線性代數(shù)第二章,數(shù)學(xué)課件

2.3.1

逆矩陣§2.3逆矩陣

上一節(jié)我們定義了矩陣的加法、減法和乘法,那么對(duì)于矩陣是否也能定義除法呢?回答是否定的.但是我們可以換個(gè)角度去考慮這個(gè)問題.

在代數(shù)運(yùn)算中,如果數(shù)a≠0,其倒數(shù)a-1可由等式，

，

AE=EA=A,來(lái)刻畫.在矩陣的乘法運(yùn)算中,對(duì)于任意n階方陣A,都有這里單位矩陣E的地位與1在數(shù)的乘法中的作用非常相似.那么,對(duì)于n階方陣A≠O,是否存在n階方陣B,使得AB=BA=E呢?如果要存在這樣的方陣B,那么A要滿足什么條件?如何利用A把B求出來(lái)?為此引進(jìn)逆矩陣的概念.，

，

定義2.3.1

設(shè)A是n階方陣,若有一個(gè)n階方陣B,使得

AB=BA=E

（2.3.1）則B稱為A的逆矩陣,A稱為可逆矩陣,或非奇異矩陣.

注由定義可知,可逆矩陣一定是方陣,并且它的逆矩陣亦為同階方陣;定義中A與B的地位是等同的,所以B也是可逆矩陣,并且A是B的逆矩陣.，

，

下面研究在什么條件下方陣是可逆的,又如果A可逆,怎樣求A-1?

定義2.3.2

設(shè)A=(aij)n×n,Aij為的行列式|A|中元素aij的代數(shù)余子式,稱為矩陣A的伴隨矩陣.，

，

設(shè)A為n階矩陣,由定理1.3.1和定理1.3.2,

有同理

A*A=|A|E,，

，

于是得到方陣A與它的伴隨矩陣A*之間的重要關(guān)系式

定理2.3.2

n階方陣A可逆的充分必要條件是|A|0,且A可逆時(shí),有

（2.3.2）

（2.3.3）

其中A*為A的伴隨矩陣.

證必要性因?yàn)锳可逆,于是A-1存在,且，

，

這樣

|A||A-1|=|E|=1,因此|A|

O.

充分性

當(dāng)|A|

O時(shí),由式(2.3.2)得

于是矩陣A可逆,且證畢.，

，

解因?yàn)樗訟可逆.由于，

，

證因?yàn)锳B=E,所以|AB|=E=1,從而|A|≠0,|B|≠0.因此A,B都可逆.

由定理2.3.2,A-1,B-1存在.

在AB=E兩端左乘A-1,得A-1=B.同理B-1=A.

這個(gè)推論指出,對(duì)于n階方陣A,若存在n階方陣B,使得AB=E,則A,B可逆,且互為逆矩陣.在判斷矩陣可逆時(shí),該推論使用起來(lái)非常方便.

例2.3.2

設(shè)方陣A滿足A2+3A-2E=O,證明A+E可逆，并求(A+E)-1.

性質(zhì)1

若A可逆,則A-1可逆,且(A-1)-1=A.

證因?yàn)锳A-1=E，由定理2.3.2的推論可知A-1可逆,并且(A-1)-1=A.

性質(zhì)2若n階矩陣A,B都可逆,

則AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1.

證因?yàn)锳,B都可逆,所以A-1,B-1都存在.又因

由定理

2.3.2的推論,AB可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.

性質(zhì)2可以推廣到多個(gè)可逆矩陣的情形.

設(shè)A1,A2,…,Am均為n階可逆矩陣,則A1A2…Am也可逆,并且

性質(zhì)3

若A可逆,則|A-1|=|A|-1.

證因?yàn)锳A-1=E，所以|A||A-1|=1.于是|A-1|=|A|-1.

性質(zhì)4

若A可逆,則(AT)

-1=(A-1)T.

證因?yàn)锳T(A-1)T=

(A-1A)T

=ET=E,由定理2.3.2的推論知,AT可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.

性質(zhì)5

若A可逆,數(shù)k≠0,則

性質(zhì)6

若A可逆,且AB=O,則B=O.

性質(zhì)7

若A可逆,且AB=AC,則B=C.

最后三個(gè)性質(zhì)由讀者完成.

我們知道,在矩陣乘法中,若AB=O,則一般不能推出A或B中至少有一個(gè)為零矩陣.但性質(zhì)6說明,若AB=O,當(dāng)A、B中有一個(gè)為可逆矩陣時(shí),另一個(gè)矩陣必為零矩陣.性質(zhì)7說明,對(duì)于可逆矩陣而言,矩陣乘法消去律成立.，

，

例2.3.3

設(shè)A為n階可逆矩陣,證明:A的伴隨矩陣A*可逆,并且

證由式(2.3.2)AA*=A*A=|A|E.因?yàn)榫仃嘇可逆,所以A*=|A|A-1.又因?yàn)?可逆,故A*可逆,且

利用矩陣的逆,可以給出第一章中克萊姆法則的另一種證法.由矩陣乘法,非齊次線性方程組（1.4.1）可寫為

AX=b(2.3.4)其中

A=(aij)n×n為線性方程組的系數(shù)矩陣,

當(dāng)|A|=D≠0時(shí),矩陣A可逆,用A-1左乘式（2.3.4）兩邊,得即（2.3.5），

，

AX=b，

解方程組的矩陣形式為其中由于

從而A可逆,應(yīng)用式（2.3.5）,有于是方程組的解為x=-2,y=3,z=1.

例2.3.4

解矩陣方程2X=AX+B,其中

2.3.2

正交矩陣

前面所討論的矩陣都是在任意給定的一個(gè)數(shù)域P上進(jìn)行的,本小節(jié)將介紹一種在實(shí)數(shù)域R上定義的重要矩陣--正交矩陣.

定義2.3.3

設(shè)A為實(shí)數(shù)域R上的方陣,如果它滿足AAT=ATA=E,則稱A為正交矩陣.

例如，

，

(4)正交矩陣的每行(列)元素的平方和等于1,不同兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素乘積之和等于0.

證這里僅證性質(zhì)(3)和(4)，其余由讀者完成.

（3）由于A,B是正交矩陣,所以AAT=E,BBT=E，從而(3)若A、B是同階正交矩陣,則AB也是正交矩陣;

即AB為正交矩陣.，

，

根據(jù)矩陣乘法與矩陣相等的定義,有

(4)設(shè)A=(aij)n為正交矩陣,則同理可證，

，

性質(zhì)4