(完整word版)大一高數(shù)復習資料

高等數(shù)學期末復習資料 第高等數(shù)學期末復習資料 第16頁（共9頁）使得對xoUx使得對xoUxm,都適合不等fx在點xm,fxm 處有極小值Xm1，Xm2，Xm3，一。函數(shù)的極值與最值的關(guān)系⑴設函數(shù)fx的定義域為D,如果XM的某個鄰o域UXm D,使得對xUXm,都適合不等式fXfXm,我們則稱函數(shù) fX在點XM,fXM 處有極大值fXm;令XM XM1,412,XM3,…，XMn則函數(shù)fx在閉區(qū)間a,b上的最大值M滿足:Mmaxfa,Xm〔,Xm2，Xm3,…,?？?fb；⑵設函數(shù)fx的定義域為D,如果xm的某個鄰域我們則稱函數(shù)fXm；令Xm

假設在定義區(qū)間I上，可導函數(shù)Fx的導函數(shù)為Fx,即當自變量xI時，有Fxfx或dFxfxdx成立，則稱Fx為fx的一個原函數(shù)⑵原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)fx在定義區(qū)間I上連續(xù)，則在I上必存在可導函數(shù)Fx使得Fxfx,也就是說：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)（可導必連續(xù)）⑶不定積分的概念在定義區(qū)間I上，函數(shù)fx的帶有任意常數(shù)項C的原函數(shù)稱為fx在定義區(qū)間I上的不定積分，即表示為：fxdxFxC（ 稱為積分號，fx稱為被積函數(shù)，fxdx稱為積分表達式，x則稱為積分變量）?；痉e分表（P208、P213很重要）。不定積分的線性性質(zhì)（分項積分公式）k1fx k2gxdxk1fxdxk2gxdx換元積分法則函數(shù)fx在閉區(qū)間a,b上的最小值m滿足:mminfa,Xml,Xm2，Xm3,…，Xmn，fb；【題型示例】求函數(shù)fx3xx3在1,3上的最值【求解示例】1..??函數(shù)fx在其定義域 1,3上連續(xù)，且可導2fx 3x32.令fx 3x1x1 0,。第一類換元法（湊微分）（P226）（dyfxdx的逆向應用）fxxdxfxd…，，， 1【題型示例】求二1tdxax【求解示例】x11,111,3fx00fx極小值Z極大值]解得：x1 1,x213.（三行表）- 1斛：——2dx

ax【題型示例】求【求解示例】\o"CurrentDocument"1 1x- 2d一a.xa1 -aaLrctai4.又???f12,f1 2,f3 18解：11——dx1 1-——d2x1 —1=2x1 2.2x1 2.2x、,2x—1C。第二類換元法（去根式 P216）_d2x11?.fxmax函數(shù)圖形的描繪2,fxminf3 18第三章一元函數(shù)積分學第四節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)（積分表P208/P213）。原函數(shù)與不定積分的概念⑴原函數(shù)的概念：（dyfxdx的正向應用）⑴對于一次根式（a0,bR）：vaxb:令tvaxb,于是x則原式可化為tt2b

a⑵對于根號下平方和的形式（ a0）：4ax2:令xatant（一t一）,2 2x 于是tarctan-,則原式可化為asect；a⑶對于根號下平方差的形式（a0）：a.J02X2:令xasint（一t一），2 2x 于是tarcsin—,則原式可化為acost;ab.&a^:令xasect(0t—),2a 于是tarccos-,則原式可化為atant；x1 ，，，【題型小例】求 「dx(一次根式),2x1【求解示例】1 1解： dxt122x1tdtdttC.2x1C,2x1x2t2t

dxtdt【題型示例】求 Va2x2dx（三角換元）【求解示例】22 2.aacostdt1cos2tdt2解：.a22xdxasint(2xtarcsin一adxacosttsin2tCtsintcostC2 2 2。分部積分法（P228）⑴設函數(shù)ufx,vgx具有連續(xù)導數(shù)，則其分部積分公式可表示為： udvuvvdu⑵分部積分法函數(shù)排序次序： “反、對、哥、三、指”。運用分部積分法計算不定積分的基本步驟：⑴遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序；⑵就近湊微分：（vdxdv）⑶使用分部積分公式： udvuvvdu⑷展開尾項vduvudx,判斷a.若vudx是容易求解的不定積分，則直接計算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果） ；b.若vudx依舊是相當復雜，無法通過 a中方法求解的不定積分，則重復⑵、⑶，直至出現(xiàn)容易求解的不定積分；若重復過程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù) C【題型示例】求exx2dx【求解示例】解：exx2dx2xex2_x 2xxedxxdeexdxx2ex2xd【題型示例】求【求解示例】解：exsinxdxxecosxxecosxxecosxx 2xedxxeexsinxdxxedcosx2xex2exxecosxx . xecosxdxecosxx xesinxsinxdex, xesinxesinxdx即：exsinxdxX x._ecosxesinxcosxdsinxsinxdexsinxdx【題型示例】【求解示例】-dx1xdx1_xc" ccc-esinxcosx2-dx(構(gòu)造法)11xx1 1 dxxdx—x1。定積分的定義bfxdxlima 0dx（fx稱為被積函數(shù),dxiXilnx1Cfxdx稱為被積表達式，x則稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限,a,b稱為積分區(qū)間）。定積分的性質(zhì)bfaafabxdxxdx(4)bkfxdxa（線性性質(zhì)）ak1fx k2gxdx⑸（積分區(qū)間的可加性）bfxdxa⑹若函數(shù)fduk1cfxdxax在積分區(qū)間xdxbfxdxk2abfxdxca,b上滿足bgxdxa、fx0,b貝U fxdx0;a(推論一)若函數(shù)f足fx（推論二）x、函數(shù)gx,則bfxdxagx在積分區(qū)間a,b上滿bfabbxdxgxdx;afxdx。積分中值定理（不作要求）微積分基本公式。牛頓-萊布尼茲公式（定理三）若果函數(shù)Fx是連續(xù)函數(shù)fx在區(qū)間a,b上的一個原函數(shù)，則bfxdxFa。變限積分的導數(shù)公式（上上I~~A卜下導）dx【題型示例】lxm01t2e出cosx【求解示例】解:叫ecosx2xt20dt0limdxcosxt2dtelim一cos2xsinx2xsinxlim x02cosxe2x2 1 12 1解： dx- d2x102x1 202x11ln5ln12ln5⑵（第二換元法）設函數(shù)fxCa,b,函數(shù)x1 22ln2x10t滿足:a. ,,使得a,b;b.在區(qū)間，或，上，ft,t連續(xù)b則：fa【題型示例】求dxdtdxj4x2斛： dx0.2x1 t2tJ2F^0,x—x0,t14,t3t23^221tdx3t23 t1tdtt23dt3t33x22⑶（分部積分法）buabuaxvxdxxdvx。偶倍奇零dxbvxdua設fxCa,a,則有以下結(jié)論成立:00limLx0d cos2x一sinxedx⑴若fxa afx,則fxdx2fxdxa 02x2

cos2x .cosxesinxlim x0 -2cos2x—?e2sinxcosxa⑵若fxfx,貝U fxdx0a第四節(jié)定積分的應用（P248）1limc°S2Xesinxcosx2sinxcosx1、直角坐標系情形設平面圖形由上下兩條曲線左右兩條直線xa與xb所圍成yf上(x)與yf下(x)及2e第五節(jié)定積分的換元法及分部積分法。定積分的換元法⑴（第一換元法）dx【題型示例】02x1dx面積增量的近似值為它也就是面積元素bSa[f上(x)f下[f上(x)f下(x)]dxX-型區(qū)域【求解示例】高數(shù)復習高數(shù)復習高等數(shù)學期末復習資料 第高等數(shù)學期末復習資料 第9頁(共9頁)例1/