博弈論第三章

3非完全信息靜態(tài)博弈3.1理論：靜態(tài)貝葉斯博弈和貝葉斯納什均衡例不對稱信息(asymmetricinformation)下的古諾競爭市場中有兩個企業(yè)。市場需求:P(Q)=a-Q,Q=q1+q2.企業(yè)1成本：C1(q1)=cq^企業(yè)2成本：以概率。取C2(q2)=%q2，以概率1-0取C2(q2)=cLq2。企業(yè)2的產量依賴于成本：max[(a-q1*-q2)-c*2和max[(a-q1*-q2)?cjq2企業(yè)1選擇q1max0[(a-q1-q2*(cH))-c]q1+(1-0)[(a-q1-q2*(cL))-c]q1一階條件(a-q1*-cH)-2q2*(cH)=0(a-q1*-cL)-2q2*(cL)=0{0[(a-q2*(cH))-c]+(1-0)[(a-q2*(cL))-c]}-2q1*=0解出q*(c)=?！?ch+c+111(c-c)"2H ^H 6HLW=up一？/wq*=a一2c+Oc〃+(1一。比較完全信息下的古諾模型q*=(a-2c,+cj)/3靜態(tài)貝葉斯博弈的標準式表示參與人的類型空間孔,…,T;參與人i類型:鏟T其他人不知道t，，但知道t.的分布。i i參與人i的推斷P^t\ti).參與人的行動空間A1,…,An；參與人i收益:叫嫵，…，an；t)n個參與人的靜態(tài)貝葉斯博弈(staticBayesiangame)的標準式表G={A，…,A;T，…，T;pA，…,p;u，…,u},1n1n1n1n不對稱信息下的古諾博弈：T1={c},T2={Cl，Ch}丸2(%，?2；ci)=[(a-%?。2)-弓虬丸2g弓2；CH=[(a-%-。2)-Ch“2馬(q1，q2；c)=[(a-91-q2)-c]91用時間順序描述靜態(tài)貝葉斯博弈自然產生一個類型向量t=(七，…，tn)自然向參與人i顯示f;參與人同時選擇行動

（4）各人得到收益.參與人i的戰(zhàn)略:s四）￡A.貝葉斯納什均衡:s*=（s1*，…，s*）滿足max￡/*［、*,］）,...,s.1*（ti_1）,與si+i*奴1），…,"（『驅⑴匕）3.2應用例1信息不完全的性別戰(zhàn)克麗斯歌劇2+克麗斯歌劇2+t，10，0拳擊0，01，2+tp帕特歌劇拳擊類型空間:Tc=Tp=［0,x］匕和tc為［0,x］上的均勻分布.推斷（密度函數(shù)）：pc（匕）=pp（tc）=11x直覺：分別存在臨界值c與p：當tc>c時，克麗斯選擇歌劇，否則選擇拳擊.當tp>p時，帕特選擇拳擊，否則選擇歌劇.克麗斯的期望收益看歌劇:P(2+1)+(1-P)x0=P(2+1)X c X x c看拳擊:Px0+(1-P)=1-PX X X

選擇歌劇最優(yōu)cxx-3px-3pcxx-3px-3pxt>因此臨界值 C因此臨界值 C=帕特的期望收益看拳擊：(1-￡)x0+￡(2+1)=C(2+1)xxpxp看歌?。?1-c)+cX0=1-cxx x由選擇拳擊最優(yōu)tp>三-3臨界值p=--3c解得P=c和 p2+3p-x=0.克麗斯選擇歌劇的概率TOC\o"1-5"\h\z1-c=x-c=1—-3+艘+4x

xx 2x帕特選擇拳擊的概率1.p=x—p=1——3+^/9+4x

xx 2x當x—0時，1—-3+J9+4x—1—12x 3例2拍賣(anauction)第一價格密封拍賣(First-price,sealed-bid)兩個投標人.

i對物品的估價:七，獨立，[0,1]上的均勻分布類型空間：t=[0,1]ifb.ifb.>b.ifb.=bifb<b.I 七一biUi(b1，b2；勺V2)=](廠bi)/2戰(zhàn)略，即報價：b仞貝葉斯納什均衡(bi(vi),b.(v.))滿足max(vi-bi)Prob(b>b.(v.)}+2(vi-bi)Prob{b=b.(v.)}.求線性戰(zhàn)略b(v)=a.+cv.,Iliii問題為max(vi-bi)Prob{bi>a.+.}TOC\o"1-5"\h\z其中1 1Prob{b>a.+cy.}=Prob{v.<氣一"j}=b一?ijjj .c cjj參與人i的最優(yōu)行動滿足-1+—=0c cj j即有頃)=牛由估價與報價的關系：0<b<勺得到a.=0因此bi(vi)=v/2例3雙向拍賣(Adoubleauction)一個買者和一個賣者，分別提出價格pb,ps如果pb>ps,則以p=(pb+ps)/2交易；否則不交易.他們的估價為私人信息，％和勺獨立，為[0,1]上均勻分布.買者收益ub=。一p ifPb>Ps=0 ifPb<Ps賣者收益us=p-vs ifPb>ps=0 ifpb<ps戰(zhàn)略Pb(vb),Ps(vs)貝葉斯納什均衡(pb(vb),ps(vs))滿足(p+E[p(v)1p>p(v)])Pb{ >(u)1maXpb(Vb~b #一^^~b ^~—)Prob{pb>ps(vs)}(p+E[p(v)1p(v)>p]_v)Pb{ ()>}maxps( b~b-_b~b —Vs)Prob{Pb(Vb)>Ps}(1)單一價格均衡：以預先決定的X成交。如果vb>X，pb=X；否則pb=0.如果Vs<X，Ps=X；否則Ps=1.s如果vb>vs，交易就是有效率的，但不一定會進行交易。

(2)線性均衡假設賣者的戰(zhàn)略歡，=氣+5，則Ps(V)是區(qū)間［氣，氣+c^i上的均勻分布，E0(v)Ip>p(v)］=a+p (區(qū)間［a,pj的中點)ssbss 2 sbProb{pb>ps（v）}=p^cs買方的問題max[v-1{ph+a+P}]P^Lb2b2cs從一階條件解出2%+3氣假設買者的戰(zhàn)略pb(vb)=a+cbvb，賣者的問題1 p+a+c a+c—p^O.aX[—{Pb+——s bb}—Vs]bbss從一階條件解出ps=2V+3（abf比較系數(shù)，得到cbcb=-b3ah=—b12均衡戰(zhàn)略Pb（Pb（v）=2vb+i12PW)PW)=2七+4pv由交易條件pb>ps,有1v>七+4有部分有效的交易未發(fā)生。bXv交易sbXv交易s3.3顯示原理第一價格拍賣：在線性報價方式下，每個人的報價是他的估價的一半，bi（y：）=七/2。第二價格拍賣：出價最高者獲得購買，但是按第二高的出價交易。貝葉斯納什均衡：每個人按自己的估價報價，即b（v）=v不同