2021-2022學(xué)年山西省渾源縣高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)滿足，設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示．將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個(gè)坐位的寬度()，每個(gè)座位寬度為，估計(jì)彎管的長度，下面的結(jié)果中最接近真實(shí)值的是（）A． B． C． D．3．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．84．在直角中，，，，若，則（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)，，則（）A． B． C． D．6．如圖所示，正方體的棱，的中點(diǎn)分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為A．-40 B．-20 C．20 D．408．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的值域是；②函數(shù)為奇函數(shù)；③函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；④若對任意，都有成立，則的最小值為；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．10．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．11．《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現(xiàn)在有一根金箠，長五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在細(xì)的一端截下一尺，重斤，問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設(shè)，假設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次成等差數(shù)列，則從粗端開始的第二尺的重量是（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤12．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A．12 B．11 C．6 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)，且由的最大值是_________14．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為__________．15．已知平面向量，，且，則向量與的夾角的大小為________．16．在中，，是的角平分線，設(shè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)，，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）對，證明：恒為定值．18．（12分）已知，求的最小值.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)求的長；(2)在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求點(diǎn)到線段中點(diǎn)的距離.20．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，，證明：21．（12分）設(shè)函數(shù)，，（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)（1,0）處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍．22．（10分）聯(lián)合國糧農(nóng)組織對某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：年份20102012201420162018需求量（萬噸）236246257276286（1）由所給數(shù)據(jù)可知，年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系，我們以“年份—2014”為橫坐標(biāo)，“需求量”為縱坐標(biāo)，請完成如下數(shù)據(jù)處理表格：年份—20140需求量—2570（2）根據(jù)回歸直線方程分析，2020年聯(lián)合國糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬噸，問是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：若，則，即成立，若，則由，得，則“”是“”的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．B【解析】

為彎管，為6個(gè)座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對的圓心角，再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示，為彎管，為6個(gè)座位的寬度，則設(shè)弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認(rèn)為，即于是，長所以是最接近的，其中選項(xiàng)A的長度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式，需熟記公式，考查了學(xué)生的分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

畫出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.4．C【解析】

在直角三角形ABC中，求得，再由向量的加減運(yùn)算，運(yùn)用平面向量基本定理，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡計(jì)算即可得到所求值．【詳解】在直角中，，，，，

，

若，則故選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．B【解析】分析：利用的恒等式，將分子、分母同時(shí)乘以，化簡整理得詳解：，故選B點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的?？紗栴}，屬于得分題，主要考查的方面有：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在運(yùn)算時(shí)注意符號的正、負(fù)問題.6．C【解析】

以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值．【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則，，，取平面的法向量為，設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為θ，則sinθ＝|，直線與平面所成角的正弦值為.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．7．D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項(xiàng)，由5-2r=1得r=2,對應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=80，由5-2r=-1得r=3,對應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=-40，故所求的常數(shù)項(xiàng)為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個(gè)因式相乘，若第1個(gè)括號提出x,從余下的5個(gè)括號中選2個(gè)提出x，選3個(gè)提出；若第1個(gè)括號提出，從余下的括號中選2個(gè)提出，選3個(gè)提出x.故常數(shù)項(xiàng)==-40+80=408．C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).9．C【解析】

化的解析式為可判斷①，求出的解析式可判斷②，由得，結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③，由得可判斷④.【詳解】由題意，，所以，故①正確；為偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故③正確；若對任意，都有成立，則為最小值點(diǎn)，為最大值點(diǎn)，則的最小值為，故④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容，是一道較為綜合的問題.10．A【解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進(jìn)行排除即可．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，恒成立，排除，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)，，排除，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11．B【解析】

依題意，金箠由粗到細(xì)各尺重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則，由此利用等差數(shù)列性質(zhì)求出結(jié)果．【詳解】設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次所成得等差數(shù)列為，設(shè)首項(xiàng)，則，公差，.故選B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．B【解析】

畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后轉(zhuǎn)化求解，即可得出結(jié)果．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，令，由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個(gè)或三個(gè)（時(shí)有三個(gè)，時(shí)有兩個(gè)），所以關(guān)于的方程只能有一個(gè)根（若有兩個(gè)根，則關(guān)于的方程有四個(gè)或五個(gè)根），由，可得的值分別為，則故選B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后根據(jù)最值的條件求出最大值【詳解】由化簡得，又實(shí)數(shù)，圖形為圓，如圖:，可得，則由幾何意義得，則，為求最大值則當(dāng)過點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)取最小值，可得所以的最大值是【點(diǎn)睛】本題考查了二元最值問題，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，得到圓的方程及斜率問題，對要求的二元二次表達(dá)式進(jìn)行化簡，然后求出最值問題，本題有一定難度。14．【解析】試題分析：根據(jù)題意，記白球?yàn)锳，紅球?yàn)锽，黃球?yàn)椋瑒t一次取出2只球，基本事件為、、、、、共6種，其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種；所以所求的概率是．考點(diǎn)：古典概型概率15．【解析】

由，解得，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，所以，所以向量與的夾角的大小為．都答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，平面向量垂直，向量夾角等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16．【解析】

設(shè)，，，由，用面積公式表示面積可得到，利用，即得解.【詳解】設(shè)，，，由得：，化簡得，由于，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形綜合，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）1（2）1【解析】分析：（1）當(dāng)時(shí)可得，可得.（2）先得到關(guān)系式，累乘可得，從而可得，即為定值．詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，又，所以.（2）即，由累乘可得，又，所以．即恒為定值1．點(diǎn)睛：本題考查組合數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，解題時(shí)要注意所給出的的定義，并結(jié)合組合數(shù)公式求解．由于運(yùn)算量較大，解題時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤．18．【解析】

討論和的情況，然后再分對稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系，最后求出最小值【詳解】當(dāng)時(shí)，，它在上是減函數(shù)故函數(shù)的最小值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象思維對稱軸方程為當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最小值為當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最小值為當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最小值為綜上，【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題。19．（1）;（2）.【解析】

（1）將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，由點(diǎn)到直線距離公式可求得圓心到直線距離，結(jié)合垂徑定理即可求得的長；（2）將的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，求得直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，化為直角坐標(biāo)方程為，即直線與曲線交于兩點(diǎn).則圓心坐標(biāo)為，半徑為1，則由點(diǎn)到直線距離公式可知，所以.（2）點(diǎn)的極坐標(biāo)為，化為直角坐標(biāo)可得，直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，化簡可得，解得，所以兩點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，由兩點(diǎn)間距離公式可得.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線距離公式應(yīng)用，兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，直線與圓交點(diǎn)坐標(biāo)求法，屬于基礎(chǔ)題.20．（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).見解析（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；（Ⅱ）求導(dǎo)，，由于在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，，求出，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點(diǎn)，即可證明出.【詳解】解：（Ⅰ），，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，在區(qū)間上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，在區(qū)間上唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，；在區(qū)間上唯一零點(diǎn)；綜上可知，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).（Ⅱ），，由（Ⅰ）知在無極值點(diǎn)；在有極小值點(diǎn)，即為；在有極大值點(diǎn)，即為，由，即，，2…，，，，，，以及的單調(diào)性，，，，，由函數(shù)在單調(diào)遞增，得，，由在單調(diào)遞減，得，即，故.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，通過導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題和證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.21．（1）（2）【解析】分析：(1)先斷定在曲線上，從而需要求，令，求得結(jié)果，注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，接著應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線的方程；(2)先將函數(shù)解析式求出，之后借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值.詳解：（Ⅰ）當(dāng)，.，當(dāng)，，所以切線方程為.（Ⅱ）,,因?yàn)?，所?令，，則在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在上增，在單調(diào)遞增.,,因?yàn)?，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程的求法，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)在給定區(qū)間上的最值等，在解題的過程中，需要對公式的正確使用.22．（1