探討初中數學動點問題的解題策略

探討初中數學動點問題的解題策略

沈丹【摘要】數學一直被稱作是科學之王，是一切知識的最高形式。初中數學包含方程、函數、幾何等豐富內容，對很多學生來講，復雜且抽象，學起來很吃力。動點問題是初中數學函數題型中常見的問題，存在一定的難度。在動點問題的學習上，很多學生都有畏難心理，教師在進行相關的教學時，可以把問題拆分為幾個小問題，從淺到深，化動為靜，使學生逐步掌握動點問題的解決方式?！綤ey】初中數學;動點;解題策略G633.6

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1671-8437（2020）28-0174-02動點問題是一類開放性題型，具有較強的靈活性，在解題時需要把握好動點問題的解題思路，將問題主體拆分成若干個小問題，由淺入深，層層遞進，將一切動點問題靜點化，通過動中取靜和動靜互換的方式確定題中變量間的關系、把握運動位置、構建函數關系，以此探尋解決問題的思路和辦法。動點問題對培養(yǎng)學生的動態(tài)思維具有重要幫助，借助該思維方式，學生可以有效地解決數學中的類似問題，提升分析和解決問題的能力。1

明確問題中變量與不變量之間的關系動點問題的解決需要借助空間想象力，學生要想象問題中的動點，在“動”中求“靜”，教師要在課堂上給學生演示，讓學生理解變量和不變量之間的關系[1]。在解決動點問題時，學生需要找出條件中變量與不變量之間的關系，確定圖形運動中變量與不變量之間的關系，從而找到有效的解決方法。明確問題中的變量和不變量關系的解題方法，可以讓學生迅速在腦海進行解決問題的構想，選擇適合解決問題的方法，從而有效地提高解題的正確率。2

構建圖形中變量的函數關系很多解題方法是通過動點運動軌跡來解題，如一只螞蟻從點出發(fā)，均勻繞扇形的一端一周，螞蟻爬行的時間為，螞蟻到點的距離為，計算的函數圖象。分析：→的運動過程中，螞蟻到點的距離隨著爬行時間的增加而增加;→的運動過程中，螞蟻到點的距離幾乎不變;→的運動過程中，螞蟻到點的距離隨爬行時間的增大而縮小。用這種思維方式思考問題可以解答很多相似的題，如移動點和點、點組成的的形狀面積如何變化？3

二次函數的動點問題在中學數學中，二次函數的動點問題難度較大，很多學生在學習過程中遇到頗多困難。通過一個動點，將幾何圖形與二次函數有機結合，解這類題需要具有嚴謹的邏輯思維和較強的理解能力[2]。充分把握二次函數的動點知識，既能讓已學知識得到有效鞏固，還能提高思維能力，提高答題的準確率。數學是一門抽象且復雜的學科，不僅需要學生具有強大的空間、邏輯思維，還要求學生全面提高對數學知識的理解能力及數學計算能力。然而，部分學生并沒有很好地掌握該知識點，也不能熟練地運用這個知識點，這就需要教師提高課堂質量，讓學生在學習二次函數的動點問題的時候不那么困難。另外，教師的單一教學方式也是問題之一，數學的靈活性很強，很多數學題都有不同的解法，部分教師在上課時不僅缺乏多種方法，還缺乏引導學生去探索另一種解法的鼓勵。要想提高學生的數學能力，教師就要進行多元化教學，培養(yǎng)學生的多種解題思維。在學習動點的時候，學生需要努力，教師也需要努力，應該激發(fā)學生的積極性，讓學生有勇氣面對動點難題，提高學習效率。4

把握運動中的特殊位置在利用動點求一個值或者一個圖形時，學生應該注意動點運動的位置和規(guī)律，把運動軌跡連接起來，捕捉圖形運動變化所隱藏的靜態(tài)瞬間，將一般的問題特殊化，尋求動與靜的內在關系。在動點問題上，就像探索二次函數的性質一樣，為了說明這部分的知識，傳統(tǒng)的教法是這樣的：首先取5個以上的動點，在練習本上畫圖象，然后研究二次函數的性質。在新教材中，可調整這里的部分知識，有效地融合幾何畫板和數學教學，在教室里進行二次函數圖象的幾何畫板授課[3]。5

動點問題的解題策略與措施5.1

靈活運用知識點，探索多種解題方法數學問題的魅力在于其沒有一種固定的解題思路，教師在教學中必須改變固有的思考方式，采取多元化的教學方法，明確地反映客觀事實，幫助學生迅速、有效地理解其中的知識點。如果一板一眼地上課，學生遲早會感到厭倦。如針對初中函數的常見問題：如何把二次函數的圖象移動到的圖象的位置？看到問題后可以先作圖，然后根據“左加右減”的法則，將向左平移2個單位變成，再根據“上增下減”的法則，將“+2”變?yōu)椤?3”，必須將整個函數的圖象向下平移5個單位。所以，答案是先向左移動2個單位，再往下移動5個單位。通過從不同角度思考問題來鍛煉思維。5.2

聯(lián)系生活用輔助工具解題生活中，有很多常見的東西可以讓人聯(lián)想到動點，利用生活中的事物輔助學生答題，能夠讓學生更加容易理解。對此，教師應在上課前做好充足準備，選用更加生活化的題，在準備教案時考慮學生的特性，使其掌握二次函數動點問題的整體內容。另外，教師也可以在課堂中將數學知識與生活聯(lián)系，幫助學生更加形象地理解函數。如與幾何圖形結合，讓學生更加直觀地看到動點移動的軌跡，更加直觀、方便地找出其中的數學規(guī)律，從而有效地完成解答。5.3

引導探究，化復雜為簡單函數本身是很難理解的，在教授二次函數問題時，教師要盡量選擇科學、恰當、通俗易懂的授課方式，簡單、直觀地教授學生。如在教授函數知識時，教師可以先把一條直線上兩點之間的距離用代替，把復雜的坐標用數字標出來，方便學生直觀理解，然后列舉出一些組數值（注意選擇簡單、有特點的數值），讓學生看到函數值的變化。如是二次函數的一般式，是帶有二次函數根的表達式。教師可以利用不同的教授方法，引導學生掌握多種多樣的思考方法，提高解題能力。6

動點問題的解法在初中數學學習中，經常會遇到題目中有這樣一句話“加上，沿著某條線運動”，這樣的問題叫做“動點問題”。動點問題與一般的幾何問題不同，其圖形形狀會隨著動點的運動發(fā)生變化。學生在遇到這樣的問題時經常在兩個地方出問題：一是不知道問題是什么;二是無法理解題目的意思。那么，要怎樣避免這樣的問題呢？在這里，筆者分享一下關于動點的學習經驗。如題：在直角梯形中，、B=90°、=16cm、=6cm、=24cm，動點從點開始沿邊向點以1cm/s的速度運動，動點從點開始沿邊向點以4cm/s的速度運動，若、分別從點、同時出發(fā)，當其中一點達到端點時，另一點也隨之停止運動。設運動時間為秒。（1）當為何值時，四邊形是平行四邊形？（2）四邊形有可能是菱形嗎？（3）當為何值時，四邊形是直角梯形？（4）是否存在，使得四邊形是等腰梯形？針對這個例題，按照上述步驟進行嘗試。解析：（1）點和點為動點，剩下的點為定點。點運動的起點是點，終點是點，方向是從到，速度是1cm/s;點運動的起點是點，終點是點，方向是從到，速度是4cm/s?？梢钥吹絻蓚€點中，點的速度很快。另外，這里需要特別注意，點從移動到需要16秒，點從移到只需要6秒。條件是“其中一點到達終點后，另一個要點就是停止運動”，所以，題中總共的運動時間最多是6秒。（2）表示線段。運動時間為時，=、=4、=16-、=24-4、=6、=10。（3）列方程式。這里利用幾何圖形本身的性質，找出其中的等量關系，排列公式。等邊：=16-=4=3.2。菱形：四邊相等，===，即=3.2，所以=12.8，但==10，矛盾，故不可能形成菱形。直角梯形：根據四邊形為矩形，矩形的對邊也相等，得==24-4，即=4.8。等腰梯形：等腰梯形的高度，基于兩個三角形的聯(lián)合。分別過點、做邊上的垂線，垂足分別為、，=-（24-4）=24-16=6。檢驗結果，發(fā)現(xiàn)結果超過了6，去除。所以，不能形成等腰梯形。綜上所述，對于初中數學中的動點問題，教師需要研討出更多的方法，引領學生主動探索和研究，使學生多接觸和了解一些動點題型，積累經驗，這樣在解題的時候，學生才可能想出更多的解答方法。教師也要多鍛煉學生從不同角度、維度思考問題的習慣，提高其舉一反三的