數(shù)值分析-課件4-數(shù)值積分

數(shù)值積分是數(shù)值計(jì)算的重要部分，它是求定積分的一種近似方法,具有實(shí)際意義.§4.1數(shù)值積分的一般概念數(shù)值求積公式如下形式的數(shù)值求積公式(4.1.1)稱為求積公式的余項(xiàng).Hi

f

(xi

)nbI

(

f

)

f

(x)dx

ai0E(f

)

稱為機(jī)械求積公式.其中Hi(i=0,1,2,…n)稱為求積系數(shù)，xi(i=0,1,2,…n)稱為求積節(jié)點(diǎn).n(4.1.2)i

0f

(x)dx

Hi

f

(xi

)ba數(shù)值積分問題可分解為如下三個(gè)問題:精確性程度的衡量標(biāo)準(zhǔn)問題；求積公式具體構(gòu)造問題；

(3)余項(xiàng)估計(jì)問題.求積公式的代數(shù)精度定義

若求積公式(4.1.1)對(duì)所有次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式都精確成立，而對(duì)于某個(gè)m+1次多項(xiàng)式不能精確成立，則稱此求積公式具有m次代數(shù)精度（或稱該公式是m階的）.上述定義等價(jià)于：若求積公式(4.1.1)對(duì)f(x)=1,x,x2,…,xm均精確成立，而對(duì)f(x)=xm+1不精確成立,則稱此求積公式具有m次代數(shù)精度（或稱該公式是m階的）.代數(shù)精度的概念是衡量求積公式精確性的標(biāo)準(zhǔn).插值型求積公式求積系數(shù)n以給定互異點(diǎn)x0,x1,…,xn

為插值節(jié)點(diǎn),作f(x)的n次插值多項(xiàng)式φn(x),把φn(x)寫成Lagrange插值多項(xiàng)式的形式Ln

(x)

li

(x)

f

(xi

)i0nf

(x)dx

bbi

iaa(

l

(x)dx)

f

(x

)i0iib

l

(x)dx,(i

0,1,2,,

n)aH

對(duì)于求積公式如果求積系數(shù)(4.1.3)則稱(4.1.1)為插值型求積公式.其余項(xiàng)若公式(4.1.1)是插值型求積公式，則它至少具有n次代數(shù)精度.nf

(x)dx

Hi

f

(xi

)i0badxnbbjiil

(x)dx

aaijj

ix

xH

j

0

x

xf

(n1)

()(n

1)!

pn1

(x)dxE(

f

)

ba反之，若求積公式(4.1.1)至少具有n次代數(shù)精度，因lk(x)Mn, k=0,1,2,,n.求積公式(4.1.1)對(duì)lk(x)精確成立，即綜上有定理求積公式(4.1.1)至少具有n次代數(shù)精度的充分必要條件是它是插值型的.Hilk

(xi

)

Hk

,

k

0,1,

2,,

nni0bkl

(x)dx

a§4.2

Newton-Cotes公式Newton-Cotes公式求積系數(shù)n將區(qū)間[a,b]n等分，其分點(diǎn)為xi=a+ih

，i=0,1,2,,n

，h=(b-a)/n，以這n+1個(gè)等距分點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn),作n次插值多項(xiàng)式Ln

(x)

f

(xi

)li

(x)i0f(x)dx

(nbbli

(x)dx)

f

(xi)i0aa(i

0,1,2,,

n)iiabH

l

(x)dx,Newton-Cotes系數(shù)作變量替換x=a+th，于是記C(n)(4.2.1)稱為則—柯（Newton-Cotes）系數(shù).Hi=(b-a)Ci

(n)(4.2.1)b

b

(x

x0

)(x

x1)(x

xi1

)(x

xi1

)(x

xn

)dx(xi

x0

)(xi

x1)(xi

xi1

)(xi

xi1

)(xi

xn

)0t(t

1)(t

i

1)(t

i

1)(t

n)dt(1)ni

h

ni!(n

i)!iiaaH

l

(x)dx

(1)nin

i!(n

i)!0

j

0j

iin

n

(t

j)dt, (i

0,1,2,,

n)Newton-Cotes公式(4.2.3)稱等距節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式(4.2.3)為n階—柯

（Newton-Cotes）公式.i

0baf

(x)dx

(b

a)nC

(n

)

f

(x

)i

i當(dāng)n=1時(shí),Newton-Cotes公式(4.2.3)為梯形求積公式(4.2.4)H0=

H1

=(b-a)/2,

C0=

C1=1/2幾何意義:用梯形面積近似代替曲邊梯形面積.當(dāng)n=２時(shí), Newton-Cotes公式(4.2.3)為拋物線(Simpson)求積公式(4.2.5)H0=H2=(b-a)/6,

H1=2(b-a)/3,

C0=C2

=1/6,

C1

=2/32bab

af

(x)dx

[

f

(a)

f

(b)]

Tf

(x)dx

62bab

a

a

b

f

(a)

4

f

f

(b)

S

當(dāng)n=4時(shí),Newton-Cotes公式(4.2.3)為Cotes公式公式(4.2.6)H0=H4=7(b-a)/90,H1=H3=32(b-a)/90,

H2=12(b-a)/90,C0=C4=7/90,

C1=C3=32/90,

C2=12/90.其它情形可通過查Cotes系數(shù)表，給出具體公式.0

1

2

3

490b

b

af

(x)dx

[7

f

(x

)

32

f

(x

)

12

f

(x

)

32

f

(x

)

7

f

(x

)]aNewton-Cotes公式的收斂性定理對(duì)于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes公式的定理如果當(dāng)n時(shí),與插值型求積公式(4.1.1)相應(yīng)的數(shù)列無限放大，則有函數(shù)f(x)C[a,b]，使得數(shù)列此定理說明Newton-Cotes公式并不總是收斂于積分的真值.nk

0求積系數(shù)Hk,當(dāng)n時(shí),數(shù)列

Hk無限放大.nk

0

Hk(n

1,2,

3,)n

Hk

f

(xk

)k

0f

(x)dxba不收斂于Newton-Cotes公式的數(shù)值穩(wěn)定性設(shè)精確值為f(xj)的計(jì)算值為

f(

xi

)

，且那么這時(shí)數(shù)值計(jì)算是不穩(wěn)定的.f

(

xi

)

f(xi

)

,i

0,1,

2,,

n.n

n

n

Hi

f

(xi

)

Hi

f(xi

)

Hii0

i0

i0ni0f

(xi

)

f(xi

)

Hii0若每個(gè)Hi

(i=0,1,2,,n)都為正,則n

n

n

Hi

f

(

xi

)

Hi

f(xi

)

Hi

(b

a)i0

i0

i0這時(shí)數(shù)值計(jì)算是穩(wěn)定的.n若Hi

有正有負(fù),則

Hi

b

a

且隨n的增大無限放大，當(dāng)n=8時(shí)，Newton-Cotes公式中求積系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù).實(shí)際計(jì)算并不用高階Newton-Cotes公式，一方面余項(xiàng)含高階導(dǎo)數(shù)；另一方面其收斂性、穩(wěn)定性都差.Newton-Cotes公式的代數(shù)精度對(duì)于n階的Newton-Cotes公式當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，至少具有n次代數(shù)精度；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，至少具有n+1次代數(shù)精度.梯形求積公式的代數(shù)精度為1.拋物線求積公式的代數(shù)精度為3Newton-Cotes公式的余項(xiàng)對(duì)于n階的Newton-Cotes公式當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，若f(x)Cn+1[a,b],則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若f(x)Cn+2[a,b],則f

(n1)

()pn1

(x)dx,

(a,b)E(

f

)

(n

1)!baf

(n2)

()n1E(

f

)

xp

(x)dx,

(a,b)(n

2)!ba梯形求積公式的余項(xiàng)定理１

若f(x)C2[a,b]

,則梯形求積公式有余項(xiàng)估計(jì)(4.2.7)2

12TE

(

f

)

f

(x)dx

b

a

[

f

(a)

f

(b)]

(b

a)3baf

(

)

(a,b)證由插值余項(xiàng)定理等式兩邊積分得由于f(x)C2[a,b]，且(x-a)(x-b)在[a,b]上非正(不變號(hào)),故根據(jù)積分中值定理知,至少存在一點(diǎn)(a,b),使(a,b)21知f

(x)

L

(x)

1

f

()(x

a)(x

b)2TaE

(

f

)

1

b

f

()(x

a)(x

b)dx2112bTaE

(

f

)

1

f

(

)(x

a)(x

b)dx

3(b

a)

f

()拋物線求積公式的誤差定理２

若f(x)

C4[a,b]

,則拋物線求積

(b

a)5(

4)62b公式有余項(xiàng)估計(jì)Es

(

f

)

a

f

(x)dxb

a

a

b

f

(a)

4

f

(()

(a,b))

f

(b)

(4.2.8)2880

f證拋物線求積公式的代數(shù)精度為3,為此構(gòu)造三次多項(xiàng)式P3(x)，滿足

P3(a)=f(a),則等式兩邊從a到b積分得由于P3(x)是三次多項(xiàng)式，故拋物線求積公式對(duì)它準(zhǔn)確成立，即2233

3P

(

a

b

)

f

(

a

b

),

P

(b)

f(b),

P

(

a

b

)

f

(

a

b

)214!2(a,b)2a

b

)2

(x

b)(

4)f

()(x

a)(x

3f

(x)

P

(x)

32b

b1ba

bf

(x)dx

P

(x)dx

a

af

(4)

()(x

a)(x

)2

(x

b)dx4!

a非正(不變號(hào)),故根據(jù)積分中值定理知,至少存在一點(diǎn)(a,b),使

b

a

[

f

(a)

4

f

(

a

b

)

f

(b)]6

2這樣6

23

33

3ab

P(x)d

x

b

a

[P(a)

4P

(

a

b

)

P

(b)]4!

2saE

(

f

)

1bf

(

4)

()(x

a)(x

a

b

)2

(x

b)dx2由于f(x)C4[a,b]

，且(x

a)(x

a

b

)2

(x

b)

在[a,b]上(4)

(b

a)5f

(4)

()14!22880sE

(

f

)

af

()

b

(x

a)(x

a

b

)2

(x

b)dx復(fù)化Newton-Cotes公式復(fù)化梯形求積公式將區(qū)間[a,

b]n等份，其分點(diǎn)為xi=a+ih

(i=0,1,2,…n),h=(b-a)/n.在每個(gè)小區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,2,…n-1),上利用梯形求積公式則(4.2.9)為復(fù)化梯形求積公式.xk

1

xk2[

f

(xk

)

f(xk

1

)]f

(x)

d

xkxxk

1

x

k

1

k

2f(x)

d

x

2kbxk

1kk1[

f

(x

)

f

(x

)]axn1n1

xk

0

k

0nk

1n1

h

[

f

(a)

f

(b)

2

f

(a

kh)

Tf

(x)

d

x

f

(a

kh)2稱

nhn1T

[

f

(a)

f

(b)

2k

1將區(qū)間[a,

b]2n等份,得復(fù)化梯形求積公式其中n12nkk

11k

2[

f

(x

)

2

f

(x

)

f

(x

)]4

k

0hT

22n

nnT

1

(T

U

)n1k

Un

h

f(x

1

)k

0

2復(fù)化梯形求積公式的誤差定理３

若f(x)

C2[a,b]

,則(4.2.10)證由于f(x)C2[a,b]，利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知存在一點(diǎn)[a,b],使這樣2b

a12bnE(

f

;T

)

nf

(x)dx

T

ah f

(),

(a,b)212k

03

n1

h

f

(k)kbE(

f

;Tn

)

naxxk

1n1k

0f

(x)

d

x

T

{kk k

1

(x

,

x

)hf

(x)

d

x

[

f(xk

)

f

(xk

1)]}212bnnaE(

f

;T

)

f

(x)dx

b

aT

h

f

(),

[a,b]n

k

0(

)n11

f

(k)

f即復(fù)化梯形求積公式是收斂的Tn的求積系數(shù)均為正，故是數(shù)值穩(wěn)定的.bannlimT

f

(x)dx復(fù)化拋物線求積公式將區(qū)間[a,

b]n等份，其分點(diǎn)為xi=a+ih

(i=0,1,2,…n),h=(b-a)/n.在每個(gè)小區(qū)間[xk,xk+1](k=0,1,2,…n-1),上利用拋物線求積公式則(4.2.11)稱為復(fù)化拋物線求積公式.26k k

1k

1xk1f

(x)

d

x

x

xk

1

k[

f

(x

)

4

f

(x

)

f

(x

)]xkbn112h

n1k

0f

(x)

d

x

f

(x)

d

x

66n1k

2k

0k

1n1h [

f

(a)

4

f

(x1

)

2

f

(xk

)

f

(b)]

Snkaxxk

1k

k

0[

f

(x

)

4

f

(x)

f

(xk

1)]k(4.2.12)復(fù)化拋物線求積公式的誤差定理４若f(x)

C4[a,b],則(4.2.13)3

3n

nnS

1

T

2

U

4T2n

Tn4

1nS2880nf

(x)

d

x

Sn

ab(b

a)E(

f

;

S

)

h4

f

(4)

(),(a,

b)即復(fù)化梯形求積公式是收斂的Sn的求積系數(shù)均為正，故是數(shù)值穩(wěn)定的.f

(x)dxbnanlim

S

(4.2.14)其余項(xiàng)為(4.2.15)n1k

4k

1h90Cn

復(fù)化Cotes公式n1n1k

4k

2k

1k

0n1[7

f

(a)

32

f

(xk

01

)

12

f

(x1

)

32

f

(x3

)

14

f

(xk

)

7

f

(b)]945

4nnb

2(b

a)

hE(

f

;C

)

f

(x)

d

x

C

( )6

f

(6)

(),[a,b]a42n復(fù)化Cotes公式是收斂的、數(shù)值穩(wěn)定的.C

42

S2n

Sn1例用梯形求積公式和Simpson公式計(jì)算積分10e

dx

,并估計(jì)誤差.

x解記a=0,b=1,f(x)=e-x

,則f

'(x)=-e-x

f''(x)=e-x

,f'''(x)=-e-x

,

f(4)(x)=e-xT

b

a

[

f

(a)

f

(b)]

1

0

(e0

e1

)

0.683

939

722f

()

1

e

,

(0,1)12

12(b

a)3TE

(

f

)

12TE

(

f

)

1

0.083

333

1

0

(e0

4e0.5

e1

)

0.632

333

762S

b

a

f

(a)

4

f

a

b

f

(b)6

(b

a)51SE

(

f

)

28801(4)e

,

(0,1)2880f

()

0.000

347

22880SE

(

f

)

推導(dǎo)下列矩形求積公式：(1)(2)兩邊在[a,b]上積分，得由于x-a在[a,b]上不變號(hào)，故有[a,b],使從而得212baf

(x)dx

(b

a)

f

(a)

f

()(b

a)32baa

b

124f

(x)dx

(b

a)

f

( )

f

()(b

a)解(1)將f(x)在a處展開，得f

(x)

f

(a)

f

()(x

a),(a,

x)b

bbaaf

(x)dx

abaf

(a)dx

f

()(x

a)dxf

(

(b

a)

f

(a)

)(x

a)dxb

baaf

(x)dx

(b

a)

f

(a)

f

() (x

a)dx21baf

(x)dx

(b

a)

f

(a)

f

(2)(b

a)

,

[a,b]將f(x)在(a+b)/2處展開，得f

(x)

f

(

a

b

)

f

(

a

b

)(x

a

b

)

1

f

()(x

a

b

)22

2

2

2

2兩邊積分，得b(a,

b)a

b

)2

dx212a

b)dx

bbaaa

b

a

b2

2

2a)

f

(

) (x

f

(x)dx

(b

a)

f

(f

()(x

bbaaa

b

12

2)

f

(

) (x

2)

dxa

b2(a,b)2f

(x)dx

(b

a)

f

(由于(x

a

b

)2

在[a,b]上不變號(hào)，故有(a,b),使

(b

a)

f

(

a

b

)

12

24f

()(b

a)3

,例利用Hermite插值公式推導(dǎo)帶有導(dǎo)數(shù)值的求積公式解

作三次多項(xiàng)式H(x)滿足如下插值條件：則且其中f

(

4)

(2

12

720bab

a

(b

a)2(b

a)5f

(x)dx

f

(a)

f

(b)

f

(a)

f

(b)

),

(a,b)H

(a)

f

(a),

H

(b)

f

(b),

H

(a)

f

(a),

H

(b)

f

(b)H

(x)

f

(a)h0

(x)

f

(b)h1(x)

f

(a)h0

(x)

f

(b)h1(x)f

(x)

H

(x)

(a,b)4!f

(4)

()(x

a)2

(x

b)2

,01

x

b

2

x

a

2b

a

a

b

2(x

a)

x

b

2

,h

(

x)

(x

a),

h

(x)

(x

b)a

b

b

a

h0

(

x)

1

2(x

b)

x

a

2h1(x)

1

a

bb

a

直接計(jì)算得01h

(x)dx

22b

a

,

b

h

(x)dx

b

abaa0112b

(b

a)2h

(x)dx

,12b

(b

a)2h

(x)dx

aaf

(4)

()4!f

(4)

()(x

a)2

(x

b)2

dx

4!bb(x

a)2

(x

b)2

dxaa

(b

a)5f

(4)

(),(a,b)7200104!f

(4)

()

(x

a)

(x

b)

dx2

22

12bbbbaaf

(x)dx

f

(a)

h

(x)dxaabba

a

f

(b)

h1

(x)dx

f

(b)

h

(x)dx

f

(a)

h

(x)dxb

a

[

f

(a)

f(b)]

(b

a)

2

[

f

(a)

f

(b)]

(b

a)5(4)f

(),

(a,b)720例若用復(fù)化梯形求積公式求的近似值，問要將積分區(qū)間[0,

1]分成多少等份才能保證計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字？若用復(fù)化拋物線求積公式呢？01

xe

dx解記f(x)=e-x

，則f(x)=f(4)(x)=e-x

.的真值具有零位整數(shù)，所以要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，即要求復(fù)化梯形求積公式的誤差滿足由于b-a=1,

h=(b-a)/n=1/n

,所以要使只要，開平方得，n≥40.8,取n=41.01

xe

dx1112

12n2

12n2

2(b

a)E(

f

;Tn

)

h2e

f

()

1

104n2

1

10462nE(

f

;T

)

1

104因此，若用復(fù)化梯形公式求的近似值，必需將區(qū)間[0,1]分成41等分才能保證計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字.若用復(fù)化拋物線求積公式，則由其誤差估計(jì)式知，要使只要n≥2

，因此用復(fù)化拋物線求積公式計(jì)算，只需將區(qū)間[0,1]分成2等分.01

xe

dx1

1h44E(

f

;

Sn

)

e

102880

2880

2880n4

2b

a

h4

f

(4)

()

試分別用復(fù)化梯形求積公式和復(fù)化拋物線求積公式計(jì)算下列積分，并比較結(jié)果.解

將區(qū)間[0,

1]8等分，分點(diǎn)為xi=ih

(i=0,1,2,…8),h=1/8.

，令f(x)=x/(4+

x2)可計(jì)算得下表xi01/81/43/81/2f(xi)00.031

128

40.061

538

50.090

566

00.117

647

1xi5/83/47/81f(xi)0.142

348

80.164

383

60.183

606

60.200

00120dx

(n

8)4

xx由復(fù)化梯形求積公式得由復(fù)化拋物線求積公式得78

1

f

(0)

2

f

(

1)

2

f

(

1

)

2

f

(

3)

2

f

(

1

)

2

f

(

5)

2

f

(

3)

2

f

(

7

)

f

(1)1

1

2f

(0)

2f

(x

)

f

(1)8T

i

1

i

0.111402

4

0.111572

44

S

1

1

f

(0)

2

f

(

)

f

(

1)

f

(

3)

4

f

(1)

f

(

3)

f

(

5)

f

(

7

)

f

(1)64

2

8

8

8

4

8

與積分的精確值比較，顯然復(fù)化拋物線求積

復(fù)化梯形求法精確得多.例

P192例4.112001dx

1

ln(4

x2

)

1

ln

5

0.11157172

2

44

xx同理得同理得Romberg公式112n1E(

f

;T

)

I

(

f

)

Tn

(b

a)31

f

(

),

(a,b)T2nE(

f

;T2n

)

I

(

f

)

2f

(

2),

(a,b)12

(2n)2n2

(b

a)3

12nI

(

f

)

TnI

(

f

)

T(4.3.1)3

3

32n2n

n

2n

nn

4,

I

(

f

)

T

1

(T

T

)

4

T

1

T

SI

(

f

)

S2nI

(

f

)

Sn

16,15152n2nn2nnnI

(

f

)

S

1

(S

S

)

16

S

1

S

C

,

(4.3.2)15(4.3.3)63n

2nn

1

C63R

64

C§4.3

Romberg求積法進(jìn)行下去.在變步長(半分區(qū)間)的過程中運(yùn)用(4.3.1),(4.3.2),(4.3.3),就能將粗糙的近似值Tn逐步加工成精度較高的Sn

(3階的),Cn

(5階的),,Rn,值，提高了收斂速度，其實(shí)質(zhì)起到了加速收斂的作用，也稱為逐次分半加速法.Romberg方法.將區(qū)間[a,b]依次作20,21,22,…等分，記按復(fù)化梯形求積公式算得的值相應(yīng)地記為由公式遞推計(jì)算數(shù)表m用Tm(k)或T

(0)作為定積分的近似值.i2ih

b

a0

0

0T

(0)

,T

(1)

,T

(2)

,m4m4m

T

(

k

1)

T

(k

)T

(k)

m1

m13

21T

(0)2T

(1)T

(0)101T

(2)T

(1)T

(0)003T

(k

)2T

(k

)1T

(k

)0T

(3)T

(2)T

(1)T

(0)1k0123

0

T

(k

)若f(x)

C2m+2[a,b],則其中B2m+2是只與m有關(guān)而與k無關(guān)的常數(shù).由此可知：(a,b)(4.3.4)(4.3.5)即T數(shù)表中第m列的元素收斂于積分真值.(b

a)2m

3

f

(2m2)

(),B2m22(m1)(m2k

)

(2m)!mabf

(x)dx

T

(k

)

mk

T數(shù)表中元素Tm(k)相應(yīng)的求積公式的代數(shù)精度為2m+1，而且對(duì)固定的mblimT

(k

)

f

(x)dxa即T數(shù)表中對(duì)角線上的元素也收斂于積分真值.m若f(x)是有界可積的，不僅(4.3.5)成立,而且還有bf

(x)dxmlim

T

(0)

aT數(shù)表中的每一個(gè)元素Tm

的值都是由2

,(k)

k2k+1,…,2k+m個(gè)區(qū)間上復(fù)化梯形公式的線性組合，即Tm(k)的值是第一列元素值的線性組合.在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)表中對(duì)角線(列)上出現(xiàn)兩個(gè)順序連接的數(shù)之差為允許誤差時(shí)，即可停止運(yùn)算.例用Romberg求積法求積分解

記1204dxI

21

x的近似值,要求誤差不超過

1

104

.41

x2f

(x)

,

a

0,

b

10T

(0)44f

(0)

1

02

1

12

4,

f

(1)

2

b

a

[

f

(a)

f

(b)]

1

0

[

f

(0)

f

(1)]

32

200T

(1)

1

[T

(0)4f

(0.5)

1

0.52

3.2

f

(0.5)]

1

(3

3.2)

3.12424f

(0.25)

1

0.252

3.764

705

9,f

(0.75)

1

0.752

2.560

000

044f

(0.125)

1

0.125241

0.37524

3.506

849

3f

(0.625)

3.938

4615

f

(0.375)

2.876

404

5

f

(0.875)

1

0.6252

1

0.8752

2.265

486

7(2)0T

(3)012

4

{T

1

[

f(0.125)

f

(0.375)

f(0.625)

f(0.875)]}

3.138

988

5(4)(3)0T0

(2b

a

f

2k

1)16

3.140

9416T1

18k

180

02T

(2)

1

{T

(1)

1

[

f

(0.25)

f

(0.75)]}

3.131176

52由遞推算式計(jì)算得下表kT0

(k)T1(k)T3(k)T4(k)0 3.000

0001 3.100

0003.133

3332 3.1311773.141

5693.142

1183 3.1389893.141

5933.141

5943.141

5864 3.1409423.141

5933.141

5933.141593

3.141593取T4

(0)作為的近似值,即果與準(zhǔn)確值.這一結(jié)m4mT2(k)4(m)

T

(k

1)

T

(k

)T

(k

)

m1

m11T

(0)

T

(0)4

32

1

1041204dx

3.1415931

x120dx

4arctan

x

1

相比較已有較好的效果.041

x§4.4

Gauss求積公式問題：固定節(jié)點(diǎn)數(shù)目為n+1的情況下，適當(dāng)選取一組節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn

，及求積系數(shù)H0,H1,…,Hn

，使求積公式(4.4.1)具有代數(shù)精度2n+1．定義

若求積公式

(4.4.1)

具有代數(shù)精度2n+1，則稱該求積公式為Gauss求積公式，相應(yīng)的求積節(jié)點(diǎn)稱為Gauss點(diǎn).nbak

0f

(x)dx

Hk

f

(xk

)Gauss求積公式的構(gòu)造由定義公式(4.4.1)對(duì)f(x)=1,x,x2,…,x2n+1精確成立，得求解xi

,Hi這種方法是非線性的，求解.0

1

2

nH0

H1

H20

0 1

1 2

2

n

nnaab0

12

nabH

1dxbH

x

H

x

H

x

H

x

xdxH

x2n1

H

x2n1

H

x2n1

H

x2n1

x2n1dx

定理插值型求積公式(4.4.1)是Gauss求積公式的充分必要條件是：以其節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的n+1次多項(xiàng)式pn+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)在[a,b]上關(guān)于權(quán)函數(shù)(x)1與一切次數(shù)≤n的多項(xiàng)式正交，即bann1q

(x)

p

(x)dx

0,

qn

(x)

Mn

(4.4.2)證充分性若(4.4.2)成立，f(x)M2n+1,f(x)=

sn(x)

pn+1(x)+rn(x),

sn(x)

,rn(x)Mn由公式(4.4.1)

有n

n

Hir(xi

)

Hi

f

(xi

)i0

i0從而求積公式(4.4.1)是Gauss求積公式.b

bbaa

ar

(x)dxn

n1

nf

(x)dx

s

(x)

p

(x)dx

必要性若公式(4.4.1)具有代數(shù)精度2n+1，qn(x)Mn,

qn(x)pn+1(x)M2n+1即pn+1

(x)在[a,b]上關(guān)于權(quán)函數(shù)(x)1與一切次數(shù)≤n的多項(xiàng)式正交.n1

iHiqn

(xi

)

p

(x

)

0,ni0bqn

(x)

pn1

(x)dx

aGauss求積公式的余項(xiàng)利用Gauss求積公式及積分中值定理有2以x0,x1,…,xn為節(jié)點(diǎn)的Hermite插值公式f

(2

n2)

()f

(x)

H

(x)

p(x)(2n

2)!n1f

(x)dx

n

nbbaai0i0H

H

(x

)

i

if

(x)dx

Hi

f

(xi

)

E(

f

)f

(2

n2)

()(2n

2)!f

(2n2)

()(2n

2)!pn12

(x)dx

pn12

(x)dxE(

f

)

bbaaGauss求積公式的收斂性ba定理若f(x)C[a,b]，則Gauss求積公式是收斂的.即n

k

kf

(x)dxH f

(x

)

limk

k

0Gauss求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性定理

Gauss求積公式的系數(shù)Hk(k=0,1,2,,n)全是正的.k基函數(shù)lk(x)Mn，l

2(x)M2n，Gauss求積公式對(duì)其精確成立，故(k=0,1,2,,n推論

Gauss求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的.20

ni0bkl

(x)dx

kH

l

2

(x

)

Hi

k

ikaab

l

(x)dx定理n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n，最高為2n+1.證Gauss求積公式是插值型求積公式，故代數(shù)精度可達(dá)到2n+1，但 過2n+1.否則,令f(x)=p2n+1(x)=(x-x0)2(x-x1)2(x-xn)2xi

(i=0,1,,n)是求積節(jié)點(diǎn)，求積公式對(duì)其精確成立，即又.p22n1k

n1

k(x)dx

H

p

(x

)

0nk

0ban1bp2(x)dx

0aGaussLegendre求積公式

區(qū)間[-1,1]上的Gauss求積公式

Legendre多項(xiàng)式序列{Pn(x)}是區(qū)間[-1,1]上的關(guān)于權(quán)函數(shù)(x)1的正交多項(xiàng)式序列，