高中奧賽-薛定諤方程及其求解方法公開課一等獎(jiǎng)省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎(jiǎng)?wù)n件

薛定諤方程

內(nèi)容：

1、微觀粒子波粒二象性2、測(cè)不準(zhǔn)原理3、波函數(shù)及其物理意義4、薛定諤波動(dòng)方程

5、量子力學(xué)問題幾個(gè)簡(jiǎn)例19，普朗克，黑體輻射，輻射能量量子化19，愛因斯坦，光電效應(yīng)，光量子19，玻爾，氫原子光譜，量子態(tài)薛定諤(ErwinSchr?dinger,1887–1961)

薛定諤在德布羅意思想基礎(chǔ)上，于1926年在《量子化就是本征值問題》論文中，提出氫原子中電子所遵照波動(dòng)方程(薛定諤方程)，并建立了以薛定諤方程為基礎(chǔ)波動(dòng)力學(xué)和量子力學(xué)近似方法。薛定諤方程在量子力學(xué)中占有極其主要地位，它與經(jīng)典力學(xué)中牛頓運(yùn)動(dòng)定律價(jià)值相同。薛定諤對(duì)原子理論發(fā)展貢獻(xiàn)卓著，因而于1933年同英國(guó)物理學(xué)家狄拉克共獲諾貝爾物理獎(jiǎng)金。薛定諤還是當(dāng)代分子生物學(xué)奠基人，1944年，他發(fā)表一本名為《什么是生命——活細(xì)胞物理面貌》書，從能量、遺傳和信息方面來探討生命奧秘。奧地利著名理論物理學(xué)家，量子力學(xué)主要奠基人之一，同時(shí)在固體比熱、統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)、原子光譜及鐳放射性等方面研究都有很大成就。狄拉克（PaulAdrienMauriceDirac，1902-1984）

英國(guó)理論物理學(xué)家。1925年，他作為一名碩士便提出了非對(duì)易代數(shù)理論，而成為量子力學(xué)創(chuàng)建者之一。第二年提出全同粒子費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)方法。1928年提出了電子相對(duì)論性運(yùn)動(dòng)方程，奠定了相對(duì)論性量子力學(xué)基礎(chǔ)，并由此預(yù)言了正負(fù)電子偶湮沒與產(chǎn)生，造成認(rèn)可反物質(zhì)存在，使人們對(duì)物質(zhì)世界認(rèn)識(shí)愈加深入。他還有許多創(chuàng)見（如磁單極子等）都是當(dāng)代物理學(xué)中基本問題。因?yàn)樗麑?duì)量子力學(xué)所作貢獻(xiàn)，他與薛定諤共同取得1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。德布羅意(LouisVictorduedeBroglie,1892-1960)德布羅意原來學(xué)習(xí)歷史，以后改學(xué)理論物理學(xué)。他善于用歷史觀點(diǎn)，用對(duì)比方法分析問題。1923年，德布羅意試圖把粒子性和波動(dòng)性統(tǒng)一起來。1924年，在博士論文《關(guān)于量子理論研究》中提出德布羅意波,同時(shí)提出用電子在晶體上作衍射試驗(yàn)想法。愛因斯坦覺察到德布羅意物質(zhì)波思想重大意義，譽(yù)之為“揭開一幅大幕一角”。法國(guó)物理學(xué)家，1929年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)取得者，波動(dòng)力學(xué)創(chuàng)始人，量子力學(xué)奠基人之一。德布羅意假設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m實(shí)物粒子以速率v運(yùn)動(dòng)時(shí)，即含有以能量E和動(dòng)量P所描述粒子性，也含有以頻率n和波長(zhǎng)l所描述波動(dòng)性。德布羅意波，也叫物質(zhì)波。德布羅意公式如速度v=5.0102m/s飛行子彈，質(zhì)量為m=10-2Kg，對(duì)應(yīng)德布羅意波長(zhǎng)為：如電子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s,對(duì)應(yīng)德布羅意波長(zhǎng)為：太小測(cè)不到！X射線波段中子衍射射線衍射X例1.計(jì)算以下運(yùn)動(dòng)物質(zhì)德布羅意波長(zhǎng)(1)質(zhì)量100g,v=10m·s1運(yùn)動(dòng)小球。(2)以2.0103m·s1速度運(yùn)動(dòng)質(zhì)子。(3)動(dòng)能為1.6107J電子海森伯（W.K.Heisenberg，1901-1976）

德國(guó)理論物理學(xué)家。他于1925年為量子力學(xué)創(chuàng)建作出了最早貢獻(xiàn)，而于25歲時(shí)提出不確定關(guān)系則與物質(zhì)波概率解釋一起奠定了量子力學(xué)基礎(chǔ)。為此，他于1932年取得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。不確定關(guān)系§3.1不確定關(guān)系一、電子單縫衍射(1961年，約恩遜成功做出)電子以速度沿著y軸射向A屏，其波長(zhǎng)為，經(jīng)過狹縫時(shí)發(fā)生衍射，抵達(dá)C屏。第一級(jí)暗紋位置：x方向上，粒子坐標(biāo)不確定度為又粒子動(dòng)量不確定度為

狹縫對(duì)電子束起了兩種作用：一是將它坐標(biāo)限制在縫寬d范圍內(nèi)，一是使電子在坐標(biāo)方向上動(dòng)量發(fā)生了改變。這兩種作用是相伴出現(xiàn)，不可能既限制了電子坐標(biāo)，又能防止動(dòng)量發(fā)生改變。假如縫愈窄，即坐標(biāo)愈確定，則在坐標(biāo)方向上動(dòng)量就愈不確定。所以，微觀粒子坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)有確定值。1927年，海森堡首先推導(dǎo)出不確定關(guān)系：二、不確定關(guān)系1927年，海森堡首先推導(dǎo)出不確定關(guān)系：：x表示粒子在x方向上位置不確定范圍，px表示在x方向上動(dòng)量不確定范圍，其乘積不得小于一個(gè)常數(shù)。若一個(gè)粒子能量狀態(tài)是完全確定，即E=0，則粒子停留在該態(tài)時(shí)間為無限長(zhǎng)，t=。不確定關(guān)系數(shù)學(xué)表示與物理意義例題1：一顆質(zhì)量為10g子彈，含有200m/s速度，動(dòng)量不確定量為0.01%，問在確定該子彈位置時(shí)，有多大不確定范圍？解：子彈動(dòng)量為子彈動(dòng)量不確定量為由不確定關(guān)系，能夠得到子彈位置不確定范圍為這個(gè)不確定范圍是微不足道，可見不確定關(guān)系對(duì)宏觀物體來說，實(shí)際上是不起作用。例題2：一電子含有含有200m/s速率，動(dòng)量不確定量為0.01%，問在確定該電子位置時(shí)，有多大不確定范圍？解：電子動(dòng)量為子彈動(dòng)量不確定量為由不確定關(guān)系，能夠得到子彈位置不確定范圍為我們知道原子大小數(shù)量級(jí)為10-10m，電子則更小。在這種情況下，電子位置不確定范圍比電子本身大小要大幾億倍以上。不確定關(guān)系應(yīng)用1、估算氫原子可能含有最低能量電子束縛在半徑為r

球內(nèi)，所以按不確定關(guān)系當(dāng)不計(jì)核運(yùn)動(dòng)，氫原子能量就是電子能量：代入上式得：基態(tài)能應(yīng)滿足：由此得出基態(tài)氫原子半徑：基態(tài)氫原子能量：與波爾理論結(jié)果一致。本例還說明：量子體系有所謂零點(diǎn)能。2、求一維諧振子基態(tài)能量（P121：例3.5）§3.3波函數(shù)及其物理意義一、波函數(shù)概率密度1、平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)一個(gè)頻率為n，波長(zhǎng)為l、沿x方向傳輸單色平面波波函數(shù)為復(fù)數(shù)形式2、自由粒子波函數(shù)一個(gè)自由粒子有動(dòng)能E和動(dòng)量p。對(duì)應(yīng)德布羅意波含有頻率和波長(zhǎng)：波函數(shù)能夠?qū)懗?、波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋某一時(shí)刻出現(xiàn)在某點(diǎn)附近體積元dV中粒子概率，與波函數(shù)模平方成正比。概率密度波函數(shù)Ψ(x,y,z,t)統(tǒng)計(jì)解釋(哥本哈根解釋)：波函數(shù)模平方代表某時(shí)刻t在空間某點(diǎn)(x,y,z)附近單位體積內(nèi)發(fā)覺粒子概率，即|Ψ|2代表概率密度。波函數(shù)統(tǒng)計(jì)意義是波恩于1926年提出。因?yàn)椴ǘ髟诹孔恿W(xué)所作基礎(chǔ)研究，尤其是波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋，他與博特共享了1954年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。k加速電場(chǎng)單縫105個(gè)2×104個(gè)10個(gè)E*玻恩對(duì)波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋—哥本哈根學(xué)派(以玻爾和海森伯為首)觀點(diǎn)玻恩假定描述粒子在空間概率分布“概率振幅”概率密度例題2：光子自由平面波波函數(shù)在空間各點(diǎn)發(fā)覺光子概率相同用波方程來描寫實(shí)物粒子，依據(jù)德布羅意關(guān)系：――自由粒子波函數(shù)，描寫動(dòng)量為、能量為E自由粒子。經(jīng)典力學(xué)

位置和速度量子力學(xué)

波函數(shù)波函數(shù)表達(dá)了波粒二象性，其中E和是描寫粒子性物理量，卻處于一個(gè)描寫波函數(shù)中。2．歸一化條件因?yàn)榱Ｗ涌傇诳臻g某處出現(xiàn)，故在整個(gè)空間出現(xiàn)總幾率應(yīng)該為1：三、波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件及歸一化1．波函數(shù)必須單值、有限、連續(xù)。單值：在任何一點(diǎn)，幾率只能有一個(gè)值。有限：幾率不能無限大。連續(xù)：幾率普通不發(fā)生突變。對(duì)x、y、z分別求二次偏導(dǎo)：§3.2薛定諤方程一、薛定諤方程建立1．自由粒子薛定諤方程對(duì)t求一次偏導(dǎo)：――自由粒子薛定諤方程。三者相加：拉普拉斯算符：自由粒子:普通粒子常受到力場(chǎng)約束，用表示力場(chǎng)，則粒子在力場(chǎng)中受到力為：，假設(shè)處于這種力場(chǎng)中微觀粒子波函數(shù)為，假設(shè)仍滿足方程：

但此時(shí)則有：――處于以勢(shì)能表征力場(chǎng)中微觀粒子所滿足運(yùn)動(dòng)方程，稱之為薛定諤方程2．普通粒子薛定諤方程把E和P看做以下算符：然后作用于波函數(shù)上，就可得到薛定諤方程E為一常數(shù)二、定態(tài)薛定諤方程能量不隨時(shí)間改變狀態(tài)稱為定態(tài)。設(shè)作用在粒子上力場(chǎng)不隨時(shí)間改變，即勢(shì)能中不顯含時(shí)間t，將其代入方程：波函數(shù)分離變量：

解出：――定態(tài)波函數(shù)1．定態(tài)中E不隨時(shí)間改變，粒子有確定能量2．定態(tài)中粒子幾率密度不隨時(shí)間改變3．定態(tài)薛定諤方程3．詳細(xì)勢(shì)場(chǎng)決定粒子狀態(tài)改變情況，假如給出勢(shì)能函數(shù)詳細(xì)形式，只要我們知道了微觀粒三、薛定諤方程討論1．薛定諤方程描述了微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在勢(shì)場(chǎng)中隨時(shí)間改變規(guī)律。2．薛定諤方程是量子力學(xué)基本方程，它不能從更基本假設(shè)中推導(dǎo)出來。它正確性只有經(jīng)過與試驗(yàn)結(jié)果相一致來得到證實(shí)。子初始時(shí)刻狀態(tài)。標(biāo)準(zhǔn)上說，只要經(jīng)過薛定諤方程，就能夠求出任意時(shí)刻狀態(tài)。5．在薛定諤方程建立中，應(yīng)用了，所4．薛定諤方程中有虛數(shù)單位i，所以普通是復(fù)數(shù)形式。表示概率波，是表示粒子在時(shí)刻t、在空間某處出現(xiàn)概率。因而薛定諤方程所描述狀態(tài)隨時(shí)間改變規(guī)律，是一個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律。以是非相對(duì)論結(jié)果；同時(shí)方程不適合一切粒子，這是方程不足。例1：一個(gè)粒子在如圖所表示勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，它勢(shì)能為這種勢(shì)場(chǎng)稱為一維無限深勢(shì)阱。在一維無限深勢(shì)阱中粒子怎樣運(yùn)動(dòng)？它波函數(shù)怎樣？能量怎樣？

解：因?yàn)榱Ｗ幼鲆痪S運(yùn)動(dòng)，所以有因?yàn)閯?shì)能中不顯含時(shí)間，故用定態(tài)薛定諤方程求解。方程解為定態(tài)解所以一維定態(tài)薛定諤方程為1．方程通解(1)

所以波函數(shù)為零，即粒子不可能跑到阱外去，(2)

時(shí)，，方程為令

二階齊次微分方程，它通解為式中A、B為兩常數(shù)。

2．常數(shù)確定及能量量子化依據(jù)波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件，波函數(shù)應(yīng)連續(xù)，

，(？)當(dāng)時(shí)，表明幾率處處恒為0，即不存在粒子，這是不可能。波函數(shù)歸一化：

能量是量子化

3．討論(1)能量不能任意取值，束縛在一維無限深勢(shì)阱中粒子能量是量子。這是由薛定諤方程加上標(biāo)準(zhǔn)條件自然地導(dǎo)出，不用再做量子化假定。(2)波函數(shù)物理意義處于不一樣能級(jí)粒子，在勢(shì)阱中幾率分布不一樣。(3)實(shí)際意義：金屬內(nèi)自由電子，可看成在勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)粒子。

例2勢(shì)壘貫通粒子受到勢(shì)能為：計(jì)算粒子在三個(gè)區(qū)出現(xiàn)幾率。粒子含有能量為E，

解：設(shè)粒子在I、II、III區(qū)波函數(shù)分別為，它們滿足薛定諤方程為：

令

方程解為：依據(jù)波函數(shù)連續(xù)條件和歸一化條件能夠確定常數(shù)，結(jié)果如圖：可見，即使，粒子仍能夠穿過II區(qū)進(jìn)入III區(qū)，這種貫通勢(shì)壘效應(yīng)稱為隧道效應(yīng)。粒子從I區(qū)到III區(qū)幾率為

4.一維簡(jiǎn)諧振子勢(shì)能一維諧振子定態(tài)薛諤方程為引入無量綱參量(1)(2)漸進(jìn)方程這個(gè)方程解，但只有漸進(jìn)解滿足時(shí)，

條件，這是因?yàn)橹C振子勢(shì)是一個(gè)無限深勢(shì)阱，只存在束縛態(tài).對(duì)束縛態(tài)，在無窮遠(yuǎn)處，u必須趨于零.

(3)于是方程（3）解能夠?qū)懗?4)

將(4)代入（3）式，得到v滿足方程為

厄米（Hermite）微分方程，可用級(jí)數(shù)法求其解.普通情況下，解為一個(gè)無窮級(jí)數(shù)，

它在時(shí)漸進(jìn)解為

代入（4）所得u不能滿足束縛態(tài)邊界條件，必須使這個(gè)級(jí)數(shù)中止，即要求是一個(gè)多項(xiàng)式.級(jí)數(shù)中止條件是（5）中參數(shù)必須是奇數(shù)，即（5）（6）這時(shí)，方程（5）有一個(gè)多項(xiàng)式解（7）稱為厄米多項(xiàng)式，它表示式為

（8）前厄米多項(xiàng)式幾個(gè)為

將（6）式代入(2）式，得簡(jiǎn)諧振子能量本征值（9）簡(jiǎn)諧振子能量是量子化，只能取離散值，它能級(jí)如圖3-14所表示，通常把能級(jí)圖畫在勢(shì)能曲線

圖上.

簡(jiǎn)諧振子能級(jí)存在兩個(gè)特點(diǎn)：一是能量間距都是相同，二是n=0時(shí)，基態(tài)能量不為零，即有零點(diǎn)能，.這意味著簡(jiǎn)諧振子不可能禁止不動(dòng).這是與經(jīng)典物理學(xué)完全不一樣量子效應(yīng)，也是不確定關(guān)系直接結(jié)果.簡(jiǎn)諧振子能量為本征函數(shù)為，也就是簡(jiǎn)諧振子處于定態(tài)波函數(shù).

（10）其中，為歸一化常數(shù)，（11）第n激發(fā)態(tài)概率密度有n+1個(gè)極大值波函數(shù)和概率密度如圖3-15和圖3-163.3.1力學(xué)量平均值3.3量子力學(xué)中力學(xué)量當(dāng)測(cè)量粒子位置時(shí)候，每次所得結(jié)果可能是不一樣，但其概率密度分布是正確，也就是位置平均值是確定，如粒子位置坐標(biāo)由歸一化后，我們可求出在空間處發(fā)覺粒子平均值為概率密度為此式也可改寫為（3.61）

勢(shì)能函數(shù)，是粒子位置坐標(biāo)函數(shù)，勢(shì)能平均值

（3.62）下面來求動(dòng)量分量平均值，不過在量子力學(xué)中，依據(jù)不確定關(guān)系，動(dòng)量不可能是坐標(biāo)函數(shù)。定態(tài)波函數(shù)動(dòng)量概率密度是經(jīng)過傅里葉變換能夠建立和之間聯(lián)絡(luò)：（3.63）

（3.64）

粒子動(dòng)量平均值為（3.65）

將（3.64）式代入（3.65）式，可得到所以，假如想要用波函數(shù)來求動(dòng)量平均值，只需要把換為算符形式就行，即

（3.66）

（3.67）

進(jìn)行類似計(jì)算可得（3.68）稱為動(dòng)量算符.對(duì)應(yīng)算符為顯然，動(dòng)能（3.69）

在經(jīng)典力學(xué)中，系統(tǒng)總能量稱為哈密頓函數(shù)，它對(duì)應(yīng)算符通常稱為哈密頓算符（Hamiltonianoperator）,用表示，即（3.70）

類似地，角動(dòng)量對(duì)應(yīng)算符為（3.71）

（3.72）

角動(dòng)量算符用球坐標(biāo)表示為（3.73）

角動(dòng)量平方算符為（3.74）

量子力學(xué)三大基本假設(shè)：1.系統(tǒng)量子態(tài)用波函數(shù)來描述；2.力學(xué)量用算符來表示；3.力學(xué)量A平均值為（3.74）

3.3.2力學(xué)量本征值和本征函數(shù)力學(xué)量算符作用在波函數(shù)上等于一個(gè)數(shù)值A(chǔ)乘以上述方程稱為算符本征值方程。掃描隧道顯微鏡(ScanningTunnelingMicroscopy—STM)STM原理.0.1nm,0.01nm1986年，賓尼博士和羅雷爾與創(chuàng)造電子顯微鏡魯斯卡獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。§5.5氫原子量子力學(xué)處理一、氫原子薛定諤方程電子在原子核庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)：

定態(tài)薛定諤方程：

氫原子問題是球?qū)ΨQ問題，通常采取球坐標(biāo)系：

氫原子在球坐標(biāo)下定態(tài)薛定諤方程：

二、分離變量1．

代入方程，并用乘以兩邊：

是一個(gè)與

無關(guān)常數(shù)。

徑向方程：角方程：2．

代入方程，并用乘以兩邊：

是一個(gè)與無關(guān)常數(shù)。

三、

三方程解1．方程解方程解為：波函數(shù)單值：

波函數(shù)歸一化：2．方程解關(guān)聯(lián)勒讓德方程。求解過程中發(fā)覺，為了得到符合波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件解，必須對(duì)和加以限制：方程解為關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式：

3．方程解關(guān)聯(lián)拉蓋爾方程，方程解為關(guān)聯(lián)拉蓋爾多項(xiàng)式

玻爾半徑只要給出了、一對(duì)詳細(xì)數(shù)值，就能夠得到一個(gè)満足標(biāo)準(zhǔn)條件解。

四、H原子波函數(shù)對(duì)應(yīng)一組量子數(shù)，就能給出波函數(shù)一個(gè)詳細(xì)形式，所以確定了原子狀態(tài)。當(dāng)時(shí)，取任何值都能使R滿足標(biāo)準(zhǔn)條件解。所以正值能量是連續(xù)，相當(dāng)于自由電子與H+離子結(jié)合為原子時(shí)釋放能量。

§5.6量子力學(xué)對(duì)氫原子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描繪一、量子數(shù)物理意義1．主量子數(shù)與能量量子化當(dāng)時(shí)，能量是量子化，自然得出。2．角量子數(shù)和角動(dòng)量角子化

角動(dòng)量是量子化，自然得出。舊量子論：

當(dāng)角動(dòng)量很大時(shí)，，，二者一致，所以玻爾理論給出了近似結(jié)果。3．磁量子數(shù)m和空間量子化

個(gè)角動(dòng)量在外場(chǎng)方向分量也是量子化，即空間取向量子化，自然得出。因?yàn)檠Χㄖ@方程是非相對(duì)論，沒有導(dǎo)出自旋量子數(shù)和自旋磁量子數(shù)。

所以，在附近、內(nèi)找到電子幾率為：在球坐標(biāo)中，二、電子幾率分布：代表幾率隨角度分布；：代表幾率隨角度分布；