一元二次方程趣題三則

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于志洪

一、卡丹摘石榴問題

卡丹是16世紀意大利數(shù)學家、哲學家、醫(yī)生.卡丹對數(shù)學有特別愛好，曾經(jīng)奇妙地解答了如下一道頗受歐洲人愛好的數(shù)學題：

例1一群人走進果園去摘石榴，第一個人摘了1個石榴，其次個人摘了2個石榴，第三個人摘了3個石榴，以此類推，后進果園的人都比他前面的那個人多摘了1個石榴，最終這群人剛好把果園的石榴全部摘完，假如平均分派，每個人可以分到6個石榴.共有多少個人去摘石榴？

解：設這群人共有[x]人，則有1+2+3+…+[x]=[6x].根據(jù)高斯求和方法：1+2+3+

…+[100=12×100×（100+1）]，知1+2+3+…+[x]=[12x]（[x+1]），則原方程可變形為[12x]（x+1）[=6x]，整理得[x2-11x=0]，故[x]（x-11）=0，解得[x1=0]，[x2=11].很明顯[x1=0]不合題意，應舍去.

答：共有11個人去摘石榴.

二、卡丹幾何求根問題

卡丹只要稍有閑暇便從事數(shù)學研究，他對方程的解法特別感興趣.

除了用求根公式解一元二次方程外，他研究了用幾何方法求根.請看他的例子和解法.

例2試用幾何方法給出方程[x2+6x-91=0]的正根.

解：由圖中正方形和矩形面積關(guān)系可得：

[x2+2×3×x+3×3=x2+6x+9=（x+3）2].

由已知可得[x2+6x=91]，所以（[x+3]）2[=100]，兩邊開平方，得[x+3=±10].

解得[x=7]或[x=-13]（不合題意，舍去）.

他的解法奇妙、別致、別致，令人稱贊.

三、《三國演義》中周瑜的年壽

羅貫中的小說《三國演義》中的周瑜人稱周郎，不僅才華橫溢，而且一表人才，風流倜儻.有一年的中考數(shù)學試卷中，命題老師就以周瑜的年齡為題，編了一首數(shù)學詩.

這道題借用蘇軾的詩詞《念奴嬌·赤壁懷古》的頭兩句“大江東去浪淘盡，千古風流人物〞襯托出追憶古人勛業(yè)的意境，強調(diào)對古文化的閱讀理解，貫穿數(shù)學的應用，激發(fā)學子孜孜以求、報效國家的志氣，確實是一道融文、史、數(shù)的跨學科綜合創(chuàng)新試題.現(xiàn)介紹如下：

例3讀詩詞解題，算出周瑜去世時的年齡.

大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物.而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù).

個位平方與壽符，十位恰小個位三.開動腦筋算一算，多少年華屬周郎？

詩的大意你一定能理解，“而立之年〞是指30歲，就是說周瑜在30歲時當上了東吳的大都督，只惋惜英年早逝，去世時的年齡也是一個兩位數(shù)，其中個位數(shù)的平方就等于他的年齡，并且十位上的數(shù)比個位上的數(shù)小3.

解法1：設周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x-3，

故依詩意得[x2=10（x-3）+x]，即[x2-11x+30=0]，解得[x1=5]，[x2=6.]

當x=5時，周瑜的年齡為25歲，不到而立之年，不合題意，舍去;當x=6時，周瑜的年齡為36歲，符合題意.

答：周瑜逝世時的年齡為36歲.

解法2：設周瑜逝世時的年齡的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為x+3，

故依詩意得[（x+3）2=10x+x+3]，即[x2-5x+6=0]，解得[x1=2]，[x2=3.]當x