二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型題目

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型題目一.定義：一般地，如果'■■'■■■是常數(shù)那么’叫做■，的二次函數(shù)?二次函數(shù)的圖象是拋物線，所以也叫拋物線y=ax2+bx+c；拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱且以對(duì)稱軸為界，一半圖象上坡，另一半圖象下坡；其中c叫二次函數(shù)在y軸上的截距，即二次函數(shù)圖象必過(0,c)點(diǎn).二?二次函數(shù)'的性質(zhì)拋物線''的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是’軸.函數(shù)'的圖像與-「的符號(hào)關(guān)系.①當(dāng):?’時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng):?’「時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是’軸的拋物線的解析式形式為'八y=ax2(aH0)可以經(jīng)過補(bǔ)0看做二次函數(shù)的一般式，頂點(diǎn)式和雙根式，即：y=ax2+0x+0,y=a(x-0)2+0,y=a(x-0)(x-0).例題精析：二次函數(shù)的概念，二次函數(shù)y=ax2(aHO)的圖象性質(zhì)二次函數(shù)的一般式為y=ax2+bx+c(aH0)。強(qiáng)調(diào)aH0?而常數(shù)b、c可以為0,當(dāng)b,c同時(shí)為0時(shí)，拋物線為y=ax2(aH0)。此時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為(0，0)，對(duì)稱軸是y軸，即直線x=0。例：已知函數(shù)｝v是關(guān)于X的二次函數(shù)，求：滿足條件的m值；m為何值時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)?求出這個(gè)最低點(diǎn).這時(shí)當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而增大?m為何值時(shí)，函數(shù)有最大值?最大值是什么?這時(shí)當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而減小？解：⑴使■-：1''：-是關(guān)于x的二次函數(shù)，貝Vm2+m—4=2,且m+2H0，即：m2+m—4=2，m+2H0，解得；m=2或m=—3，mH—2拋物線有最低點(diǎn)的條件是它開口向上，即m+2>0,函數(shù)有最大值的條件是拋物線開口向下，即m+2V0。練習(xí)：已知函數(shù)■-是二次函數(shù)，其圖象開口方向向下，則m=，頂點(diǎn)為，當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小。2、用配方法求拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸；拋物線的畫法，平移規(guī)律拋物線的一般式與頂點(diǎn)式的互化關(guān)系：y=ax2+bx+cy=a（x+）2+平移規(guī)律如下圖：燉上唯3/1￥榔￡比單社”口品好］創(chuàng)上-FIq練習(xí)：⑴拋物線y=x2+bx+c的圖象向左平移2個(gè)單位。再向上平移3個(gè)單位，得拋物線y=x2—2x+l，求：b與c的值。（2）通過配方，求拋物線y=x2—4x+5的開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，再畫出圖象。3．知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)，綜合應(yīng)用。例：如圖，已知直線AB經(jīng)過x軸上的點(diǎn)A（2，0），且與拋物線y=ax2相交于B、C兩點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）。（1）求直線和拋物線的解析式；（2）如果D為拋物線上一點(diǎn)，使得△AOD與厶OBC的面積相等，求D點(diǎn)坐標(biāo)。點(diǎn)評(píng)：（1）直線AB過點(diǎn)A（2，0），B（1，1），代入解析式y(tǒng)=kx+b，可確定k、b，拋物線y=ax2過點(diǎn)B（1，1），代人可確定a。求得：直線解析式為y=—x+2，拋物線解析式為y=x2。（2）由y=—x+2與y=x2，先求拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（一2，4），SAOBC=SAABC—SAOAB=3。???S^AOD=S^OBC，且OA=2???D的縱坐標(biāo)為3又???D在拋物線y=x2上，

?°?x2=3，即?°?x2=3，即x=±D(—,3)或(,3)練習(xí)：函數(shù)y=ax2(aH0)與直線y=2x—3交于點(diǎn)A(l,b),求：a和b的值；求拋物線y=ax2的頂點(diǎn)和對(duì)稱軸；x取何值時(shí)，二次函數(shù)y=ax2中的y隨x的增大而增大，求拋物線與直線y=—2兩交點(diǎn)及拋物線的頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積。

課堂作業(yè)一、填空。TOC\o"1-5"\h\z若二次函數(shù)y=(m+l)x2+m2—2m—3的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，貝Vm=。函數(shù)y=3x2與直線y=kx+3的交點(diǎn)為(2,b),貝Vk=,b=拋物線y=—(x—1)2+2可以由拋物線y=—x2向方向平移個(gè)單位,再向方向平移個(gè)單位得到。4.用配方法把y=—x2+x—化為y=a(x—h)2+k的形式為y=,其開口方向,對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為。3.下列圖象中，當(dāng)3.下列圖象中，當(dāng)ab>0時(shí)，函數(shù)y=ax2與y=ax+b的圖象是()二、選擇。1.函數(shù)A.m、ny—(mn)x2+mx+n是二次函數(shù)的條件是()是常數(shù)，且mH0B.m、n是常數(shù)，且mHnC.m、n是常數(shù)，且nH0D.m、n可以為任意實(shí)數(shù)2.直線y—mx+1與拋物線y-二2x2—8x+k+8相交于點(diǎn)(3，4)，則m、k值為()A.B.C.D.三、解答題[.函數(shù)+<a—3)x+a當(dāng)a取什么值時(shí)，它為二次函數(shù)。當(dāng)a取什么值時(shí)，它為一次函數(shù)。

二次函數(shù)-■■的圖像是對(duì)稱軸平行于(包括重合)’軸的拋物線.二次函數(shù)""-■■用配方法可化成：‘皿川丄的形式，其中斗-斗-/?'二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①」八；②''；6?拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).「的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)：■':;時(shí)，開口向上；當(dāng)：|?時(shí)，開口向下；M相等，拋物線的開口大小、形狀相同.平行于’軸(或重合)的直線記作'.特別地，‘軸記作直線'i：.7?頂點(diǎn)決定拋物線的位置?幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)-「相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.陽(yáng)匚一b：陽(yáng)匚一b：務(wù)，???頂點(diǎn)是y-ax"+/ja+務(wù)，???頂點(diǎn)是(1)公式法：(丄卯_用)，對(duì)稱軸是直線配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為人的形式,得到頂點(diǎn)為(■'',^)，對(duì)稱軸是直線孑八；?運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.9?拋物線"■"■■中，u的作用?；決定開口方向及開口大小，這與」中的「完全一樣.二和「共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置?由于拋物線'-八"-■■的對(duì)稱軸是直線bbK———,0",故：①X）時(shí)，對(duì)稱軸為1軸；②二（即'、門同號(hào)）時(shí),

對(duì)稱軸在’軸左側(cè)；③■:,（即異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在’軸右側(cè).（3）「的大小決定拋物線…小密與’軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)：「時(shí)，‘：???拋物線'一""-■■與’軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0,'）：①c=°，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②c>°,與尸軸交于正半軸；③c<°,與尸軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立?如拋物線的對(duì)稱軸在F軸右—側(cè)，則^?幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)當(dāng):;::時(shí)開口向上(0,■：■)(；\,0)開口向下C；,?：■)'■匚（'函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)當(dāng):;::時(shí)開口向上(0,■：■)(；\,0)開口向下C；,?：■)'■匚（'軸）'■匚（'軸）b^ac-b~.■'-；：?)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aHO）的圖象及幾個(gè)重要點(diǎn)的公式:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aHO)中，a、b、c與△的符號(hào)與圖象的關(guān)系：a>0<=>拋物線開口向上；a<0<=>拋物線開口向下；c>0<=>拋物線從原點(diǎn)上方通過；c=0<=>拋物線從原點(diǎn)通過；c<0<=>拋物線從原點(diǎn)下方通過；a,b異號(hào)〈二〉對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)；a,b同號(hào)〈二〉對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)；b=0<=>對(duì)稱軸是y軸；(4)A>0<=>拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；A=0<=>拋物線與X軸有一個(gè)交點(diǎn)(即相切)A<0<=>拋物線與X軸無交點(diǎn).用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式一般式：’-"'■-?已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì),’的值，通常選擇一般式.頂點(diǎn)式：小二已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.交點(diǎn)式：已知圖像與■■軸的交點(diǎn)坐標(biāo)■■■、'■,通常選用交點(diǎn)式：F二H).直線與拋物線的交點(diǎn)軸與拋物線rLn得交點(diǎn)為(0,「).與‘軸平行的直線：與拋物線'"-■■有且只有一個(gè)交點(diǎn)(力，引」；十臼仃十<?).拋物線與蒔由的交點(diǎn)二次函數(shù)""■-的圖像與?，軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)’■、、■,是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根?拋物線與'?軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)3"2拋物線與工軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在,?軸上)-」-拋物線與'?軸相切；沒有交點(diǎn)-；拋物線與'?軸相離.平行于'■軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn)?當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為匸，則橫坐標(biāo)是八宀?「的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.一次函數(shù)曲"的圖像匚與二次函數(shù)'宀""的圖像y=丄r+打「??的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)?'與「??有兩個(gè)交點(diǎn)；②方程組只有一組解時(shí)?'與■只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無解時(shí)■■與「??沒有交點(diǎn).拋物線與'軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線1—八'心丁與、軸兩交點(diǎn)為「」「?：」■：，由于'、、'、是方程.■■■■|?的兩個(gè)根，故例題精析1、用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式．例：根據(jù)下列條件，求出二次函數(shù)的解析式。⑴拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(0,1),(1,3),(—1,1)三點(diǎn)。拋物線頂點(diǎn)P(—1,—8)，且過點(diǎn)A(0,—6)。已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(3,0),(2,-3)兩點(diǎn)，并且以x=1為對(duì)稱軸。已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過一次函數(shù)y=—3/2x+3的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)；且過(1,1),求這個(gè)二次函數(shù)解析式，并把它化為y=a(x—h)2+k的形式。提示：二次函數(shù)解析式常用的有三種形式：⑴一般式：y=ax2+bx+c(aH0)頂點(diǎn)式：y=a(x—h)2+k(aH0)兩根式：y=a(x—x1)(x—x2)(aH0)當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c形式。當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)與拋物線上另一點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x—h)2+k形式。當(dāng)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)為兩根式y(tǒng)=a(x—x1)(x—x2)2、知識(shí)點(diǎn)串聯(lián),綜合應(yīng)用(2)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，若點(diǎn)M在第四象限內(nèi)的拋物線上，且OM丄BC,垂足為D,求點(diǎn)M的坐標(biāo)。提示：(1)求拋物線解析式，只要求出A、B，C三點(diǎn)坐標(biāo)即可，設(shè)y=x2—2x－3。拋物線的頂點(diǎn)可用配方法求出，頂點(diǎn)為(1，—4)。由|OB|=|OC|=3又OM丄BC。所以，OM平分ZBOC設(shè)M(x，—x)代入y=x2—2x—3解得x=因?yàn)镸在第四象限：???M(，)(此題為二次函數(shù)與一次函數(shù)的交叉問題，涉及到了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；等腰三角形三線合一等性質(zhì)應(yīng)用，求M點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)應(yīng)考慮M點(diǎn)所在象限的符號(hào)特征，抓住點(diǎn)M在拋物線上，從而可求M的求標(biāo)。)練習(xí)；已知二次函數(shù)y=2x2—(m+1)x+m—1。求證不論m為何值，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)，并指出m為何值時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)圖象過原點(diǎn)，并指出此時(shí)函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)。(3)若函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第四象限，求m的取值范圍。課堂作業(yè)一、填空。如果一條拋物線的形狀與y=—x2+2的形狀相同，且頂點(diǎn)坐標(biāo)是(4，—2)，則它的解析式是。開口向上的拋物線y=a(x+2)(x—8)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，若ZACB=90。，則a=。已知拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=2，且過(3,0),則a+b+c二、選擇。a>0，bc>0B.aVO，bcVOC.a>O，bcVOD.aV1.)A.0，bc>0y=ax2+bx+c圖象如圖(2)所示，那么函數(shù)解析式為:/b\■a>0，bc>0B.aVO，bcVOC.a>O，bcVOD.aV1.)A.0，bc>0y=ax2+bx+c圖象如圖(2)所示，那么函數(shù)解析式為:/b\■/\?\■2.已知二次函數(shù)()A.y=—x2+2x+3B.y=x2—2x—3C.y=—x2—2x+3D.y=—x2—2x—3若二次函數(shù)y=ax2+c，當(dāng)x取xl、x2(xlHx2)時(shí)，函數(shù)值相等，則當(dāng)x取x1+x2時(shí)，函數(shù)值為()a+cB.a－cC.－cD.c已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象如圖⑶所示，下列結(jié)論中：①abc>0，②b=2a:③a+b+cVO，④a—b+c>0，正確的個(gè)數(shù)是()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)三、解答題。已知拋物線y=x2—(2m—1)x+m2—m—2。證明拋物線與x軸有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，分別求出拋物線與x軸交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)xA、xB，以及與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)yc(用含m的代數(shù)式表示)設(shè)厶ABC的面積為6,且A、B兩點(diǎn)在y軸的同側(cè)，求拋物線的解析式。3.二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用(1).何時(shí)獲得最大利潤(rùn)問題。例1：重慶市某區(qū)地理環(huán)境偏僻，嚴(yán)重制約經(jīng)濟(jì)發(fā)展，豐富的花木產(chǎn)品只能在本地銷售，區(qū)政府對(duì)該花木產(chǎn)品每投資x萬元，所獲利潤(rùn)為P=－(x－30)2＋10萬元，為了響應(yīng)我國(guó)西部大開發(fā)的宏偉決策，區(qū)政府在制定經(jīng)濟(jì)發(fā)展的10年規(guī)劃時(shí)，擬開發(fā)此花木產(chǎn)品，而開發(fā)前后可用于該項(xiàng)目投資的專項(xiàng)資金每年最多50萬元，若開發(fā)該產(chǎn)品，在前5年中，必須每年從專項(xiàng)資金中拿出25萬元投資修通一條公路，且5年修通，公路修通后，花木產(chǎn)品除在本地銷售外，還可運(yùn)往外地銷售，運(yùn)往外地銷售的花木產(chǎn)品，每投資x萬元可獲利潤(rùn)Q=－(50－x)2＋(50—x)+308萬元。(1)若不進(jìn)行開發(fā)，求10年所獲利潤(rùn)最大值是多少?(2)若按此規(guī)劃開發(fā)，求10年所獲利潤(rùn)的最大值是多少?(3)根據(jù)(1)、(2)計(jì)算的結(jié)果，請(qǐng)你用一句話談?wù)勀愕南敕?。提示?1)若不開發(fā)此產(chǎn)品，按原來的投資方式，由P=－(x－30)2+10知道，只需從50萬元?？钪心贸?0萬元投資，每年即可獲最大利潤(rùn)10萬元，則10年的最大利潤(rùn)為Ml=10X10=100萬元。(2)若對(duì)該產(chǎn)品開發(fā)，在前5年中，當(dāng)x=25時(shí)，每年最大利潤(rùn)是：P=—(25—30)2+10=9.5(萬元)則前5年的最大利潤(rùn)為M2=9.5X5=47.5萬元設(shè)后5年中x萬元就是用于本地銷售的投資。則由Q=—(50—x)+(50—x)+308知，將余下的(50—x萬元全部用于外地銷售的投資.才有可能獲得最大利潤(rùn)；則后5年的利潤(rùn)是：M3=[—(x—30)2+10]X5+(—x2+x+308)X5=—5(x—20)2+3500故當(dāng)x=20時(shí)，M3取得最大值為3500萬元。???10年的最大利潤(rùn)為M=M2+M3=3547.5萬元查，發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元/件)可近似看做一次函數(shù)y=kx+b的關(guān)系，如圖所示。⑴根據(jù)圖象，求一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式，(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(rùn)(毛利潤(rùn)=銷售總價(jià)一成本總價(jià))為S元，①試用銷售單價(jià)x表示毛利潤(rùn)S；②試問銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該公司可獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?此時(shí)的銷售量是多少?分析：(1)由圖象知直線y=kx+b過(600,400)、(700,300)兩點(diǎn)，代入可求解析式為y=—x+1000(2)由毛利潤(rùn)S=銷售總價(jià)一成本總價(jià)，可得S與x的關(guān)系式。S=xy—500y=x?(一x+1000)—500(—x+100)=—x2+1500x—500000=—(x—750)2+62500(500VxV800)所以，當(dāng)銷售定價(jià)定為750元時(shí)，獲最大利潤(rùn)為62500元。此時(shí)，y=—x+1000=—750+1000=250,即此時(shí)銷售量為250件。最大面積是多少問題。例：某廣告公司設(shè)計(jì)一幅周長(zhǎng)為12米的矩形廣告牌，廣告設(shè)計(jì)費(fèi)為每平方米1000元，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)為x,面積為S平方米。求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)最多，并求出這個(gè)設(shè)計(jì)費(fèi)用；(3)為了使廣告牌美觀、大方，要求做成黃金矩形，請(qǐng)你按要求設(shè)計(jì)，并計(jì)算出可獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)是多少？(精確到元)(參與資料：①當(dāng)矩形的長(zhǎng)是寬與(長(zhǎng)+寬)的比例中項(xiàng)時(shí)，這樣的矩形叫做黃金矩形，②~2.236)提示：(1)由矩形面積公式易得出S=x?(6—x)=—x2+6x確定所建立的二次函數(shù)的最大值，從而可得相應(yīng)廣告費(fèi)的最大值。由S=—x2+6x=—(x—3)2+9，知當(dāng)x=3時(shí)，即此矩形為邊長(zhǎng)為3的正方形時(shí)，矩形面積最大，為9m2，因而相應(yīng)的廣告費(fèi)也最多：為9X1000=9000元。構(gòu)建相應(yīng)的方程(或方程組)來求出矩形面積，從而得到廣告費(fèi)用的大小。設(shè)設(shè)計(jì)的黃金矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為(6—x)米。則有x2=6?(6—x)解得x1=—3—3(不合題意，舍去)，x2=—3+3。即設(shè)計(jì)的矩形的長(zhǎng)為(3，3)米，寬為(9—3)米時(shí)，矩形為黃金矩形。此時(shí)廣告費(fèi)用約為：1000(3—3)(9—3)^8498(元)課堂作業(yè)1．某公司生產(chǎn)的A種產(chǎn)品，它的成本是2元，售價(jià)為3元，年銷售量為100萬件，為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是x(十萬元)時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y=—x2+x+1，如果把利潤(rùn)看成是銷售總額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)。試寫出年利潤(rùn)S(十萬元)與廣告費(fèi)x(十萬元)的函數(shù)關(guān)系式.如果投入廣告費(fèi)為10?30萬元，問廣告費(fèi)在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤(rùn)隨廣告費(fèi)的增大而增次?在(2)中，投入的廣告費(fèi)為多少萬元時(shí)，公司獲得的年利潤(rùn)最大?是多少?

有一道籬笆的長(zhǎng)方形的花圃，且花圃的長(zhǎng)可借用一段墻體（墻體的最大可使用長(zhǎng)度a=10米）。（1）如果所圍成的花圃的面積為45平方米，試求寬AB的長(zhǎng);（2）按題目的設(shè)計(jì)要求，能圍成面積比45平方米更大的花圃嗎?如果能，請(qǐng)求出最大面積，并說明圍法，如果不能請(qǐng)說明理由．典型習(xí)題1.拋物線y=x2+2x—2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（D）A.（2，－2）（1，—2）（1，—3）D.（—1，—A.（2，－2）（1，—2）（1，—3）D.（—1，—3）?已知二次函數(shù)mr的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（C）第2,3題圖第4題圖.二次函數(shù)'■11L的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（D）A.a>0，bVO，c>0B.aVO，bVO，c>0C.aVO，b>0，cVOD.aVO，b>0，c>0.如圖，已知中，BC=8，BC上的高人'，D為BC上一點(diǎn)，以⑴、，交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F（EF不過A、B）,設(shè)E到BC的距離為、■，則"八’的面積'關(guān)于■的函數(shù)的圖象大致為（D）y=-+y=-+4.Y?拋物線'-'與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)為4已知二次函數(shù)—亠：與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；(_2)，則對(duì)于下列結(jié)論：①當(dāng)x=—2時(shí)，y=1；②當(dāng)''■時(shí)，y>0；③方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根’■、：?；④'，__Jl丨4F⑤,其中所有正確的結(jié)論是①③④(只需填寫序號(hào)).7?已知直線■'■-'"1：;，1■"-與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為：M11：1'?若該拋物線過點(diǎn)B,且它的頂點(diǎn)P在直線’"'■樸上，試確定這條拋物線的解析式；過點(diǎn)B作直線BC丄AB交x軸交于點(diǎn)C,若拋物線的對(duì)稱軸恰好過C點(diǎn)，試確定直線的解析式./?-IC宀花好IDD)斗，由題意/?-IC宀花好IDD)斗，由題意將二"'代入，得頂點(diǎn)坐標(biāo)為'''/r+104-l6/r+100得丄、；4，解得欄「(2)'-----8?有一個(gè)運(yùn)算裝置，當(dāng)輸入值為x時(shí)，其輸出值為「，且「是x的二次函數(shù)，已知輸入值為-,0,時(shí)，相應(yīng)的輸出值分別為5,\1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)在所給的坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出當(dāng)輸出值「為正數(shù)時(shí)輸入值'的取值范圍.解：(1)設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為'‘宀■-,a(-2)24-帆-2)￥c-5<J'0?+￡j-0h-c=-3則I，即故所求的解析式為］-'則I，即故所求的解析式為］-'：(2)函數(shù)圖象如圖所示.由圖象可得，當(dāng)輸出值「為正數(shù)時(shí)，輸入值工的取值范圍是或.第9題9.某生物興趣小組在四天的實(shí)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫會(huì)隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同.他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下圖.請(qǐng)根據(jù)圖象回答：⑴第一天中，在什么時(shí)間范圍內(nèi)這頭駱駝的體溫是上升的？它的體溫從最低上升到最高需要多少時(shí)間?⑵第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是多少？⑶興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中10時(shí)到22時(shí)的曲線是拋物線，求該拋物線的解析式.解：⑴第一天中，從4時(shí)到16時(shí)這頭駱駝的體溫是上升的它的體溫從最低上升到最高需要12小時(shí)y-k4-（―4-3+410.已知拋物線'與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.是否存在實(shí)數(shù)a,使得△ABC為直角三角形.若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：依題意，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）.設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（'，0），C'，0），ax3+（―+3a）jr+4=0X,=-—由、，解得'”，：■4???點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-3,0），（",0）.——+9)〈i〉當(dāng)?'用代厲時(shí)，ZACB=90°.〈i〉當(dāng)?'用代厲時(shí)，ZACB=90°.

由V応，加￡小r16,.—-——4-9=25^(—-+16)得解得1()于是.川応W，一一一耳疔三空當(dāng)4時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（'，0）,「，-■,???當(dāng)」時(shí)，AABC為直角三角形.〈ii〉當(dāng)I山時(shí)，ZABC=90°.2.2（竺―色+四卜（丄二+1百）由山W?，得-—=^—=-3竝-土越?X1與點(diǎn)A重合，不合題意.當(dāng)’'；時(shí)，'■'，點(diǎn)與點(diǎn)A重合，不合題意.〈iii〉當(dāng)■■'=■■'（'?川時(shí)，ZBAC=90°.22、16=25+-由?川，得”；：；解得-.不合題意.s=綜合〈i〉、〈ii〉、〈iii〉，當(dāng)"」時(shí)，AABC為直角三角形.11.已知拋物線y=—x2+mx—m+2.若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB=廠，試求m的值；設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M、N,并且△MNC的面積等于27,試求m的值.解：(l)A(xl,0),B(x2,0).則x1,x2是方程x2—mx+m—2=0的兩根.Vx1+x2=m,xl?x2=m—2vO即mv2;又AB=|x1—x2|=「〔='.??m2—4m+3=0.O解得：m=1或m=3(舍去)，.'.m的值為1.(2)M(a,b),則N(—a,—b).???M、N是拋物線上的兩點(diǎn)，I-3■+-Fn￥2.-乩??'〔U.—a-—ms—+2=一b-、、、'.2J??①十②得：一2a2—2m+4=0.a2=—m+2.???當(dāng)mv2時(shí)，才存在滿足條件中的兩點(diǎn)M、N.這時(shí)M、N到y(tǒng)軸的距離均為「-：'：,又點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,2—m),而SAMNC=27,???2x”x(2—m)x「'=27.??解得m=—7.12?已知：拋物線’"'‘與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(—1,0).D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9求此拋物線的解析式；E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5:2的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在(2)中的拋物線上，且它與點(diǎn)A在此拋物線對(duì)稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)卩，使厶APE的周長(zhǎng)最小?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解法一(1)依題意，拋物線的對(duì)稱軸為x=—2..*拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(—1，0)，；由拋物線的對(duì)稱性，可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(一3,0).(2)T拋物線1''■'與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(—1，0),.?.釧屛I)—/=()..?.t=3a.??.尸站'十陽(yáng)盡+3洋.D(0，C(—4，3a).3a).梯形ABCD中，AB=2，CD=4.AB〃D(0，C(—4，3a).3a).梯形ABCD中，AB=2，CD=4.AB〃CD，且點(diǎn)C在拋物線_(衛(wèi)甘+CD)OD=9梯形ABCD的面積為9，(3)設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為L(zhǎng)<)?依題意，；"，'",%_5%%_5%①設(shè)點(diǎn)E在拋物線'■…「上,?二-、'?、'、?、點(diǎn)E與點(diǎn)A在對(duì)稱軸x=—2的同側(cè)，???點(diǎn)E坐標(biāo)為（-,4）.設(shè)在拋物線的對(duì)稱軸x=—2上存在一點(diǎn)卩，使厶APE的周長(zhǎng)最小.???AE長(zhǎng)為定值，???要使△APE的周長(zhǎng)最小，只須PA+PE最小.點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=—2的對(duì)稱點(diǎn)是B（—3，0），???由幾何知識(shí)可知，P是直線BE與對(duì)稱軸x=—2的交點(diǎn).設(shè)過點(diǎn)E、B的直線的解析式為，解得-解得-l._It+3直線BE的解析式為'「、]把x=—2代入上式，得-.??點(diǎn)P坐標(biāo)為（一2，）.②設(shè)點(diǎn)E在拋物線'''上，???耳一卞：解方程組.二-琉-％-二消去汗，得％4訐十3-0.△V0..此方程無實(shí)數(shù)根.綜上，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P（—2,），使△APE的周長(zhǎng)最小.解法二：

令y=0,即”-I"解得-,'???拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(一3,0).(2)由’"■■■""'；-，得D(0,3a).???梯形ABCD中，AB〃CD，且點(diǎn)C在拋物線.■''■-■上,C(—4,3a).?AB=2,CD=4.丄(沖&十梯形ABCD的面積為9,???一.解得OD=3.TOC\o"1-5"\h\z所求拋物線的解析式為’*「「或’___1_PF竺=竺?=3-由PF〃EQ，可得川」'".???-I.??點(diǎn)P坐標(biāo)為(一2,).以下同解法一.

已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo).若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)N在線段BM線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)N不與點(diǎn)B,點(diǎn)M重合)，設(shè)NQ的長(zhǎng)為1,四邊形NQAC的面點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(t,h)，，自變量t點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(t,h)，，自變量t的取值范圍是S=—X2-—/+Is與t間的函數(shù)關(guān)系式是[5丁]將厶OAC補(bǔ)成矩形，使AOAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)(不需要計(jì)算過程).解：(1)設(shè)拋物線的解析式’小"'■?一2二；/jc1工(一2)?訝=|?￥=-*-2???????其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是二'.(2)設(shè)線段BM所在的直線的解析式為’S0=2*4■權(quán)???L斗2.解得2,b=-3.Y-—A-3線段BM所在的直線的解析式為存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)是'設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為p,■"川，則;；?」?■--.〃'二（用+1屮4川，K2-mJ4-（/3+2Y-AC2=5分以下幾種情況討論：i）若ZPAC=90°，則迖■-''宀?.打=也亠一iM■2*?n）1I1界丨2]~二[nrII）'in3+5-解得：旳飛，列八I（舍去）.???點(diǎn)ii）若ZPCA=90。，則；"|耳.2.a=”,-2f?（jj?4I）34-rF=j?J+（方+2）3+仁iii）由圖象觀察得，當(dāng)點(diǎn)iii）由圖象觀察得，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),1'!'，所以邊AC的對(duì)角ZAPC不可能是直角.（4）以點(diǎn)0，點(diǎn)A（或點(diǎn)0，點(diǎn)C）為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這邊0A（或邊0C）的對(duì)邊上，如圖a，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)D（—1，一2），以點(diǎn)A，點(diǎn)C為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊AC的對(duì)邊圖a圖b已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，一1）.求這個(gè)二次函數(shù)的解析式,并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：根據(jù)題意，得a—2=—1.?a=l.?這個(gè)二次函數(shù)解析式是.

因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)圖象的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，－2），所以該函數(shù)圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn).盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分.在大橋截面1：11000的比例圖上，跨度AB=5cm,拱高0C=0?9cm,線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長(zhǎng)，DE〃AB，如