2023年廣東省佛山市莘村中學(xué)高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A． B． C． D．2．已知斜率為2的直線l過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1，則p＝（）A．1 B． C．2 D．43．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測試（滿分100分）中得分情況的莖葉圖，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．甲得分的平均數(shù)比乙大 B．甲得分的極差比乙大C．甲得分的方差比乙小 D．甲得分的中位數(shù)和乙相等5．已知，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．若，，則或B．若，，，則C．若，，，則D．若，，則6．（）A． B． C．1 D．7．下列函數(shù)中，圖象關(guān)于軸對(duì)稱的為（）A． B．，C． D．8．五名志愿者到三個(gè)不同的單位去進(jìn)行幫扶，每個(gè)單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為（）A． B． C． D．9．函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則a的值為（）A．3 B．－3 C．2 D．－210．函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位11．某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱長為（）．A． B． C．1 D．12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn).設(shè)為拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A．或 B．或 C．或 D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q，已知Q到底面的距離與Q到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是拋物線，則當(dāng)二面角平面角的大小為時(shí)，k的值為______.14．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則_________.15．已知，，且，則的最小值是______.16．設(shè)滿足約束條件且的最小值為7，則＝_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，三棱柱中，平面，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，是線段的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，．（1）求，；（2）猜想的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．19．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，，求角.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于，滿足為的中點(diǎn)，求.21．（12分）△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；（Ⅱ）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【答案解析】

根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱，排除AB，計(jì)算f1.5≤【題目詳解】y=fx+1為奇函數(shù)，即fx+1=-f-x+1，函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.2．C【答案解析】

設(shè)直線l的方程為x＝y(tǒng)，與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得p．【題目詳解】由已知得F（，0），設(shè)直線l的方程為x＝y(tǒng)，并與y2＝2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1，則y0（y1+y2）＝，所以p=2,故選C．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問題，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．3．A【答案解析】

首先利用二倍角正切公式由，求出，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【題目詳解】解：∵，∴可解得或，∴“”是“”的充分不必要條件.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4．B【答案解析】

由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念，可得所求結(jié)論．【題目詳解】對(duì)于甲，；對(duì)于乙，，故正確；甲的極差為，乙的極差為，故錯(cuò)誤；對(duì)于甲，方差.5，對(duì)于乙，方差，故正確；甲得分的中位數(shù)為，乙得分的中位數(shù)為，故正確．故選：．【答案點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查平均數(shù)和方差等概念，培養(yǎng)計(jì)算能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．5．D【答案解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定A；由線面平行的判定定理，可判斷B；C中可判斷，所成的二面角為；D中有可能，即得解.【題目詳解】選項(xiàng)A：若，，根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，有或，故A正確；選項(xiàng)B：若，，，由線面平行的判定定理，有，故B正確；選項(xiàng)C：若，，，故，所成的二面角為，則，故C正確；選項(xiàng)D，若，，有可能，故D不正確.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.6．A【答案解析】

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【題目詳解】，，因此，.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．D【答案解析】

圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.【題目詳解】圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)；A中，，，故為奇函數(shù)；B中，的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)；C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；D中，且，，故為偶函數(shù).故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法：對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有，則函數(shù)是奇函數(shù)；都有，則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)對(duì)稱．8．D【答案解析】

三個(gè)單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1，求出甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率，利用互為對(duì)立事件的概率和為1即可解決.【題目詳解】由題意，三個(gè)單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1；基本事件總數(shù)有種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有種情況；若為第二種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有種，故甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率為，故甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的計(jì)算，涉及到排列與組合的應(yīng)用，在正面情況較多時(shí)，可以先求其對(duì)立事件，即甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率，本題有一定難度.9．A【答案解析】

求出，對(duì)分類討論，求出單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征，即可求解.【題目詳解】，若，，在單調(diào)遞增，且，在不存在零點(diǎn)；若，，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10．A【答案解析】依題意有的周期為.而，故應(yīng)左移.11．B【答案解析】

首先由三視圖還原幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的棱長．【題目詳解】解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，所以，該四棱錐體的最長的棱長為．故選：B．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．12．D【答案解析】

設(shè)，，根據(jù)和拋物線性質(zhì)得出，再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出，，最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系，從而可得出離心率．【題目詳解】過分別向軸和拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為、，不妨設(shè)，，則，為雙曲線上的點(diǎn)，則，即，得，，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，解得或.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率的求解，涉及雙曲線和拋物線的簡單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

二面角平面角為，點(diǎn)Q到底面的距離為，點(diǎn)Q到定直線得距離為d，則.再由點(diǎn)Q到底面的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k，可得，由此可得，則由可求k值.【題目詳解】解：如圖，設(shè)二面角平面角為，點(diǎn)Q到底面的距離為，點(diǎn)Q到定直線的距離為d，則，即.∵點(diǎn)Q到底面的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k，∴，則，∵動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是拋物線，∴，即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得：（）.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，由四棱錐的側(cè)面與底面的夾角求參數(shù)值，屬于中檔題.14．0.4【答案解析】

因?yàn)殡S機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布,利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性，即得解.【題目詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量ζ服從正態(tài)分布所以正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，所.【答案點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性在求概率中的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.15．8【答案解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【題目詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為8，故答案為：8.【答案點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求和的最小值，整體代入法，屬于基礎(chǔ)題.16．3【答案解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，對(duì)參數(shù)a分類討論，當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時(shí)，截距最小，即z有最小值，再由最小值為7，得出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當(dāng)時(shí)，的截距沒有最大值，即z沒有最小值，綜上可得出結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域如下：由，可得出交點(diǎn)，由可得，當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意；當(dāng)即時(shí)，由可行域可知當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時(shí)，截距最小，即z有最小值，即，解得或（舍）；當(dāng)即時(shí)，由可行域可知的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當(dāng)即時(shí)，根據(jù)可行域可知的截距沒有最大值，即z沒有最小值.綜上可知滿足條件時(shí).故答案為：3.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，約束條件和目標(biāo)函數(shù)中都有參數(shù)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）.【答案解析】

（Ⅰ）取中點(diǎn)為，根據(jù)幾何關(guān)系，求證四邊形為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量和平面的法向量，即可求得線面角的正弦值.【題目詳解】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，.如下圖所示：因?yàn)?，分別是線段和的中點(diǎn)，所以是梯形的中位線，所以.又，所以.因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所?所以，.所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因?yàn)?，且平面，故可以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：不妨設(shè)，則，所以，，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則所以可取.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故可得直線與平面所成的角的正弦值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查由線線平行推證線面平行，以及用向量法求解線面角，屬綜合中檔題.18．,；，證明見解析【答案解析】

對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并通過三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式,對(duì)函數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo)并通過三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式;根據(jù)中，的表達(dá)式進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【題目詳解】（1），其中，[，其中，（2）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，成立，②假設(shè)時(shí)，猜想成立即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，猜想成立由①②對(duì)成立【答案點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角恒等變換、歸納與猜想和數(shù)學(xué)歸納法;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的步驟是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.19．（1）見解析；（2）【答案解析】

（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此證得（2）利用正弦定理化簡（1）的結(jié)論，得到，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進(jìn)而求得的值，從而求得角.【題目詳解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20．（1），；（2）.【答案解析】

（1）由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)可得曲線的普通方程，由此可求曲線的極坐標(biāo)方程；直接利用直線的傾斜角以及經(jīng)過的點(diǎn)求出直線的參數(shù)方程即可；（2）將直線的參數(shù)方程，代入曲線的普通方程，整理得，利用韋達(dá)定理，根據(jù)為的中點(diǎn)，解出即可.【題目詳解】（1）由（為參數(shù)）消去參數(shù)，可得，即，已知曲線的普通方程為，，，，即，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為，直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)，）.（2）設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，.將直線的參數(shù)方程代入并整理，得，，.又為的中點(diǎn)，，，，，即，，，，即，.【答案點(diǎn)睛】本題考查了圓的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.21．(1)(2).【答案解析】試題