大學(xué)高數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)習(xí)公式知識點

大學(xué)高數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)習(xí)公式知識點第一章復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變數(shù)和復(fù)變函數(shù)w=f(z)=u二、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)極限z→z0f(z)=Az→z0?lim?第二章解析函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)w=二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R方程{ux=vyuy=vx{ux掌握復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：三、初等函數(shù)重點掌握初等函數(shù)的計算和復(fù)數(shù)方程的求解。1、冪函數(shù)與根式函數(shù)w=w=z?=rn1?einargz+2kπ?(k=0、1、2、…、n-1)n多值函數(shù)2、指數(shù)函數(shù)：w=性質(zhì)：（1）單值.（2）復(fù)平面上處處解析，（3）以2π3、對數(shù)函數(shù)w=L∣?z?∣∣?+i(argz+2kπ)=lnz+i2kπ（k=0、±1、±2……）性質(zhì)：（1）多值函數(shù),（2）除原點及負(fù)實軸處外解析,（3）在單值解析分枝上:。4、三角函數(shù)：cosz=eiz+eiz2cosz=2eiz+e?性質(zhì)：（1）單值（2）復(fù)平面上處處解析（3）周期性（4）無界5、反三角函數(shù)（了解）反正弦函數(shù)w=Arcsinz?)反余弦函數(shù)w=Arccosz?)性質(zhì)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)相同。6、一般冪函數(shù)：zs=es四、調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)：1)調(diào)和函數(shù):?2u2)已知解析函數(shù)的實部（虛部），求其虛部（實部）有三種方法：a）全微分法b）利用C-R方程c）不定積分法第三章解析函數(shù)的積分一、復(fù)變函數(shù)的積分lf(z)dz=ludx二、復(fù)變函數(shù)積分的計算方法1、沿路徑積分：cf(z)dz∫c2、閉路積分：a)cf(z)dz∮cb)c[u(三、柯西積分定理：cf(z)d推論1：積分與路徑無關(guān)cf(z)dz=z1推論2：利用原函數(shù)計算積分z1z2f(z)dz=F推論3：二連通區(qū)域上的柯西定理c1f(z)dz=c推論4：復(fù)連通區(qū)域上的柯西定理cf(z)dz=∑k=1四、柯西積分公式：f(z)=12πi∮cf(ξ)ξzdξf(z)=2πi1?∮c?ξ?zf(ξ五、高階導(dǎo)數(shù)公式：f(n)(z)=n!2π解析函數(shù)的兩個重要性質(zhì)：●解析函數(shù)f(z)f(z?)在任一點zz的值可以通過函數(shù)沿包圍點●解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)。本章重點：掌握復(fù)變函數(shù)積分的計算方法沿路徑積分cf(z)dz∫c閉路積分cf(z)dz∮c第四章解析函數(shù)的級數(shù)一、冪級數(shù)及收斂半徑：n=0∞an(z1、一個收斂半徑為R（≠0）的冪級數(shù)，在收斂圓內(nèi)的和函數(shù)f(∣zb∣?z?b?∣∣?<R0zf(z)dz=n=0∞lzan(zb)nd∣?z?b?∣∣?<R2、收斂半徑的計算方法1）比值法：R=n→∞∣?an?/an+1??∣∣?2）根值法：R=1/n→?二、泰勒（Taylor）級數(shù)1、如函數(shù)f(z)f(z)在圓域∣?z?b?∣∣?<R內(nèi)解析，那么在此圓域內(nèi)f(f(z)f(z)=n=0∞an(zb)n=∑n1）展開式是唯一的。故將函數(shù)在解析點的鄰域中展開冪級數(shù)一定是Taylor級數(shù)。2)收斂半徑是展開點到f(3）展開式的系數(shù)可以微分計算：an=fn(b4）解析函數(shù)可以用Taylor級數(shù)表示。2、記住一些重要的泰勒級數(shù)：1）11z=∑n=0∞zn1?3）sinz=n=0∞(1)n(2n+1)!z(三、羅蘭（Laurent）級數(shù)如果函數(shù)f(z)f(z)在圓環(huán)城R1∣?z?b?∣∣?<R2?內(nèi)解析，則f(z)f(z)=n=x∞cn(zb)nn=?x∑∞?cn?(z?b)ncn=11、展開式是唯一的，即只要把函數(shù)在圓環(huán)城內(nèi)展開為冪級數(shù)即為Laurent級數(shù)。2、展開式的系數(shù)是不可以利用積分計算。利用已知的冪級數(shù)，通過代數(shù)運算把函數(shù)展開成Laurent級數(shù)。3、注意展開的區(qū)域，在展開點的所有解析區(qū)域展開。四、孤立奇點1、定義：若b是f(z)f(z)的孤立奇點，則f(∣?z?b?∣∣?<δ內(nèi)解析。在此點f(z)f(z)可展開為羅蘭級數(shù)，f(z)f(z)=∑n=∞∞cn(zb)n=n=∞1cn(zb)n2、分類：孤立奇點{:,???可去奇點:無負(fù)冪項,Res[f(z),b]=0極點:有限負(fù)冪項本性奇點:無窮多負(fù)冪項,Res[f(z),b]=c?1??把函數(shù)在奇點的去心鄰域中展開為羅蘭級數(shù)，求解C-13、極點留數(shù)計算a)如果b是f(z)f(z)的一階極點，則Resb)如果b是f(Res[f(z),b]=1(m1)!z→bdc)如b是f(z)=P(z)Qd)Res[f(z)e)若z=∞z=∞是f(z)Res[f(z),∞]=C1關(guān)系：全平面留數(shù)之和為零。k=1∞Res[f(z)本章重點：函數(shù)展開成Taylor級數(shù)，并能寫出收斂半徑。函數(shù)在解析圓環(huán)城內(nèi)展開成Laurent級數(shù)。孤立奇點（包含z=第五章留數(shù)定理的應(yīng)用一、02πR(sin條件：（1）R(sin，cos)為cos與sin的有理函數(shù)（2）R(?)在[0，2]或者[-，]上連續(xù)。令z=eiθz=eiθ，則sinθ=zz12isinθ=2iz?z?1?02πR(sinθ,cosθ)dθ=∮∣z∣=1R(=2πik=1nRes∣?zk??∣∣?<1注意留數(shù)是計算單位圓中的奇點。二、∞∞f(x)dx∫條件：（1）f(x)=P(x)/Q(x)f(x?)=P(x（2）Q(x)≠0（3）分母階次比分子階次至少高二次則∞∞f(x)dx=2πiR=1nRes[f(三、∞∞R(x)eiαx條件：（1）R(x)=P(x)/Q(x)R(x?)=P(x?（2）Q(x)≠0Q(x?I=∞∞R(x)eiαxdx=2πi∞∞R(x)cos?αxdx=ReI重點關(guān)注第一和第三種類型第七章Fourier變換一、傅立葉變換F(ω)=∞∞f(x)ef(x)=12π∞∞F(二、δδ函數(shù)的傅立葉變換?[δ(x)]=∞∞δ(x)ejωxdx=1[δ(x?)三、一些傅立葉變換及逆變換?[H(x)]?1[1iω]=H四、性質(zhì)：?[f(x)]=F1、相似性質(zhì)?[f(ax)]=1a2、?[f(x±x0)]=?[e?jω0xf(x)]3、微分性質(zhì)???[f(n)(x)]=(jω)nF(ω)4、積分性質(zhì)?[x0xf(x)dx]=由Fourier變換的微分和積分性質(zhì)，我們可以利用Fourier變換求解微積分方程。四、卷積和卷積定理f1(x)?f2(x)=∞∞f1(τ?[f1(x)?f2(x)?[f1(x)f2(x)]=1＊五、三維Fourier變換及反演本章重點：利用定義計算Fourier變換第八章Laplace變換一、拉普拉斯變換?[f(x)]=0∞f(x)e二、幾個重要的拉普拉斯變換及逆變換?[H(t)]=1p[H(t?)?]=p1??[e±αt]=1p?α[e±αt?]=p?α1?[cosαt]=p/p2+α?[sinαt]=α/p2+α?[tm]=m!/p四、拉普拉斯變換的性質(zhì)1、?[f(tt0)]=ept0F2、?[e?p0tf(t)3、???[(t)nf(t)]=4、?[0tf(t)dt]=1?[f(t)tdt]=ρ∞五、卷積：1(t)?2(t)=0t1(τ)2(tτ)dτf1?[1(t)?2(t)]=1(p)2(p)[f1?六、Laplace反演f(t)=12πjβj∞β+j∞F(七、Laplace逆變換（1）部分分式法（2）卷積定理（3）Laplace反演公式（留數(shù)定理）（4）利用Laplace變換的性質(zhì)八、利用Laplace變