看以下方法:套期保值,即交易者為減少風(fēng)險(xiǎn)而采取的投資組合(portfolio)的策略.假定現(xiàn)在套利者賣出一份股票期權(quán),價(jià)格為V,再以價(jià)格S買進(jìn)α份這種股票,那么該組合的價(jià)格為組合的目的是使之不具有風(fēng)險(xiǎn),從而可獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率，那么在期權(quán)期滿日,組合增值后的價(jià)值為其中另一方面，如前面分析，這組合的在期權(quán)滿日價(jià)格由于組合無風(fēng)險(xiǎn)，故即將數(shù)據(jù)代入r=0.1,u=1.1,d=0.9,得到：V=4.454記，那么注意p正是股票價(jià)格上揚(yáng)的概率,1-p是股票價(jià)格上揚(yáng)的概率，于是但很顯然,在現(xiàn)實(shí)生活中,股票時(shí)刻都有可能漲跌，以上假設(shè)股價(jià)只有兩種結(jié)果的方法有些不太核實(shí)了,因此我們可以將T分為很多小的時(shí)間間隔Dt,而在每一個(gè)Dt,股票價(jià)格變化由S到Su或Sd.若價(jià)格上揚(yáng)的概率為p,那么下跌的概率為1-p如前所述,即股票預(yù)期收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率,故有利用概率論的知識，可以導(dǎo)出，，，一個(gè)T=4Dt的二叉樹圖期權(quán)的預(yù)期收益率也應(yīng)該等于無風(fēng)險(xiǎn)利率,故有期權(quán)的計(jì)算將從樹圖的末端(T時(shí)刻)開始向后倒推進(jìn)行.此時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值是已知的,可倒推出前一個(gè)時(shí)刻的期權(quán)價(jià)格。圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)值，上方是此時(shí)股票的價(jià)格，下方的是此時(shí)期權(quán)的價(jià)值。以此類推,當(dāng)我們有N個(gè)間隔時(shí),我們回顧逆推公式 如果將二叉樹的圖中的節(jié)點(diǎn)依次標(biāo)號，記自左向右第i個(gè)、自上向下第j個(gè)節(jié)點(diǎn)為，則有：于是從（即所求期權(quán)價(jià)格）開始，反復(fù)向下展開，得到其中為組合數(shù)，為最后一列的期權(quán)價(jià)值，即期滿日的價(jià)值。這樣，我們就不需要從最末端一步一步向前推，直接利用上述公式即能迅速得到結(jié)果。2.Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型評估上市交易期權(quán)的最常用的方法包括Black-Scholes模型和Cox-Ross-Rubinsteinbinomial價(jià)格模型。

產(chǎn)生于20世紀(jì)70年代早期的Black-Scholes模型比其他模式更廣泛地應(yīng)用于股票期權(quán)。它使用了精確的基于股票增值的可能性的方法。這種方法起先是用于交易“歐式”期權(quán)，而且僅在期權(quán)到期的最后一天可執(zhí)行，它是和非支付股息股票一起發(fā)展起來的。起先的模式現(xiàn)已經(jīng)被修改，并已能夠支付股息股票和“美式”期權(quán)，這種股票期權(quán)在期權(quán)到期前的任何時(shí)間內(nèi)都可以執(zhí)行的并進(jìn)行結(jié)算。Black-Scholes模型包括了一些其他重要的假定，其中一些可能限制該模型在評估非交易期權(quán)像員工股票期權(quán)的作用。那些假設(shè)如下：

在其中沒有利潤要求、稅收或辦理花費(fèi)，比如回扣。

無風(fēng)險(xiǎn)利益率一直不變。

利益產(chǎn)出一直不變。

在短期內(nèi)股票價(jià)格僅能有一個(gè)很小數(shù)量的改變。

期權(quán)的期限是暫時(shí)的]該股票價(jià)格的方差一直不變。由于在Black-Scholes公式中在預(yù)期收益上波動(dòng)性的顯著性，該模型一般對具有高波動(dòng)性和低分紅的公司的期權(quán)得出高價(jià)值，并且對低波動(dòng)性和高分紅的公司的期權(quán)計(jì)算出低價(jià)值。一些評論家對Blakc-Scholes模型在期權(quán)價(jià)值計(jì)算方面的用途提出疑問，因?yàn)樗鼪]有包含對預(yù)期未來股票增值的具體的假設(shè)。然而，Black-Scholes反映了無風(fēng)險(xiǎn)收益和該股票預(yù)期的價(jià)格方差，因而它實(shí)際上反映了未來股票增值的潛在程度。

利用股票價(jià)格的波動(dòng)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)可以導(dǎo)出對于歐式期權(quán)，這個(gè)方程可以求出解的公式，布萊克—斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型用下列公式計(jì)算普通股的歐式買入期權(quán)的公平（理論）價(jià)格：看漲：看跌：其中：由于布萊克—斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型不包括現(xiàn)金支付在內(nèi)，所以此模型主要是針對不派發(fā)股利的股票而設(shè)計(jì)的。由布萊克—斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型得出的期權(quán)價(jià)格是公平的（fair），也就是說，如果存在其他任何價(jià)格，就有可能通過持有彌補(bǔ)頭寸的基礎(chǔ)股票而獲得無風(fēng)險(xiǎn)套利。如果市場上買入期權(quán)價(jià)格比布萊克—斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型得出的價(jià)格高，投資者可以賣掉買入期權(quán)，同時(shí)買入一定量的基礎(chǔ)股票，反之，如果買入期權(quán)的市場價(jià)格低于該模型得出的“公平”價(jià)格，則投資者會(huì)購進(jìn)買入期權(quán)，并賣空一定數(shù)量基礎(chǔ)股票，這種通過持有一定基礎(chǔ)股票頭寸的套期保值過程可以使投資者鎖定無風(fēng)險(xiǎn)套利的利潤。Black-Scholes方程雖然影響巨大,但是它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和求解過程在金融界較難被廣泛接受和掌握.尤其令人遺憾的是:對于美式期權(quán),由于方程的定解問題更為復(fù)雜,不可能求出解的表達(dá)式.第三部分:基礎(chǔ)金融衍生品在金融工程中的應(yīng)用及利率衍生品初步利用期權(quán)頭寸對沖風(fēng)險(xiǎn)delta對沖delta=即delta衡量了期權(quán)價(jià)格對股價(jià)波動(dòng)的敏感性.所以利用delta我們可以在理論上構(gòu)造一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的頭寸,來進(jìn)行套期保值.(2)希臘字母在實(shí)際應(yīng)用中,有black-scholes方程,我們可以得到期權(quán)價(jià)格關(guān)于股價(jià),時(shí)間,波動(dòng)率,無風(fēng)險(xiǎn)利率的各階偏導(dǎo)數(shù),他們都是進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理的重要參數(shù),從不同的側(cè)面衡量了風(fēng)險(xiǎn)的大小.因此,在進(jìn)行對沖的時(shí)候,常常利用他們來構(gòu)造我們需要的資產(chǎn)組合.常用的有以下幾種:delta-gamma對沖delta-vega對沖delta對沖他們分別在不同的情況下使用,而且對沖的效果不盡相同.delta-gamma對沖主要是在delta對沖的基礎(chǔ)上,加入了期權(quán)價(jià)格對股價(jià)的二階導(dǎo)數(shù)gamma,使得當(dāng)股價(jià)在小范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí),對沖能達(dá)到很好的效果.而delta-vega對沖則是考慮了波動(dòng)率這個(gè)重要參數(shù)的影響,構(gòu)造出的資產(chǎn)組合,對波動(dòng)率的變化具有低敏感性,這符合了一些投資者的需要.2,利用衍生工具投機(jī)在利用衍生工具,特別是期權(quán)投機(jī)的行為中,人們主要是依據(jù)個(gè)人對市場走向的判斷,綜合利用各種類型的期權(quán),把他們作為基本的單元,進(jìn)行復(fù)雜組合而生成各種性質(zhì)各異的新型期權(quán),從而在市場的大起大落中投機(jī)獲利.其中重要的期權(quán)組合有:牛市跨期組合:適用于平穩(wěn)牛市投機(jī)熊市跨期組合:適用于平穩(wěn)熊市投機(jī)蝶式與反蝶式組合:適用于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在某一范圍內(nèi)小幅波動(dòng)或者大幅波動(dòng).利率變量這一部分主要介紹了利率作為變量的基本知識.到期收益率:反應(yīng)了債券在他的整個(gè)有效期內(nèi)的平均收益率久期的概念:久期是債券價(jià)格對利率變化的敏感度的量度利用久期可以有效的管理債券的風(fēng)險(xiǎn),在本書中作者只是進(jìn)行了較為簡略的講述遠(yuǎn)期利率,到期收益率,即期利率之間的聯(lián)系與互化.以上三大部分就是我們對整個(gè)教材學(xué)習(xí)過程的一個(gè)小結(jié).可以看到,我們的重點(diǎn)落在了前兩個(gè)部分,而對與本項(xiàng)目而言,這也是我們最需要的知識.當(dāng)然,最后一部分的提高性內(nèi)容對我們開闊視野也是很有益處的.2007年11月21日書名:金融工程導(dǎo)論著者：毛二萬出版社：機(jī)械工業(yè)出版社頁數(shù)：152內(nèi)容概要：本書分八章介紹了作為金融工程師所必需的知識。第一章金融工程引論，介紹了金融工程產(chǎn)生的原因和發(fā)展的背景，金融工程的定義及應(yīng)用領(lǐng)域，金融衍生產(chǎn)品的定義及其功能，并且告訴我們?nèi)绾纬蔀橐粋€(gè)合格的金融工程師。第二章遠(yuǎn)期和期貨，介紹了遠(yuǎn)期和期貨市場，及遠(yuǎn)期和期貨合約的定價(jià)方法。第三章期權(quán)，介紹了期權(quán)及其市場，期權(quán)的定價(jià)原理。第四章互換，介紹了互換及互換市場，互換的功能和應(yīng)用領(lǐng)域。第五章實(shí)物期權(quán)及其應(yīng)用，先是告訴我們實(shí)物期權(quán)的基本概念，引起我們對凈現(xiàn)值法的思考，然后介紹了實(shí)物期權(quán)的定義及發(fā)展概況，及使用實(shí)物期權(quán)的條件，最后說明了實(shí)物期權(quán)的應(yīng)用領(lǐng)域。第六章金融市場定價(jià)模型初步，主要介紹了單時(shí)期有限態(tài)模型下的定價(jià)理論。第七章金融工程技術(shù)的應(yīng)用，從四個(gè)方面：套期保值，投機(jī)，套利和構(gòu)造資產(chǎn)組合策略介紹了金融工程技術(shù)的應(yīng)用，并且對實(shí)例進(jìn)行了研究。第八章典型創(chuàng)新金融產(chǎn)品案例分析及創(chuàng)新金融產(chǎn)品介紹，說明金融創(chuàng)新的重要意義。每一章末都配套有相應(yīng)的思考與練習(xí)題目，以便于我們更好的消化理解知識要點(diǎn)，并且進(jìn)一步提高應(yīng)用能力。讀后心得：金融工程是一門應(yīng)用性極強(qiáng)的學(xué)科，可以用來解決許許多多的實(shí)際金融問題。本書將主要目標(biāo)放在教會(huì)我們?nèi)绾螌F(xiàn)貨市場的金融工具和衍生市場上的金融工具進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合來幫助公司和個(gè)人解決各種各樣的實(shí)際理財(cái)議題。由于我國經(jīng)濟(jì)自身的特點(diǎn)，又同國外的很多具體做法和制度有所不同，有一些教材僅僅引進(jìn)了西方經(jīng)濟(jì)管理基本理論，而本書吸取了國內(nèi)外的最新理論和學(xué)術(shù)成果，兼收并蓄，體現(xiàn)了理論上的前沿性。本書在闡述各種理論知識的同時(shí)，還配有相關(guān)的案例，教會(huì)我們?nèi)绾谓Y(jié)合實(shí)際運(yùn)用所學(xué)的知識，應(yīng)用性極強(qiáng)。本書作者曾在基金公司的金融工程部做過高級金融分析師，他從解決實(shí)際問題出發(fā)，介紹金融工程師所必需的金融知識。重點(diǎn)介紹了金融工程引論，期貨，期權(quán)，互換，實(shí)物期權(quán)，金融市場定價(jià)模型初步，金融工程技術(shù)的實(shí)際應(yīng)用和典型創(chuàng)新金融產(chǎn)品等內(nèi)容。其中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了復(fù)制與無套利分析，將證券市場模型化，注重實(shí)際問題的解決。本書并不局限于僅僅講授金融工程的理論知識，而且著重強(qiáng)調(diào)了金融創(chuàng)新的社會(huì)價(jià)值。金融創(chuàng)新可以從三個(gè)方面提升經(jīng)濟(jì)的表現(xiàn)。首先，通過風(fēng)險(xiǎn)集總，分配，對沖和跨時(shí)間，空間轉(zhuǎn)移資源，金融創(chuàng)新使市場更加接近完全市場，從而滿足人們對完全市場的需求。其次，金融創(chuàng)新可以降低交易成本或提高流動(dòng)性。最后，金融創(chuàng)新可以降低代理成本。本書還說明了金融工程的創(chuàng)新標(biāo)準(zhǔn)，就是它能夠提高金融市場的運(yùn)作效率或者使金融市場更加接近完全市場。本書在講解金融工程原理時(shí)，并沒有過多的涉及衍生產(chǎn)品定價(jià)中的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，而是著重強(qiáng)調(diào)了在處理實(shí)際金融問題時(shí)所使用的方法和手段。通過各種具體的金融產(chǎn)品實(shí)例研究，向我們生動(dòng)的展示了如何根據(jù)實(shí)際需要，來合理應(yīng)用現(xiàn)有的金融產(chǎn)品或者設(shè)計(jì)創(chuàng)新型的金融產(chǎn)品來實(shí)現(xiàn)金融工程的基本功能——規(guī)避和管理市場風(fēng)險(xiǎn)或者發(fā)現(xiàn)套利機(jī)會(huì)。尤其是在本書的最后一章，向我們介紹了在過去幾十年中出現(xiàn)的各種各樣的金融產(chǎn)品創(chuàng)新，這些產(chǎn)品及其產(chǎn)生過程是我們可以很好地了解金融工程師們創(chuàng)造性解決金融問題所作的努力，而且通過學(xué)習(xí)這些金融創(chuàng)新機(jī)理，為我們以后設(shè)計(jì)新的金融產(chǎn)品和交易策略來解決實(shí)際中出現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)問題奠定牢固的基礎(chǔ)。以上為吳升同學(xué)的讀書報(bào)告期權(quán)定價(jià)作業(yè)073329洪智武設(shè)函數(shù)滿足下列偏微分方程：及終值條件。若滿足下列隨機(jī)微分方程：證明可表示為。證：不妨設(shè)，則只需驗(yàn)證滿足偏微分方程及終值條件。顯然即終值條件滿足；又由公式可得又所以對上式兩邊求期望得因?yàn)樯鲜綄θ我獬闪?，所以有綜上：可表示為。設(shè)股票在內(nèi)分紅為股票價(jià)格，為紅利率，為期權(quán)價(jià)值。推導(dǎo)滿足的方程（用對沖）。設(shè)，收益函數(shù)，同時(shí)若表示不分紅利對應(yīng)的歐式期權(quán)價(jià)值，證明：。解：（1）構(gòu)造投資組合（是原生資產(chǎn)的份額），選取適當(dāng)?shù)氖沟迷跁r(shí)段內(nèi)，是無風(fēng)險(xiǎn)的。由于無風(fēng)險(xiǎn)，所以在時(shí)刻投資回報(bào)為即---------------------------------（1）又由于股票在內(nèi)分紅，所以---------------------------------------（2）由公式有---------------------（3）將（2）、（3）代入（1）中整理得：所以有解得：（2）令，則有所以有即滿足按紅利率為的方程，所以證明（為歐式期權(quán)的價(jià)格，為股票價(jià)格）滿足下列偏微分方程：及相應(yīng)的終值條件。證：由題2可知滿足對B-S方程關(guān)于S求偏導(dǎo)得令，整理得同理，對終值條件關(guān)于S求偏導(dǎo)得在上題中，取，歐式冪看漲期權(quán)的收益函數(shù)為，試求出的表達(dá)式。解：依題意，可以寫出所滿足的微分方程及所對應(yīng)的終值條件如下：------------------（1）作變量代換得---------------------（2）令則有（2）式中方程可轉(zhuǎn)化為令則（2）轉(zhuǎn)化為熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題其解的表達(dá)式為所以其中令則有同理整理得所以分別用公式，二叉樹方法及Matlab編程計(jì)算歐式看跌期權(quán)的價(jià)值。設(shè)，計(jì)算并計(jì)算誤差。解：（1）公式計(jì)算期權(quán)價(jià)格的函數(shù)：functionV=BVp(S,K,T,t,r,q,s)d1=(log(S./K)+(r-q+s.^2/2).*(T-t))./s./sqrt(T-t);d2=d1-s.*sqrt(T-t);Z=size(d1);N1=ones(Z);N2=ones(Z);fori=1:Z(1);forj=1:Z(2);N1(i,j)=N(-d1(i,j));N2(i,j)=N(-d2(i,j));endendV=K.*exp(-r.*(T-t)).*N2-S.*exp(-q.*(T-t)).*N1;V=double(V);functionN=N(x)symswN=int(exp(-w^2/2)/sqrt(2*pi),w,-inf,x);（2）二叉樹方法計(jì)算價(jià)格的函數(shù)：function[V0,dt,S,V]=TVp(S0,K,T,r,q,s,N)dt=T/N;u=exp(s*sqrt(dt));d=1/u;r=exp(r*dt)/exp(q*dt);qu=(r-d)/(u-d);S=zeros(N+1);V=zeros(N+1);S(N+1,1)=S0*u^N;V(N+1,1)=max(K-S(N+1,1),0);fori=2:N+1;S(N+1,i)=S(N+1,i-1)*d/u;V(N+1,i)=max(K-S(N+1,i),0);endfori=N:-1:1;forj=i:-1:1;S(i,j)=S(i+1,j)/u;V(i,j)=(qu*V(i+1,j)+(1-qu)*V(i+1,j+1))/r;endendV0=V(1,1);（3）計(jì)算及二叉樹方法的誤差精度并畫圖：S0=1:0.5:5;K=5*ones(1,length(S0));T=ones(1,length(S0));t=zeros(1,length(S0));r=0.025*ones(1,length(S0));q=zeros(1,length(S0));s=0.05*ones(1,length(S0));Vpe=BVp(S0,K,T,t,r,q,s);dt=zeros(1,10);error=zeros(1,10);fori=1:10;TV=zeros(1,length(S0));forj=1:length(S0);[TV(j),d]=TVp(S0(j),5,1,0.025,0,0.05,100*i);enddt(i)=d;error(i)=max(abs(TV-Vpe));endVpeTVerrordtk=polyfit(log(dt),log(error),1)loglog(dt,error,'*-')gridontitle('relationshipbetweendtanderror')xlabel('dt');ylabel('error');算得0時(shí)刻期權(quán)價(jià)格如下：S0V0公式V0二叉樹方法（）1.03.876549560141663.876549560141531.53.376549560141663.376549560141532.02.876549560141662.876549560141532.52.376549560141662.376549560141523.01.876549560141661.876549560141533.51.376549560142151.376549560141924.00.876551418587620.876551355911734.50.381900292700110.381889253144195.00.048827090328780.04879993424519誤差與時(shí)間步長關(guān)系如下：Error(1.0e-003)0.010000000000000.271252320057910.005000000000000.135712289626700.003333333333330.090493840238790.002500000000000.067877475341390.002000000000000.054305380225550.001666666666670.045256370406890.001428571428570.038792328836130.001250000000000.033944044861950.001111111111110.030173007661880.001000000000000.02715608359573畫出關(guān)系圖如下：且ln(error)與ln()之間滿足函數(shù)關(guān)系式所以二叉樹方法具有一階精度。補(bǔ)充說明：上題中誤差的計(jì)算用的是。如果采用老師課堂上所給的，其中，則畫不出上圖。其圖如下：并且ln(error)與ln()之間滿足函數(shù)關(guān)系式即error為一常數(shù)C=0.123450439858336，與無關(guān)。事實(shí)上，討論二叉樹方法的收斂精度，使用第二種誤差的計(jì)算方法是不可取的。二叉樹方法最終要計(jì)算的是給定初始點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)格，在該點(diǎn)處的誤差才是算法真正的誤差，而該點(diǎn)后面的每一項(xiàng)的誤差顯然是比前一項(xiàng)的誤差來的大的，否則該算法就不收斂了。所以如果采用第二種誤差的計(jì)算方法，取到的最大誤差并不是時(shí)刻的誤差，而是在時(shí)刻的誤差，而T時(shí)刻的每一個(gè)股價(jià)S所對應(yīng)的期權(quán)價(jià)格V只是由決定。當(dāng)減小時(shí)，T時(shí)刻股價(jià)S的取值的可能性增加（之前的取值還在），所以隨著的減小，誤差是不可能減少的，如此是不能正確估計(jì)出二叉樹算法的收斂精度的。當(dāng)然，實(shí)驗(yàn)證明，隨著的減小，誤差卻也沒有擴(kuò)大，而是保持在一個(gè)常數(shù)C=0.123450439858336。相應(yīng)的誤差計(jì)算及畫圖程序?yàn)椋篸t=ones(1,10);error=ones(1,10);fori=1:10;[V0,d,S,VT]=TVp(1,5,1,0.025,0,0.05,10*i);a=length(S);K=5*ones(a);T=ones(a);t=zeros(a);r=0.025*ones(a);q=zeros(a);s=0.05*ones(a);VB=BVp(S,K,T,t,r,q,s);VB=tril(VB);dt(i)=d;error(i)=max(max(abs(VB-VT)));endk=polyfit(log(dt),log(error),1)loglog(dt,error,'*-')gridontitle('relationshipbetweendtanderror')xlabel('dt');ylabel('error');大作業(yè)解答073398田逸銘設(shè)函數(shù)滿足下列偏微分方程:(1)及終值條件若滿足下列隨機(jī)微分方程為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng).證明:可表為 證：令,則滿足終值條件.下面只須說明滿足(1)式.從而有:從而;由于對所有t都有上式成立，故；即滿足（1）式。由以上可知為原偏微分方程的解。設(shè)股票在內(nèi)分紅，為股票價(jià)格，q為紅利率。為期權(quán)價(jià)格。推導(dǎo)滿足的Black-Scholes方程.設(shè)，收益函數(shù)為，同時(shí)用表示不分紅利對應(yīng)的歐式期權(quán)。證明：；解：建立投資組合；則故V滿足的方程為將上式展開，結(jié)合，可得其中隨機(jī)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)為0，故；從而原來的方程可以化簡為；這就是應(yīng)滿足的Black-Scholes方程。的解。結(jié)合；可知滿足的方程是從而可知；3．證明滿足下列偏微分方程。；及相應(yīng)的終值條件證：V滿足的條件是以上兩式分別對S求導(dǎo)即可得到：即；4．在上題中取q=0,歐式看漲期權(quán)的收益函數(shù)為試求出的表達(dá)式..解:帶紅利q的歐式期權(quán)滿足（4-1）的解為其中而滿足的是（4-2）相當(dāng)于（4-1）中令所得結(jié)果的兩倍。。由于（4-1）的求解對于的正負(fù)并沒有要求。這樣的方程可以用同樣的公式得到結(jié)果。即：其中5．分別用Black-Scholes公式，二叉樹方法用Matlab編程計(jì)算歐式看跌期權(quán)的價(jià)值。設(shè).計(jì)算及誤差。畫出。解:下面的程序給出了對于的9種情況下用Black-Scholes公式計(jì)算的0時(shí)刻期權(quán)價(jià)格，以及二叉樹方法（取100個(gè)節(jié)點(diǎn)）計(jì)算的期權(quán)價(jià)格.另外畫出了在范圍內(nèi)變化時(shí)的對數(shù)圖,這個(gè)比更容易看。function[pbs,pbt]=bsbt%給出T=1時(shí),S0=1:0.5:5的9總情況下用Blackscholes公式和二叉樹方法算出的V0（S0)%其中二叉樹方法取的是節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為100時(shí)的結(jié)果sigma=0.05;r=0.025;K=5;s0=1:0.5:5;fori=1:9pbs(i)=bs(s0(i),K,r,sigma,0,1);pbt(i)=bt(s0(i),K,r,sigma,0,1,1/100);end%i表示總節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù),idt=1;fori=1:9;j=1;u=exp(sigma*sqrt(1/i));whileu^j<20forn=1:i+1;%tn=ndtS(j,n)=bs(u^j,K,r,sigma,(n-1)/2^i,1);T(j,n)=bt(u^j,K,r,sigma,(n-1)/2^i,1,1/2^i);endj=j+1;endEr(i)=max(max(abs(S-T)));%記錄dt=1/2^i時(shí)對所有sj,所有tn，兩種算法最大的誤差enddt=2.^[-1:-1:-9];loglog(dt,Er);xlabel('e(deltat)');ylabel('deltat');endfunctiona=bs(s,K,r,sigma,t,T);d1=(log(s/K)+(r+sigma^2/2)*(T-t))/sigma/sqrt(T-t);d2=d1-sigma*sqrt(T-t);a=K*exp(-r*(T-t))*normcdf(-d2)-s*normcdf(-d1);endfunctiona=bt(s,K,r,sigma,t,T,dt);u=exp(sigma*sqrt(dt));d=u^-1;rou=1+r*dt;N=round((T-t)/dt);M=N+1;b=[];fori=1:Mb=[b,s*u^(N+1-i)*d^(i-1)];endV=zeros(M);V(1,:)=max(K-b,0);qu=(rou-d)/(u-d);qd=1-qu;fori=2:MV(i,1:M+1-i)=V(i-1,1:M+1-i)*qu/rou+V(i-1,2:M+2-i)*qd/rou;enda=V(M,1);end運(yùn)行結(jié)果>>[pbs,pbt]=bsbtpbs=3.87653.37652.87652.37651.87651.37650.87660.38190.0488pbt=3.87663.37662.87662.37661.87661.37660.87660.38180.0486這兩組數(shù)分別表示兩種算法下對于sj=u^j<20時(shí)V（S0，0）的值。下面是兩種算法在所有節(jié)點(diǎn)與所有Sj的最大差值與步長的關(guān)系：大作業(yè)吳遠(yuǎn)0920102016設(shè)函數(shù)f（x，t）滿足下列偏微分方程及終值條件。若Xt滿足下列隨機(jī)微分方程.為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。證明f（x，t）可以表示為.證明：由公式得從取積分，得在Xt=x下取數(shù)學(xué)期望，等式右邊=0則得證設(shè)股票在[t,t+dt]內(nèi)分紅qStdt，St為股價(jià)，q為紅利率，Vq為期權(quán)價(jià)格。推導(dǎo)V滿足的B-S方程。設(shè)收益函數(shù)為。同時(shí)用V0表示不分紅利對應(yīng)的歐式期權(quán)價(jià)格。證明證明：構(gòu)造投資組合。選取適當(dāng)?shù)氖沟迷趦?nèi)，是無風(fēng)險(xiǎn)的，則。由于支付股息。因此，而。兩式相減得即由于右端是無風(fēng)險(xiǎn)的。。則有，整理即得B-S方程：。在推導(dǎo)出的B-S方程中令，則，，，代入B-S方程得：。整理得：，此即為不含紅利的