傅里葉變換性質(zhì)證明

jKr!?傅里葉變換性質(zhì)證明ThefinalrevisionwasonNovember23,2020傅里葉變換的性質(zhì)2.6.1線性若信號(hào)挪J和挪］的傅里葉變換分別為FJ心）和處（由）,.田］=WF［f2（t）］=F2H則對(duì)于任意的常數(shù)a和b，有F［&f】田+W）］=&F聞）+bF@血）將其推廣，若叩』切=叫以i=l?2/3……,n,則FW以修）=支部3）.i-L i-1其中％為常數(shù)，n為正整數(shù)。由傅里葉變換的定義式很容易證明線性性質(zhì).顯然傅里葉變換也是一種線性運(yùn)算，在第一章我們已經(jīng)知道了，線性有兩個(gè)含義：均勻性和疊加性。均勻性表明，若信號(hào)乘以常數(shù)a，則信號(hào)的傅里葉變換也乘以相同的常數(shù)a，即『宙■]=□『[/(￡)]疊加性表明，幾個(gè)信號(hào)之和的傅里葉變換等于各個(gè)信號(hào)的傅里葉變換之和?『血』)卜『房⑴]"[//)]2.6.2反褶與共軛性設(shè)f(t)的傅里葉變換為F")]= 戒=皿)，下面我們來(lái)討論信號(hào)反褶、共軛以及既反褶乂共軛后，新信號(hào)的傅里葉變換。反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里葉變換為共軛既反褶乂共軛本性質(zhì)還可利用前兩條性質(zhì)來(lái)證明：設(shè)g(t)=f(-t)，h(t)二g*(t)，則在上面三條性質(zhì)的證明中，并沒(méi)有特別指明f(t)是實(shí)函數(shù)還是復(fù)函數(shù)，因此，無(wú)論f(t)為實(shí)信號(hào)還是復(fù)信號(hào)，其傅里葉變換都滿足下面三條性質(zhì)2.6.3奇偶虛實(shí)性已知f(t)的傅里葉變換為。在一般情況下，是復(fù)函數(shù)，因此可以把它表示成模與相位或者實(shí)部與虛部?jī)刹糠郑碏0J=,(疝牌明)=衛(wèi)(對(duì)成3) (2-SS^?顯然網(wǎng)砌三衣切3祠 叫⑴三皿tm［保另］根據(jù)定義，上式還可以寫成下面根據(jù)f(t)的虛實(shí)性來(lái)討論F()的虛實(shí)性。(1)f(t)為實(shí)函數(shù) 對(duì)比式(2-33)與(2-34)，由FT的唯一性可得()f(t)是實(shí)的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t)X0)的積分項(xiàng)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故這時(shí)X(?i)=0，于是=K伽汝汕也 可見(jiàn)，若f(t)是實(shí)偶函數(shù)，則F()也是實(shí)偶函數(shù)，即叩如=珂如=『同左邊反褶，右邊共軛()f(t)是實(shí)的奇函數(shù)，即-f(t)=f(-t)R(Q的積分項(xiàng)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故這時(shí)R(^)二0,于是F(網(wǎng)=-2j￡sin(刎泌可見(jiàn)，若f(t)是實(shí)奇函數(shù)，則FS)是虛奇函數(shù)，即沖二!>)廠&=￡.處)**』1典問(wèn)莎左邊反褶，右邊共軛有了上面這兩條性質(zhì)，下面我們來(lái)看看一般實(shí)信號(hào)(即可能既不是偶信號(hào)，乂不是奇信號(hào)，反正不清楚，或者說(shuō)是沒(méi)有必要關(guān)心信號(hào)的奇偶特性)的FT頻譜特點(diǎn)。2.6.4對(duì)稱性傅里葉變換與傅里葉反變換之間存在著對(duì)稱關(guān)系，稱為傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)。若已知F(e)=F[f(t)]則有F[f(t)]=2hf(p)證明：因?yàn)橛谑恰?=，匚將變量t與互換，再將2乘過(guò)來(lái)，得 上式右邊是傅里葉正變換定義式，被變換函數(shù)是F(t)所以F[F（t）]=2hf（F）若f(t)為偶信號(hào)，即f(t)=f(-t),則有F[F(t)]=2f(s)從上式可以看出，當(dāng)f(t)為偶信號(hào)時(shí)，頻域和時(shí)域的對(duì)稱性完全成立一一即f(t)的頻譜是F(co)，F(xiàn)(t)的頻譜為f(co)。若f(t)為奇信號(hào)，即f(t)=-f(-t)，則有F[F(t)]=-2fG)利用FT的對(duì)稱性，我們可以很方便地一些信號(hào)的傅里葉變換。下面我們舉些例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。例試根據(jù)FT的對(duì)稱性'利用沖沔信號(hào)的俾里葉變換來(lái)求直貌信號(hào)的傅里葉變頓。解；己知沖檄信號(hào)的俾里葉斐攜為T[E『〔t)]=E,將E視為常數(shù)函數(shù)I它是偶函數(shù),根據(jù)FT的對(duì)稱性,餌F[E]吃TIE石仲1。例試根冕FT的對(duì)稱性』利用矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變挨來(lái)求解￡通數(shù)的傅里葉奏挨.解；己知拒形脈抻信號(hào)的傅里葉變換為尸歸&乂)]=瞄;*根據(jù)FT的對(duì)稱性，可臀H明遍?]=泌1穹?)若令[=我E=1,則研瑚』="O)即E返數(shù)的FT是脈瓦為A脈高為p的矩形豚沖-矩形脈沖信號(hào)湛形與頻譜、E朝數(shù)的波形與頻譜如下囹所示-2.6.5尺度變換TOC\o"1-5"\h\z若 F[f(t)]=F( e)，貝U ■■'這里a是非零的實(shí)常數(shù)。下面利用FT的定義及積分的性質(zhì)，分a>0和a<0兩種情形來(lái)證明傅里葉變換的尺度變換特性。證明：因?yàn)?","1廠、""」 令at二x，研況)]==-F(-)當(dāng)a>0時(shí) 心* 4 19[了(砒)]=-弋血=-小凸當(dāng)a<0時(shí) 次f ◎僅上述兩種情況可綜合成如下表達(dá)式：由上可見(jiàn)，若信號(hào)f(t)在時(shí)域上壓縮到原來(lái)的1/a倍，則其頻譜在頻域上將展寬a倍，同時(shí)其幅度減小到原來(lái)的1/a。尺度變換性質(zhì)表明，在時(shí)域中信號(hào)的壓縮對(duì)應(yīng)于頻域中信號(hào)頻帶的擴(kuò)展，反之，信號(hào)的時(shí)域擴(kuò)展對(duì)應(yīng)于頻域的壓縮。對(duì)于a=-1的特殊情況，它說(shuō)明信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反褶等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反褶。對(duì)傅里葉變換的尺度變換特性最通俗的解釋可以采用生活中的實(shí)例來(lái)說(shuō)明，在錄音帶快放時(shí)，其放音速度比原磁帶的錄制速度要快，這就相當(dāng)于信號(hào)在時(shí)間上受到了壓縮，于是其頻譜就擴(kuò)展，因而聽起來(lái)就會(huì)感覺(jué)到聲音發(fā)尖，即頻率提高了。反之，當(dāng)慢放時(shí)，放音的速度比原來(lái)速度要慢，聽起來(lái)就會(huì)感覺(jué)到聲音渾厚，即低頻比原來(lái)豐富了（頻域壓縮）。2.6.6時(shí)間平移（延時(shí)）下面進(jìn)行證明證明：上式右邊的積分項(xiàng)為傅里葉變換定義式，于是可以得到叩化-圮]=『（時(shí)廠5同理可以得到H[f[t+tJ]=F（加52.6.7時(shí)域微分若F[f（t）]=F0），則證明：因?yàn)?衰，兩邊對(duì)t求導(dǎo)，可得由上可見(jiàn)，在時(shí)域中f(t)對(duì)t取n階導(dǎo)數(shù)等效于在頻域中f(t)的頻譜FG)乘以(j)n.下面舉一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用例子。若已知單位階躍信號(hào)u(t)的傅里葉變換，可利用此定理求出(t)的FT2.6.8頻域微分若F[f(t)]=F0)，則尸=5冷證明：因?yàn)樵菩?“-鏘即”必，兩邊分別對(duì)『求導(dǎo)，可得叫穿牛(頊"所以 L翻」2.6.9時(shí)域積分可見(jiàn)，這與利用符號(hào)函數(shù)求得的結(jié)果一致。頻域積分若F[f(t)]=F^)，則有◎員區(qū)（￡）”，（如=44（圳頊［尤卜］證明：如■）勺抽=匚「/（楓（1）血部戲"L" 」倦積和FT的定義）任換段曲欠序〕匚￡（X-1）廠劉檢dx任換段曲欠序〕二匚加）何/（圳次'壓（FT定義及苴0?二匚加）何/（圳次'壓（FT定義及苴0?特性〕注于時(shí)變星的常函數(shù)提出來(lái)）=習(xí)￡（小項(xiàng)勇。）］=『％）］?f［￡（1m定義）由上可見(jiàn),兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻諳等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻諳的乘積」也就是說(shuō)，兩信號(hào)時(shí)域卷積等效于成諳相乘口頻域卷積定理與時(shí)域卷積定理類似，?乂閭=￡『『*）］偵m⑴］證明方法同時(shí)域卷積定理，在這里不在重復(fù)，同學(xué)們可自己證明。由上可見(jiàn)，兩個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的卷積等效于兩個(gè)時(shí)間函數(shù)的乘積?；蛘哒f(shuō)，兩個(gè)時(shí)間函數(shù)乘積的頻譜等于各個(gè)函數(shù)頻譜乘積乘以1/2。顯然，時(shí)域與頻域卷積定理是對(duì)稱的，這是由傅里葉變換的對(duì)稱性決定的。帕斯瓦爾定理

前面我們?cè)谥v信號(hào)分解時(shí)，提及帕斯瓦爾定理。下面我們來(lái)研究一下該定理在FT中的具體表現(xiàn)形式。若F[f（t）]=F^），則這就是帕斯瓦爾定理在傅里葉變換中體現(xiàn)，它表明了信號(hào)的能量在時(shí)域與頻域是守恒的。下面利用FT的定義和性質(zhì)，推導(dǎo)信號(hào)能量的求