2009年第一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽(非數(shù)學(xué)類)試卷及答案

PAGE1PAGE12009年第一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽（非數(shù)學(xué)類）試卷一、填空題(本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分)：

D

y)ln

+y= D x+= D x+y=1-x-ydx1-x-y軸所圍三角形區(qū)域.設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，滿足f(x)=2-ò2f-2，則f(x)= .0

曲面zx22

+y2-2 平行平面+-z=0的切平面方程是 .d2y= .dx2f?e第二題：(5分)求極限x0lim?ex+e2x+n+enxxd2y= .dx2f?e第二題：(5分)求極限x0lim?ex+e2x+n+enxx，其中n是給定的正整數(shù).第三題：(15分)設(shè)函數(shù) f)連續(xù),g(x)=ò1f(xt)dt，且0gx)并討論gx)在x=0處的連續(xù)性.limf(x)AA為常數(shù)，求x0xPAGE2PAGE2第四題：(15分)已知平面區(qū)域Dy|0￡x￡π0￡y￡L為D的正向邊界，試證：(1)xesinydy-y-sinxdx=x-sinydy-yesinxd;L L)xesinydy-yesinxdx352.2L第五題：(10分)第五題：(10分)已知y1=xex+e2x ，y =xex+e-x ，y2xexe2x是某二階3常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解，試求此微分方程.PAGE3PAGE3第六題：(10分)設(shè)拋物線y=ax2+bx+2lnc過原點(diǎn)，當(dāng)0￡x￡1時(shí)，y30，又已知該拋物線與x軸及直線x=1所圍圖形的面積為 1.試確定a,b,c 使此圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而成3的旋轉(zhuǎn)體的體積V最小.第七題：(15第七題：(15已知ux)滿足u￠x)=ux)+xnex（n為正整數(shù)，且u(1)=e，nnnnn求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?￥u(x)之和.nn=1PAGEPAGE4第八題：(10求x1

￥時(shí)，與? xn2等價(jià)的無窮大量.n=0PAGE2PAGE22009年第一屆初賽（非數(shù)學(xué)類）試卷及參考答案一、填空題(本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分)：11xy

y)ln

+yx計(jì)算D

dxdy= ，其中區(qū)域D由直線xy1與兩坐標(biāo)軸所圍三角形區(qū)域.

1x y 1u2 11x 【參考答案】令

=u,1+xx,u,Duvx=u,v|0<u,1v<x=yuyvvv1v21u2v2=u2v2vx,,v1v2， y+y)ln+ 1xx=(1u2)lnu，所以由二重積分換元法的積分變換公式，原積分也就等于 yD+y)ln1xxdxdy 2=D(1 u22lnvv2dudv

=v,解得x=v

,y=vuv=21(1u22du+lnvdv=2

161= .0 1 v2

15 15f(x是連續(xù)函數(shù)，滿足f(x3x2

2f2，則f(x)= .0令A(yù)

2f(x)dx，f(x)=3x22A 0 23x22Adx0

x3

Ax0

=84=4所以A4A

4，代入所設(shè)函數(shù)表達(dá)式，得3f(x)=3x22A=3x224=3x210.曲面z

3 3x2+y22 平行平面+z=0的切平面方程是 .2n【參考答案】曲面在任意點(diǎn)x,y,z處的法向量可以取為n

=f,f,=x,,。平面S x ynππz0的法向量為nπ

=2,2,。于切平面的法向量與平面π的法向量平行，也就有

//nnS nn

=x,,//2,2,)所以x

1 =，即=

y1，得x2,y1，2 2 1 2(

)x2 z2,1

= +y222

=2+12=1( ( nS因此，所求的平面即為經(jīng)過點(diǎn)(2,1,1)，法向量為nS

2,1=2,2,1的平面，于是有平面的點(diǎn)法式方程，有1)0，展開化簡(jiǎn)后有z50.設(shè) y=y(x)由方程 xef(y)=eyln29確定，其中 f具有二階導(dǎo)數(shù)，且 f1，則d2ydx2

= .f【參考答案】對(duì)等式兩端分別關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)，efxeff

yy

x

)=eyyxln29。因?yàn)閤ef(y)

eyln29

yx

1f

ef(y)yeyln29d2y

=yx=

ef

( dx2

ey1f

yln29efye

xeyx

(1fy (

fy)ey1f

(xyxy=

ey1fy2ln29 =efy)fyyxy1fyefy)yx1fyfy

/y1fy2ln29}f

()() (

()}e y=

2fyf2y1+fyey1fy2ln29()

ef(y)代入一階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式y(tǒng)

x =1f

yeyln29，有y=

e2fy)2f

yf

1+f

(y)}ey1fy3ln229由原等式xef(y

eyln29

e2f)

efy) =

=1，所以=eyln229 eyln29 x2=y=

2fyf2y1+fy)x21fy3

[1fy)2+fyx2[1fy)3 elimex+ex++enxx第二題：(5分)求極限

x0nlne exe2xenxln

lim

，其中n是給定的正整數(shù).lne exe2xenxln 【參考答案原式=limex x0

=ex0x n 由洛必達(dá)法則，有elnex+ex++enx)lnnlimx0

=limx0

+++nenxex+e2x++enx=e(1+2++n)=n+1eex于是lim

n 2e+ex++enx

n+1e=e2 .ex0n 第三題：(15分)設(shè)函數(shù) f

g(x

1f(xt)dt，且 limf(x)=A,A為常數(shù)，求0gx)并討論gx)在x=0處的連續(xù)性.

x0 x

xf(u)du【參考答案由題設(shè)，知f(0)=0，g(0)=0.令u=xt，得g(x)=

x 0)，gx)=

xf(x)

xf(u)d0

(x0)xf

x2f(x) A由導(dǎo)數(shù)定義有g(shù)(0)=lim 0x0 x2

=limx0

=2.由于limgx)=

xf(x)xf0x0

x0 x2f(x)xff(x)xfAAx0 x x0 x從而知gx)在x=0處連續(xù).

=A = =g2 2第四題：(15已知平面區(qū)域D{(xy|0xπ0yπ}，L為D的正向邊界，試證：PAGE5PAGE5(1)

xesinydy

dx

xesinydy

dL L(2)

xesin2L2

dyyesin

dx

5π2.【參考證法一】由于區(qū)域D為一正方形，可以直接用對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法計(jì)算.左邊=

ππesinydy

0πesinxdx=

π(esinx+esinx)dx，右邊=

0ππesinydy

π0πesinxdx=

0π(esinx+esinx)dx，0 π 0所以xesinydyyesinxdx=xesinydyyesinxdx.L L由于esinx+esinx2+sin2x ，xesinL

dyyesin

dx=

π(esin0

+esinx)dx

5π22【參考證法二】(1)根據(jù)格林公式，有xesinydyyesinxdx=(esiny+esinx)dσLeLL

dyyesin

dx=DDD

(esiny+esinx)dσ因?yàn)殛P(guān)于y=x 對(duì)稱，所以(esiny+esinx)dσ=D 故 xesinydyyesinxdx=xesinD L L

(esiny+esinx)dσ，dyyesinxdx.(2)由et

+

=n

t2n(2n)!

2+t2，.L

xesin

dyyesin

dx=D

(esiny+esinx)dσ=D

(esinx+esinx

5π2.21第五題：(10分已知y =1

+e2x

，y =2

+

，y =3

+e2x

是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解，試求此微分方程.【參考解法】根據(jù)二階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)的有關(guān)知識(shí)，由題設(shè)可知：e2x與ex是相應(yīng)齊次方程兩個(gè)線性無關(guān)的解，且xex是非齊次的一個(gè)特解.因此可以用下述兩種解法。【解法一：故此方程式y(tǒng)yy=fx)。將y=xex 代入上式，得fx)=xexxexxex=ex+xexexxexxex=exxex因此所求方程為yyy=

2xex.【解法二】故y=xex

+ce2x1

c，是所求方程的通解，由2y=ex+xex+e2xc，y=e2x+c++xex1 2 1 212消去c,c 得所求方程為yy=ex2xex.12第六題：(10設(shè)拋物線yax2bx2lnc過原點(diǎn)，當(dāng)0x1時(shí)，y0，又已知該拋物線與x軸及直線x=1V最小.

1.試確定a,b,c使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成3【參考答案】因拋物線過原點(diǎn)，故c=1，由題設(shè)有12+=a+

=1.即

b=2(1a)，0 3 2 3 3V=π12bx)2dx=π[1a21ab+1b2]0 5 2 3=π[1a2+1a(1a)+14(1a)2].5 3 3 9令dv=2a

12a

8(1a)]0，得a

，代入 b的表達(dá)式 得b=3.da 5 3 3 27 4 2所以y0。d又因

=22

8]=

4 π0a5,b

3,c=1da2時(shí)，體積最小.

a4

5 3 27 135 4 2n第七題：(15分)已知un

(x)滿足un

x)=un

x)+xnex（n為正整數(shù)，且un

(1)=e，n求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

nn=1

(x)之和.n【參考答案】先解一階常系數(shù)微分方程un

x)un

(x)=xn1ex通解為dx

dx

xn ux)=e