信號與系統(tǒng)教案第4章

第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析時(shí)域分析，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t)=h(t)*f(t)。本章將以正弦信號和虛指數(shù)信號ejωt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率。故稱為頻域分析。4.1

信號分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解矢量Vx

=(vx1,vx2,vx3)與Vy

=(vy1,vy2,vy3)正交的定義：其內(nèi)積為0。即3i1x

y

xi

yiV

V

T

v

v

04.1

信號分解為正交函數(shù)由兩兩正交的矢量組成的矢量集合---稱為正交矢量集如三

中，以矢量

vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集。例如對于一個(gè)三

的矢量A

=(2，5，8)，可以用一個(gè)三維正交矢量集{vx，vy，vz}分量的線性組合表示。即A=

vx+

2.5

vy+

4

vz矢量空間正交分解的概念可推廣到信號空間，在信號空間找到若干個(gè)相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。4.1

信號分解為正交函數(shù)211

2二、信號正交與正交函數(shù)集1.定義：定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)

1(t)和

2(t),若滿足t

t

(t)

*

(t)

d

t

0(兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱

1(t)和

2(t)

在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交。2.正交函數(shù)集：若n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足Ki0,

i

j

0,

i

j21*tti

j

(t)

(t)

d

t

則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集。4.1

信號分解為正交函數(shù)則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}和虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。23.完備正交函數(shù)集：如果在正交函數(shù)集{1(t)，

2(t)，…，

n(t)}之外，不存在函數(shù)φ(t)(≠0）滿足t1ti

(t)

(t)

d

t

0(

i

=1，2，…，n)4.1

信號分解為正交函數(shù)三、信號的正交分解設(shè)有n個(gè)函數(shù)

1(t)，

2(t)，…，

n(t)在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為f(t)≈C11+

C22+…+如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為(t)] d

tt2

t1j

j1

tj

1

1

nt2

[

f(t)

C

2

24.1

信號分解為正交函數(shù)為使上式最小1

2

Ci

Citj

1j

jnt2

[

f

(t)

C

(t)]2

d

t

0展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不2102

2t

t為0，寫為

Cii

i

ii[2C f

(t)

(t)

C

(t)]d

t

即211

2t2

t2ti

ti

(t)

d

t

0if

(t)

(t)

d

t

2C所以系數(shù)Ci

t2t1211t2

tf

(t)i

(t)

d

t12Kit

ti

(t)

d

tif

(t)

(t)

d

t4.1

信號分解為正交函數(shù)代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過程見

）

1

[j

1C

2

K

]

0j

jnf

2

(t)

d

t

t2

t1

2t21t在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)n→∞時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有j

1t21j

jf

2

(t)

d

t

C

2

Kt上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式，表明：在區(qū)間(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。f

(t)

C

j

j

(t)j

1函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和4.2

傅里葉級數(shù)4.2

傅里葉級數(shù)一、傅里葉級數(shù)的三角形式設(shè)周期信號f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級數(shù)——稱為f(t)的傅里葉級數(shù)2n1

n1nb

sin(

nt)n

a

cos(nt)

f

(t)

a0o系數(shù)an

,bn稱為傅里葉系數(shù)Ta22Tb可見，an

是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。

An

cos(nt

n

)n14.2

傅里葉級數(shù)將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為2f

(t)

A0式中，A0

=a022nAn

an

bnnab

arctan

n

可見An是n的偶函數(shù)，n是n的奇函數(shù)。an

=

Ancosn，

bn

=

–Ansin

n，n=1,2,…上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。其中，A0/2為直流分量；A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同；A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波。4.2

傅里葉級數(shù)二、波形的對稱性與諧波特性1

.f(t)為偶函數(shù)——對稱縱坐標(biāo)an

T2T2f

( )

d

t2T2sTbbn

=0，展開為余弦級數(shù)。2

.f(t)為奇函數(shù)——對稱于原點(diǎn)an

=0，展開為正弦級數(shù)。實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)由于f(-t)

=

fod(-t)

+

fev(-t)

=

-fod(t)

+

fev(t)

所以4.2

傅里葉級數(shù)(t)

f

(t)

f(t)2(t)

f(t)

f(t)fod2fe

v3

.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)f(t)0T/2

T

t此時(shí)其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分0

2

2

4量即

a

=a

=…=b

=b

=…=0三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪?/p>

cosx=(ejx

+e–jx)/24.2

傅里葉級數(shù)

2n1

A0An

[e

j

(nt

n

)

e

j

(nt

n

)

]

1

e2e2

2n1

n1nn2

A0

1

A

enA

e

j

jntnj

jntn1

An

cos(nt

n

)2f

(t)

A0上式中第三項(xiàng)的n用–n代換，A–n=An，–n=–n，則上式寫為

1

n1

njn

tjn

t

12A0e2

2n1nA

enA

e

ejnj令A(yù)0=A0ej0ej0t

，0=0所以

nnf

(t)

nA

e

ej

jnt124.2

傅里葉級數(shù)令復(fù)數(shù)n

n

nn

F

Fje

nA

e12稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。2

212n

jb

)nn

n

n

n

1

(

A

cos

jA

sin

)

1

(annA

eF

njf

(t)

sin(nt)

d

t

f

(t)

cos(nt)

d

t

j2T2T2T21T1T1TT

jnT2

f

(t)

e

t

d

tn

nF

e

jntf

(t)

n

=0,

±1,

±2，…T21T2T

jn

tT2

f

(t)

e d

tnF

表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。

F0

=A0/2為直流分量。4.2

傅里葉級數(shù)四、周期信號的功率——Parseval等式nnnTn1A2|

F

|20f

2

(t)dt

(

A0

)2

1T

212直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。n≥0時(shí)，|Fn|=An/2。周期信號一般是功率信號，其平均功率為4.3

周期信號的頻譜4.3

周期信號的頻譜及特點(diǎn)一、信號頻譜的概念從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將An~ω和n~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閚≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω和n~ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn

。4.3

周期信號的頻譜例：周期信號

f(t)=試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率Ω，畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t)的平均功率。解首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即

3 6

4

4

3

21

1

cos

t

2

1

sin

t

4

3

6 2

2

4

3

f

(t)

1

1

cos

t

2

1

cos

t

顯然1是該信號的直流分量。1

2

4 3

cos

t

的周期T1

=8

3

31

cos

2

42

的周期T =6所以f(t)的周期T=24，基波角頻率Ω=2π/T=π/12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為P=1

2

4

32

2

2

1

1

2

1

1

2

374.3

周期信號的頻譜

4 3

21

cos

t

是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次諧波分量；

3

3

1

cos

2

4是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次諧波分量；畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖(b)o

12

6

4

3(a)2A

01214An1ωoω33

12

6

42

3

n4.3

周期信號的頻譜二、周期信號頻譜的特點(diǎn)舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周f(t)t0T-T…1

2

2T期為T，

。求頻譜。Tnf

(t)

e1

1T222

e

jnt

d

tT2

jnt

d

t

F

sin

2

nnT2令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數(shù)）T

jn

jnt22T

nsin(

n

)221

eT

2

T

TnF

Sa(

n

)

Sa(

n

)4.3

周期信號的頻譜,

n

=

0

,±1，±2，…Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T=4τ畫圖。零點(diǎn)為

n

m2所以

n

2m

，m為整數(shù)。Fnω02

2414特點(diǎn)：(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性。總趨勢減小。4.3

周期信號的頻譜譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：T一定，變小，此時(shí)（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/

增多。一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。如果周期T無限增長（這時(shí)就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。4.4

傅里葉變換4.4

非周期信號的頻譜—傅里葉變換一、傅里葉變換非周期信號f(t)可看成是周期T→∞時(shí)的周期信號。前已

當(dāng)周期T趨近于無窮大時(shí)，譜線間隔趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令Fn

n

T

1/

T

T

F(

j)

lim

lim

F

T(單位頻率上的頻譜）稱F(jω)為頻譜密度函數(shù)。4.4

傅里葉變換

jnt

d

t2T2f

(t)

eTnF

T

nf

(t)

FnTejn

tT1考慮到：T→∞，Ω→無窮小，記為dω；n

Ω→

ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而T

2

21

d同時(shí)，∑→∫f

(t)

e

j

t

d

tn于是，F(xiàn)(j)

lim

F

T

T

12f

(t)

j

tF

(

j

)

e

d傅里葉變換式“-”傅里葉反變換式F(jω)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。f(t)稱為F(jω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級數(shù)4.4

傅里葉變換也可簡記為F(jω)

=

F

[f(t)]f(t)=

F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為F(jω)

=

|

F(jω)|e

j

(ω)

=

R(ω)

+

jX(ω)說明(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:f

(t)

d

t

(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分F

(0)

f

(t)dtf

(0)

F

(

j

)

d

1

24.4

傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換1.

單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–tε(t)，

>0實(shí)數(shù)10tf(t)F

(

j)

1

j1

j0e(

j

)t

t

j

te

e d

t

02.

雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)

=

e–t

,

>010tf(t)

22

21

1

j

j

t

j

te

e d

t

0F

(

j)

0

et

e

j

t

d

t

4.4

傅里葉變換3.門函數(shù)(矩形脈沖)220,

t

g

(t)

10t1,

t

gτ

(t)

22

j

jj2

jt

/

2e

2

e/2F

(

j)

e d

t

)22

sin(

)

2

Sa(d

t

14.沖激函數(shù)(t)、′(t)

j

t

(t)

e

(t)

j

'(t)

j

td

tt

0

j

t

'(t)

edd

t

e4.4

傅里葉變換5.常數(shù)1n有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t)等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解?？蓸?gòu)造一函數(shù)序列{fn(t)}

近f

(t)

，即f

(t)

lim

fn

(t)n而fn(t)滿足絕對可積條件，并且{fn(t)}的傅里葉變換所形成的序列{Fn(j)}是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F(j)為F(

j)

lim

Fn

(

j)這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。4.4

傅里葉變換-t構(gòu)造

f

(t)=e

，>

0←→

2

2

2

F

(

j

)

0f

(t)

1

lim

f

(t)所以又

0,

0

2

0

2

0F(

j)

lim

F

(

j)

lim

2

0,

22

21

2

0

0

0

d

lim

2

arctan

2

2

lim

d

lim因此，

1←→2()另一種求法：(t)←→1代入反變換定義式，有

1

2j

te

d

(t)將→t，t→-

1

2e d

t

(

)

j

t再根據(jù)傅里葉變換定義式，得

(

)

(

)

21

e d

t

2

j

t4.4

傅里葉變換t

0

1,

t

06.符號函數(shù)

sgn(t)

1,10

tsgn(t)-1

0e

,t

et

,

t

0t

0f

(t)

0sgn(t)

lim

f

(t)

2

21

1f

(t)

F

(

j)

j2

j

jj22

2

sgn(t)

lim

F

(

j)

lim

j2

0

07.階躍函數(shù)(t)j2

2

(t)

1

1

sgn(t)

()

110

tε

(t)4.4

傅里葉變換歸納：1.

F

變換對2.

常用函數(shù)

F

變換對：t域ω域f

(t

)e

j

t

d

tF

(

j

)

1j

tf

(t)

F

(

j)e

d

t2

δ(t)1ε(t)e

-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)1j

12πδ(ω)

(

)

1j

2

Sa2

j

2

2

2e

–|t|4.5

傅里葉變換的性質(zhì)4.5

傅里葉變換的性質(zhì)一、線性(Linear

Property)If

f1(t)

←→F1(jω)，

f2(t)←→F2(jω)thenProof:d

t[af

(t)

bf

(t)]

e21F

[a

f1(t)

+

b

f2(t)]

j

t

j

td

t

b

f

(t)

ed

ta

f

(t)

e11

j

t=

[a

F1(jω)

+

b

F2(jω)

][a

f1(t)

+

b

f2(t)

]

←→

[a

F1(jω)

+

b

F2(jω)

]4.5

傅里葉變換的性質(zhì)For

example

F(jω)

=

?Ans:

f

(t) =

f1(t)

–

g2(t)f1(t)=

1

←→

2πδ(ω)g2(t)

←→

2Sa(ω)∴

F(jω)

=

2πδ(ω)-

2Sa(ω)f

(t

)t1-110‖0f1(

t)t10t1-1-g2

(

t)14.5

傅里葉變換的性質(zhì)二、時(shí)移性質(zhì)(Timeshifting

Property)If

f(t)

←→F(jω)

then0F

(

j)

j

tf

(t

t0

)

ewhere

“t0”

is

real

constant.Proof:

F

[

f

(t

–

t0

)

]

0

f

(t

t

)

e

j

t

d

t

j

t

t0

0

j

tf

(

)

e

d

eF

(

j)

e

j

t0For

example

F(jω)

=

?Ans:

f1(t)

=

g6(t

-5)

,f2(t)

=g2(t-5)g6(t

-

5)

←→

6Sa(3)

e2g

(t-

5)

←→∴

F(jω)

=[6Sa(3)

2Sa()]e

j

5

j52Sa()

e

j504.5

傅里葉變換的性質(zhì)f

(

t)t-1212

4

6

8‖0f1

(

t

)t2102

4

6

8f2

(

t)

+t212

4

6

84.5

傅里葉變換的性質(zhì)三、對稱性質(zhì)(Symmetrical

Property)If

f(t)

←→F(jω)

thenProof:f

(t)

1

2j

tF

(

j)

e

d

（1）F

(

jt

)

e

d

tj

t

1

2in

(1)

t

→ω，ω→t

thenf

()

（2）F

(

jt

)

e d

tin

(2)

ω

→

-ω

then

1

j

tf

()

2∴

F(j

t)

←→

2πf

(–ω)endF(jt

)

←→

2πf

(–ω)4.5

傅里葉變換的性質(zhì)For

example←→

F(jω)

=

?1

t

21f

(t)

Ans:e|t|

2

22

2e|t|

if

α=1,1

2∴

2

e||1

t22

e||1

t21*

ift

2

2t

3f

(t)

t

2

2t

2F(jω)=

?4.5

傅里葉變換的性質(zhì)四、頻移性質(zhì)(Frequency

Shifting

Property)If

f(t)

←→F(jω)

thenProof:where

“ω0”

is

real

constant.0jω

tF[e

f(t)]0e

f

(t)

e

j

td

tj

t0

)t

d

tf

(t)

e

j(=

F[

j(ω-ω0)]endF[

j(

0

)]

e

j0t

f

(t)For

example

1f(t)

=

ej3t

←→

F(jω)

=

?Ans:

1

←→2πδ(ω)ej3t

×1←→

2πδ(ω-3)4.5

傅里葉變換的性質(zhì)For

example

2f(t)

=cosω0t

←→

F(jω)

=

?Ans:2

2f

(t)

1

e

j0t

1

e

j0tF(jω)

=

π[δ(ω+ω0)+

δ(ω-ω0)]For

example

3Given

that

f(t)

←→

F(jω)The

modulated

signal

f(t)

cosω0t←→

?4.5

傅里葉變換的性質(zhì)五、尺度變換性質(zhì)(Scaling

Transform

Property)If

f(t)

←→F(jω)

thenProof:F

[

f

(a

t

)]=where

“a” is

a

nonzero

real

constant.f

(at)e

j

t

d

tdaF[

f

(a

t

)]

f

(

)

e

j

1a

atFor

a

>0

,for

a

<0

,

F

j

a

a

1F

[

f

(a

t

)]

ata

jf

(

)

e

a

da

f

(

)

e

j

a

1

d

1a

a

1

F

jThat

is

,f

(a

t

)←→

F

j

|

a

|

a1Also,letting

a

=

-1,f

(-

t

)

←→

F(-jω)

a

F

j

1|

a

|f

(at)

演示4.5

傅里葉變換的性質(zhì)For

example

1Given

that

f

(t)←→F(

jω),

find

f

(at

–

b)

←→

?Ans:

f

(t

–

b)←→ e

-jωb

F(

jω)f

(at

–

b)

←→a

F

j

j

ba|

a

|e1orf(at)

←→

F

j

|

a

|

a1b

f

(at–

b)

=

f

a(t

a

)

a

F

je

j

ba|

a

|14.5

傅里葉變換的性質(zhì)For

example

2f(t)=←→

F(jω)

=

?jt

11Ans:1et

(t)

j

1

2

e

()jt

11

2

e

()

jt

11Using

symmetry,using

scaling property

with

a

=

-1,so

that,4.5

傅里葉變換的性質(zhì)六、卷積性質(zhì)(Convolution

Property)Convolution

in

time

：If

f1(t)

←→F1(jω)，

f2(t)

←→F2(jω)Then

f1(t)*f2(t)

←→F1(jω)F2(jω)Convolution

in

frequency

：If

f1(t)

←→F1(jω)，

f2(t)

←→F2(jω)1

221Then

f1(t)

f2(t)

←→

F

(jω)*F

(jω)4.5

傅里葉變換的性質(zhì)Proof:f1

(

)

f

2

(t

)

df1

(t)

*

f

2

(t)

F

[

f1(t)*f2(t)

]=

d

t

d

t]d2f

(t

)

e

j

t1f

(

)[1

2f

(

)

f

(t

)

d

e

j

t

j

j

tUsingtimeshiftingd

t

F

(

j

)

ef

(t

)

e22So

that,F

[

f1(t)*f2(t)

]=d1

j

f

(

)

e2d

F

(

j

)1

2

j

f

(

)F

(

j

)

e=F1(jω)F2(jω)4.5

傅里葉變換的性質(zhì)For

example

F

(

j)

?

t

sin

t

2Ans:g

(t)

2Sa()2Using

symmetry,2Sa(t)

2

g2

()Sa(t)

g2

()222g

()

*

g

()222t

g

()]

[

g

()]*[

sin

t

2

1g2(ω)*g2(ω)2-2

0

2ωF(jω

)π-2

0

2ω4.5

傅里葉變換的性質(zhì)七、時(shí)域的微分和積分(Differentiation

and

Integration

in

timeIf

f(t)

←→F(jω)

thenf

(n)

(t)

(

j)n

F(

j))jf

(x)

d

x

F

(0)

()

F

(

j)t

0F

(0)

F

(

j

)

f

(t)

d

tProof:f(n)(t)

=

(n)(t)*f(t)

←→(j

ω)n

F(jω)f(-1)(t)=

(t)*f(t)←→

[()j]((F)0F)(j)

Fj()

j

14.5

傅里葉變換的性質(zhì)For

example

1f(t)=

1/t2

←→?Ans:jsgn(t)

22

2

sgn()jtt1

j

sgn(

)

d

1

(

j)

j

sgn()

sgn()d

t

t

1

sgn(

)

|

|t

24.5

傅里葉變換的性質(zhì)For

example

2Given

that f

(t)←→

F1(jω)Prooff(t)←→j

F1(jω)

+

[f(-∞)+

f(∞)]()1t

d

f

(t)

d

t

d

tProoff

(t)

f

()

1

1

F

(

j

)

[

f()

f()]

(

)11

F

(

j

)

jjd

td

f

(t)

d

t

(

)1jF

(

j)

2

f

()

()

1

F

(

j)

[

f()

f

()]

()SoF

(

j)

11

F

(

j)

[

f()

f()]

()jSummary:

iff(n)(t)←→

Fn(jω)，and

f(-∞)+

f(∞)=

0Then f

(t)←→

F

(jω)

=

Fn(jω)/

(jω)n4.5

傅里葉變換的性質(zhì)For

example

3f(t)-2

0

22Determine

f

(t)←→

F

(jω)t-20

2t

-1f

'(t)1t2-2(1)(1)(-2)f

"(t)Ans:f

”(t)

=

(t+2)

–

2

(t)

+

(t–2)F2(jω)=

F

[f

”(t)]

=

e

j2ω–

2

+

e

–

j2ω=

2cos(2ω)

–

2F

(jω)=

2(

j

)2F2

(

j

)

2

2

cos(2

)Notice:dε(t)/dt

=

(t)

←→

1ε(t)

←×→

1/(jω)4.5

傅里葉變換的性質(zhì)八、頻域的微分和積分(Differentiation

and

Integration

in

frequencyIf

f(t)

←→F(jω)

then)(–jt)n

f

(t)

←→F(n)(jω)

1

f

(0)

(t)

jt

f

(t)

F

(

jx)

d

xwhere

1f

(0)

F

(

j

)

d2For

example1

Determine

f

(t)

=

tε(t)

←→

F

(jω)=?jAns:

(t)

()

1d

j

jt

(t)

d

()

1

2t

(t)

j

'(

)

14.5

傅里葉變換的性質(zhì)Notice:tε(t)

=ε(t)

*

ε(t)

←→

j

j

()

1

()

1

It’s

wrong.Because

()()

and

(1/j)()

is

not

defined.For

example

2Determinedsin(

a

)Ans:g2a(t)

2

sin(

a

)

2

sin(

a

)

e

j

t

d1 2

sin(

a

)

e

j

t

d

12ag

(t)

sin(

a

)

dg

(0)

12a2d

sin(

a

)

0九、帕斯瓦爾關(guān)系(Parseval’s

Relation

forriodic

Signals)f(t)

2

d

t

E

F

(

j

)

2

dProof2f

(t) d

t

f

(t)

f

*

(t)

d

t2E

1f

(t)

2*d

d

tF

(

j)

e

j

t

jtttf(jdF)dF

j

)(|2|d

1

2*

)(

1

12

2*

jF

F

j

)(d|F(jω)|2

is

referred

to

as

the

energy-density

spectrumof

f(t).

單位頻率上的頻譜

(能量密度譜）J·s4.5

傅里葉變換的性質(zhì)For

example

tDetermine

the

energy

of

2

cos(997t)

sin

5tAns:(

)sin

5t

g10

t(

997)10(

997)

g10

t2

cos(997t)

sin

5t

gf

(t)

2

d

t

1

(10

10)

102

E

4.5

傅里葉變換的性質(zhì)4.5

傅里葉變換的性質(zhì)十、奇偶性(Parity)If f(t)

is

real,

thenf(t)

e d

t

j

tF

(

j

)

f

(t)

sin(

t)

d

tf(t)

cos(

t)

d

t

j=

R(ω)

+

jX(ω)|

F(

j)

|

R2

()

X

2

()

()

arctan

R()

X

()

So

thatR(ω)=

R(–ω)

,

X(ω)

=

–

X

(–ω)|F(jω)|=

|F(–

jω)|

,

(ω)

=

–

(–ω)If

f(t)

=

f(-t),then

X(ω)

=

0,

F(jω)

=

R(ω)If

f(t)=

-f(-t)

,then

R(ω)

=

0,

F(jω)

=

jX(ω)4.6

周期信號的傅里葉變換4.6

周期信號傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換1←→2πδ(ω)由頻移特性得e

j

ω0

t

←→

2πδ(ω–ω0

)e

–j

ω0

t

←→

2πδ(ω+ω0

)cos(ω0t)=?(e

j

ω0

t

+

e

–j

ω0

t)←→π[δ(ω–ω0

)

+δ(ω+ω0

)]sin(ω0t)=

(e

j

ω0

t

-

e

–j

ω0

t)/(2j)

←→jπ[δ(ω+ω0

)

–

δ(ω

–

ω0

)]4.6

周期信號傅里葉變換二、一般周期信號的傅里葉變換jn

t

nnTf

(t)

F

e2

TF

)T

nn

njn

t

nF

e

F

(

j)

2

F

(

n)Tf

(t)

m例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)T(t)=

(t

mT

)f

(t)e

jnt

dt

T1T1TT2nF 2解：)

(

n2TT

(t)

(

n

)

(t)nn(1)4.6

周期信號傅里葉變換例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換。f(t)t14-4

-1

0

1……解：周期信號f(t)也可看作一時(shí)限非周期信號f0(t)的周期拓展。即f(t)=T(t)*

f0(t)F(jω)

=

ΩΩ(ω)F0(jω)n

F0

(

jn)

(

n)F(jω)

=nn2

2

2Sa(

)

(

nn

)

Sa(

)(

nn

)

本題

f0(t)

=

g2(t)←→

2Sa(

)T

2

2

(2)(2)式與上頁(1)式比較，得

F0

0T

T2

F

(

jn)

1

F

(

j

2n

)n這也給出求周期信號傅里葉級數(shù)的另法。4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析4.7

LTI系統(tǒng)的頻域分析傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。n

njntf

(t)

F

e對周期信號：對非周期信號：f

(t)

1

2j

tF

(

j

)

e

d其基本信號為ej

t一、基本信號ej

t作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)說明：頻域分析中，信號的定義域?yàn)?–∞，∞)，而t=

–∞總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為y(t)。4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率ω的基本信號ej

t時(shí)，其響應(yīng)y(t)=h(t)*

ej

tj

th(

)

e

d

eh(

)

e

d

y(t)

j

j

(t

)而上式積分正好是h(t)的傅里葉變換，

jh(

)

e

d記為H(j

)，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。y(t)

=

H(j

)

ej

tH(j

)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析二、一般信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ej

tH(j

)

ej

t2

1

F(j

)

ej

t

d

2齊次

1

F(j

)H(j

)ej

t性d

F

(

j

)

e

j

t

d‖

1

2‖

1

2j

tH

(

j

)F

(

j

)

e

d可加性f(t)y(t)

=F–1[F(j

)H(j)]Y(j

)

=

F(j

)H(j

)4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析LTI*

h(t)

=②傅氏變換反變f

(t)①傅氏y(t)F(jω)變換

③傅氏×

H(jω

)

＝

Y(jω

)頻率響應(yīng)H(j)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y(j)與激勵(lì)f(t)的傅里葉變換F(j)之比，即F

(

j)H

(

j)

Y

(

j)H

(

j)

H

(

j)

e

j

(

)F

(

j)

Y

(

j)

e

j[

y

(

)

f

(

)]H(j)稱為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；θ()稱為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。H(j)是的偶函數(shù)，θ()是的奇函數(shù)。頻域分析法步驟：傅里葉變換法4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析周期信號對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法。njn

t

nTF ef

(t)

n

njn

tnjn

t

nF H

(

jn)

eF

[h(t)

*

e ]

Ty(t)

h(t)

*

f

(t)

若n1An

cos(nt

n

)02Tf

(t)

AH

(

j)

H

(

j)

e

j

(

)則可推導(dǎo)出

(n)]2n1y(t)

A0

H

(0)

nnA

|

H

(

jn)

|

cos[nt

4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析例：某LTI系統(tǒng)的H(j)和θ()如圖，若f(t)=

2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。|H(jω)|θ(ω)ω10-100π1-π解法一：用傅里葉變換F(j)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+

δ(ω+5)]+

4π[δ(ω–10)

+δ(ω+10)]H(j)=H(j)ejθ()Y(j)

=

F(j)H(j)

=4πδ(ω)

H(0)

+4π[δ(ω–5)

H(j5)

+

δ(ω+5)

H(-j5)]+

4π[δ(ω–10)

H(j10)

+

δ(ω+10)H(-j10)

]=

4πδ(ω)

+4π[-j0.5δ(ω–5)

+

j0.5δ(ω+

5)

]y(t)

=

F-1[Y(j)

]=

2+

2sin(5t)4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析解法二：用三角傅里葉級數(shù)f(t)的基波角頻率Ω=5rad/sf(t)=

2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)

=1，

H(jΩ)

=

0.5e-j0.5π，

H(j2Ω)

=

0y(t)

=2

+4×0.5cos(Ωt

–

0.5π)=

2

+

2sin(5t)4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析三、頻率響應(yīng)H(j)的求法H(j)

=

F

[h(t)]H(j)

=

Y(j)/F(j)