(完整)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法

第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法要求：理解多元函數(shù)極值的概念，會用充分條件判定二元函數(shù)的極值,會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值.重點(diǎn)：二元函數(shù)取得極值的必要條件與充分性判別法，拉格朗日乘數(shù)法求最值實(shí)際問題。難點(diǎn)：求最值實(shí)際問題建立模型，充分性判別法的證明。作業(yè)：習(xí)題8－8（）問題提出：在實(shí)際問題中，往往會遇到多元函數(shù)的最大值,最小值問題，與一元函數(shù)相類似，多元函數(shù)的最大值，最小值與極大值，極小值有密切的關(guān)系，因此以二元函數(shù)為例,先來討論多元函數(shù)的極值問題．一．多元函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)的所有，如果總有,則稱函數(shù)在點(diǎn)處有極大值；如果總有，則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值．函數(shù)的極大值,極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)．例1．函數(shù)在點(diǎn)處不取得極值,因?yàn)樵邳c(diǎn)處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)總有使函數(shù)值為正的點(diǎn),也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)．例2．函數(shù)在點(diǎn)處有極小值．．因?yàn)閷θ魏螐膸缀紊峡?，點(diǎn)有是開口朝上的橢圓拋物面的頂點(diǎn),曲面在點(diǎn)處有切平面,從而得到函數(shù)取得極值的必要條件．定理1（必要條件)設(shè)函數(shù)即在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零,,．證明不妨設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有極大值，依定義,在該點(diǎn)的鄰域上均有，成立．特別地，取而的點(diǎn)，有也有成立．這表明一元函數(shù)在處取得極大值，因而必有．類似地可證．幾何解釋若函數(shù)程為在點(diǎn)取得極值，那么函數(shù)所表示的曲面在點(diǎn)處的切平面方是平行于坐標(biāo)面的平面．類似地有三元及三元以上函數(shù)的極值概念，對三元函數(shù)也有取得極值的必要條件為，，說明上面的定理雖然沒有完全解決求極值的問題，但它明確指出找極值點(diǎn)的途徑，即只要解方程組，求得解的駐點(diǎn)．，那么極值點(diǎn)必包含在其中，這些點(diǎn)稱為函數(shù)注意1．駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如在點(diǎn)．怎樣判別駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢？下面定理回答了這個問題．定理2（充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù),且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，，令，,，則（1）當(dāng)時，函數(shù)在點(diǎn)取得極值,且當(dāng)時，有極大值，當(dāng)時，有極小值；（2）當(dāng)時，函數(shù)時，函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)沒有極值；（3）當(dāng)可能有極值，也可能沒有極值，還要另作討論．求函數(shù)極值的步驟:（1)解方程組，，求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)；（2）對于每一個駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值；（3）確定的符號,按定理2的結(jié)論判定是否是極值，是極大值還是極小值；（4）考察函數(shù)是否有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),若有加以判別是否為極值點(diǎn)．例3．考察解因?yàn)槭欠裼袠O值．，在處導(dǎo)數(shù)不存在，但是對所有的，均有，所以函數(shù)在點(diǎn)取得極大值．注意2．極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)，若對可導(dǎo)函數(shù)而言，怎樣?例4．求函數(shù)的極值．解先解方程組，求得駐點(diǎn)為，再求出二階偏導(dǎo)函數(shù)，，．在點(diǎn)處，,又,所以函數(shù)在點(diǎn)處有極小值為;在點(diǎn)在點(diǎn)處，，所以不是極值；不是極值；處,，所以，又在點(diǎn)．處，，所以函數(shù)在點(diǎn)處有極大值為二．函數(shù)的最大值與最小值求最值方法：將函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的全部極值點(diǎn)求出;在邊界上的最值;即分別求一元函數(shù)⑵求出，的最值;將這些點(diǎn)的函數(shù)值求出，并且互相比較，定出函數(shù)的最值．實(shí)際問題求最值根據(jù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)的最值一定在區(qū)域的內(nèi)部取得，而函數(shù)在內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，那在上的最值．么可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)例4．求把一個正數(shù)分成三個正數(shù)之和,并使它們的乘積為最大．解設(shè)分別為前兩個正數(shù)，第三個正數(shù)為，問題為求函數(shù)因?yàn)樵趨^(qū)域：，,內(nèi)的最大值．，，解方程組，得,．由實(shí)際問題可知,函數(shù)必在內(nèi)取得最大值,而在區(qū)域內(nèi)部只有唯一的駐點(diǎn),則函數(shù)必在該點(diǎn)處取得最大值，即把分成三等份，乘積另外還可得出，若令最大．，則即．三個數(shù)的幾何平均值不大于算術(shù)平均值．例5．由一寬為的長方形鐵板，把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽,問怎樣折法才能使斷面的面積最大？解設(shè)折起來的邊長為,傾斜角為,那么梯形斷面的下底長為,則斷面面積，上底長為，高為即，D：，，下面是求二元函數(shù)在區(qū)域：，上取得最大值的點(diǎn)．令由于，上式為將代入（2)式得，再求出，則有，于是方程組的解是，．在考慮邊界，當(dāng)所以時，函數(shù)為的一元函數(shù)，求最值點(diǎn)，由，得．，．根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在，并且在區(qū)域：，內(nèi)取得，通過計(jì)算得知時的函數(shù)值比，，時函數(shù)值為小，又函數(shù)在內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，因此可以斷定，當(dāng)時，就能使斷面的面積最大．三．條件極值，拉格朗日乘數(shù)法引例求函數(shù)的極值．該問題就是求函數(shù)在它定義域內(nèi)的極值,前面求過在取得極小值；若求函數(shù)在條件下極值，這時自變量受到約束，不能在整個函數(shù)定義域上求極值，的直線上求極值，前者只要求變量在定義域內(nèi)變化，而沒有其他附加而只能在定義域的一部分條件稱為無條件極值，后者自變量受到條件的約束，稱為條件極值．如何求條件極值？有時可把條件極值化為無條件極值，如上例從條件中解出，代入中，得值為成為一元函數(shù)極值問題,令，得，求出極．但是在很多情形下,將條件極值化為無條件極值并不這樣簡單，我們另有一種直接尋求條件極值的方法，可不必先把問題化為無條件極值的問題,這就是下面介紹的拉格朗日乘數(shù)法．利用一元函數(shù)取得極值的必要條件．求函數(shù)在條件下取得極值的必要條件．若函數(shù)在取得所求的極值，那么首先有．假定在的某一鄰域內(nèi)函數(shù)與均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且．有隱函數(shù)存在定理可知，方程確定一個單值可導(dǎo)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，將其代入函數(shù)中，得到一個變量的函數(shù)于是函數(shù)在取得所求的極值,也就是相當(dāng)于一元函數(shù)在取得極值．由一元函數(shù)取得極值的必要條件知道，而方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．將上式代入因此函數(shù)中，得，在條件下取得極值的必要條件為．為了計(jì)算方便起見,我們令，則上述必要條件變?yōu)?，容易看出，上式中的前兩式的左端正是函?shù)的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)在的值，其中是一個待定常數(shù)．下的可能的極值點(diǎn)．,（為常數(shù)）拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)在條件⑴構(gòu)成輔助函數(shù)⑵求函數(shù)對，對的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，解方程組得,其中就是函數(shù)在條件下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)；如何確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？在實(shí)際問題中往往可根據(jù)實(shí)際問題本身的性質(zhì)來判定．拉格朗日乘數(shù)法推廣求函數(shù)在條件,下的可能的極值點(diǎn)．構(gòu)成輔助函數(shù)其中為常數(shù),求函數(shù)對的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，解方程組得就是函數(shù)在條件，下的極值點(diǎn)．注意:一般解方程組是通過前幾個偏導(dǎo)數(shù)的方程找出之間的關(guān)系，然后再將其代入到條件中，即可以求出可能的極值點(diǎn)．例6。求表面積為而體積為最大的長方體的體積．解設(shè)長方體的三棱長分別為，則問題是在條件下，求函數(shù)的最大值．構(gòu)成輔助函數(shù),求函數(shù)對偏導(dǎo)數(shù)，使其為，得到方程組由，得，由，得，,即有，可得,，將其代入方程．中,得這是唯一可能的極值點(diǎn)，因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在，所以最大值就是在這可能的極值點(diǎn)處取得,即在表面積為例7．試在球面解設(shè)的長方體中，以棱長為上求出與點(diǎn)的正方體的體積為最大,最大體積為距離最近和最遠(yuǎn)的點(diǎn)．距離為．為球面上任意一點(diǎn)，則到點(diǎn)但是,如果考慮，則應(yīng)與有相同的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn),為了簡化運(yùn)算，故取，又因?yàn)辄c(diǎn)在球面上，附加條件為．構(gòu)成輔助函數(shù)求函數(shù)對．偏導(dǎo)數(shù),使其為,得到方程組從前三個方程中可以看出來，有均不等于零（否則方程兩端不等）,以作為過渡,把這三個方程聯(lián)系