在高等數(shù)學概念中融入數(shù)學文化初探

在高等數(shù)學概念中融入數(shù)學文化初探〔〕:

摘要：通過對傳統(tǒng)高校高等數(shù)學授課形式的調(diào)研，并結(jié)合多年高等數(shù)學的教學經(jīng)歷，淺談在高等數(shù)學課程中比擬重要的概念融入數(shù)學史和數(shù)學文化方面的知識。以定積分概念的教學設計為例，希望通過對定積分的學習，使學生掌握"非均勻分布總量問題";的解決方法，領(lǐng)會定積分思想的同時，浸透數(shù)學文化，更好地進步學生的數(shù)學素養(yǎng)，使學生可以有開闊的視野，能從數(shù)學歷史的開展足跡中獲取營養(yǎng)和動力，全面地感受數(shù)學的科學價值、應用價值和文化價值。

關(guān)鍵詞：數(shù)學史；數(shù)學文化；定積分概念；數(shù)學素養(yǎng)

本文引用格式：韓志芳,王玉君.在高等數(shù)學概念中融入數(shù)學文化初探[J].教育現(xiàn)代化,2022,6(64):146-147.

高等數(shù)學作為大學的根底課，也是很多大學生進入大學接觸的第一門課，更肩負著傳播數(shù)學文化的責任。通過對傳統(tǒng)高校的高等數(shù)學授課方式以及傳統(tǒng)高校學生對學習高等數(shù)學的態(tài)度以及方法進展調(diào)研的研究，同時結(jié)合我們多年的高等數(shù)學教學經(jīng)歷，不斷的進展探究，在高等數(shù)學課程中的非常重要的幾個大概念諸如極限、導數(shù)、微分以及積分的教學中融入相應的數(shù)學歷史以及數(shù)學文化。本文以定積分概念的教學設計為例來對在高等數(shù)學課程授課中引入數(shù)學文化進展討論。

一局部高校高等數(shù)學中概念的授課現(xiàn)狀

一直以來幾乎所有的高校都將高等數(shù)學視為工具學科，許多概念和定理以非常僵硬，冰冷和機械的知識形式傳授給學生，教師在課堂上也只是直接將知識灌給學生【1】。阻礙了學生學習高等數(shù)學自信心的建立。這種現(xiàn)象的出現(xiàn)與教師的授課方式和方法是息息相關(guān)的。通過對一些相關(guān)教學設計研究，發(fā)如今定積分概念的引入時，很多高校在授課時都是直接拋出如何計算曲邊梯形的面積以及變速直線運動過程中在某一時間段內(nèi)走過的路程，然后直接給出定積分的定義。當代高等數(shù)學的教學注重的是要讓學生可以在學習的過程中感受知識的形成以及讓學生自己可以頭腦中建立起一套完好的知識體系，并不主要是作為工具讓學生去解決詳細的實際問題的。因此本文首先參加相關(guān)歷史背景，介紹積分思想淵源和產(chǎn)生背景以及數(shù)學家創(chuàng)造性的過程，激發(fā)學生學習這一局部知識的興趣，體會我們所學習的知識并不是冰冷的，而是一個個有血有肉的數(shù)學家日以繼夜的努力得來的，幫助學生樹立正確的數(shù)學價值觀。曲邊梯形面積和變速直線運動的路程等"非均勻分布總量問題";時，讓學生體會數(shù)學的實際應用價值。

二基于在概念中融入數(shù)學文化的教學設計的構(gòu)建

〔一〕微積分起源之背景

關(guān)于微積分起源的背景的介紹，易于激發(fā)學生的學習興趣。首先創(chuàng)設意境，引入課題。從學生都知道的牛頓的名言"假設說我比別人看得遠些，那是因為我站在巨人的肩膀上";切入，帶著學生一起理解牛頓是站在哪些巨人的肩膀上，讓學生理解數(shù)學家們創(chuàng)造性的過程，簡要介紹積分的思想淵源與背景，補充數(shù)學史的知識，點到即止，進步學生學習的興趣。

1.引入芝諾的飛矢不動悖論。古希臘的哲學家對空間和時間主要有兩種看法：時間和空間是無限可分的與時間和空間都是有限可分的。芝諾針對這兩種情況，分別提出兩個悖論，本文針對第一種選一個悖論進展說明來理解一下古人對無限是如何認知的。芝諾提出，由于箭在其飛行過程中的任何瞬間都有一個暫時的位置，所以它在這個位置上和不動沒有什么區(qū)別。引導學生一起分析錯誤原因，即時間是連續(xù)不可分割的。介紹這個悖論表達了古希臘數(shù)學家對無窮的認知，而微積分就是研究無窮的，所以這種認知對微積分本身而言意義重大。

2.拋物弓形面積。簡要介紹阿基米德計算拋物拱形面積的方法，這一局部學生在之前的學習中接觸過，所以會形成很好的互動，也能讓學生輕松理解此種方法真正成為了積分學的萌芽，但是同時也要說明這只是有限形式的窮竭法，犯了和飛矢不動悖論同樣的錯誤。

3.開普勒第二定律。簡單介紹一些相應的歷史知識，讓學生保持興趣和追求知識的好奇心，也可以理解知識出現(xiàn)的過程。學生對這一局部很感興趣，在一問一答中可以理解到知識產(chǎn)生的背景以及思想淵源，課堂效果要比之前有明顯進步。到了中世紀的西方，整個科學界最重要的課題就是研究天文?？梢哉f，在對星空的研究中產(chǎn)生了科學。當時最劇烈的爭論是"地心說";和"日心說";，這直接決定了到底圣經(jīng)更正確還是科學更正確。那怎么判斷哪個更正確呢？誰可以準確預測行星的運動軌跡，誰就正確。后來到開普勒的時候，他繼承了前人的天文觀測數(shù)據(jù)之后，就以"日心說";為假設，歸納總結(jié)出了開普勒三定律。結(jié)合課件給出開普勒第二定律，在相等時間內(nèi)，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積是相等的。要計算掃過的面積就需要有定積分的知識，同時此定律還要計算物體的運動，所以也需要定積分的知識。

這時，思想淵源有了，需求有了，就需要有人來歸納總結(jié)使之開展成一門學科了。這往往就需要一位大師。1666年，如今在科學史上被稱作奇跡年。這一年，牛頓遇到了他的蘋果。得到了萬有引力定律，在計算過程中創(chuàng)造了流數(shù)術(shù)。這是微積分的起源。與此同時，萊布尼茨從幾何的角度出發(fā)，牛頓和萊布尼茨把微積分變成一門學科。

在思想淵源與歷史背景介紹過以后，充分激發(fā)了學生的學習興趣，然后順勢引出計算曲邊梯形的面積，再結(jié)合變速直線運動物體一段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程，給出定積分的定義。

三定積分概念的引入

通過上面對歷史背景的介紹，將開普勒第二定律歸結(jié)為計算不規(guī)那么圖形的面積，從而引出曲邊梯形的面積：即如何計算由直線軸及曲線所圍成的圖形的面。此局部內(nèi)容要注意引導學生尋找計算面積的方法。通過分析，讓學生自己發(fā)現(xiàn)高中學的都是規(guī)那么圖形的面積和體積，比方說，一個長方形，面積為底乘高，高是不變的但是對曲邊梯形而言，底邊上各個點處的高全是變動的，是變量，就是高等數(shù)學要研究的內(nèi)容。提出問題：引導學生考慮我們?nèi)绾瓮ㄟ^已有的知識去研究未知的知識呢？

〔一〕假設把曲邊換成直邊能否求出面積

此問題可以鍛煉學生用知識來研究未知知識，但是同時學生也會發(fā)現(xiàn)假設用直邊圖形面積來計算曲邊梯形面積，得到的只是曲邊梯形面積的近似值，而且誤差很大。

〔二〕如何利用長方形面積來計算曲邊梯形的面積同時可以減少誤差呢

結(jié)合問題，學生會自然說出將區(qū)間分成小區(qū)間，然后在每個小區(qū)間上可以用長方形面積來計算相應小曲邊梯形面積。同時課件和板書演示，給學生更直觀的感受，印證他們的想法。同時也可以激發(fā)學生繼續(xù)考慮的興趣。

繼續(xù)分析：因為曲邊是一條連續(xù)曲線，所以每一個小曲邊梯形的高是連續(xù)變化的，當每一個小區(qū)間寬度任意小時，在這個小區(qū)間上高就可以看做是任意的，因此可以取任意點對應的函數(shù)值作為高。

〔三〕每一個小曲邊梯形的面積已經(jīng)可以求出，應如何求出原來曲邊梯形的面積

這個問題學生可以很容易答復出來，將每一個面積加起來，得到曲邊梯形面積的近似值。

〔四〕我們已經(jīng)得到曲邊梯形面積的近似值，但是如何將誤差去掉，從近似值過渡到準確值呢

學生會答復繼續(xù)分割下去，也就是要讓增加小區(qū)間的個數(shù)，即份數(shù)無窮多。這里需要和學生明確的兩點：

1.分割的小區(qū)間的份數(shù)無窮多和每一份小區(qū)間的寬度都趨于0是否一樣呢？這一局部學生會混淆，認為是一樣，需要說明一下只有在均分區(qū)間的前提下兩者才是一回事。

2.如何可以保證每一個小區(qū)間的寬度都趨于0呢？引導學生考慮，既然分割區(qū)間，那么區(qū)間長度中就一定有一個最大的，當區(qū)間長度最大值趨于零時，每一份的長度也就趨近于零了。此時得到最終的和式的極限就是曲邊梯形面積的準確值，本問題充分表達了極限思想。根據(jù)上述問題的解決過程以及結(jié)果，再拋出另外一個經(jīng)典案例，即如何計算變速直線運動的物體在一段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程。

五結(jié)語

本文的方法適用于如極限，導數(shù)，微分等這些很重要很大的概念，在這些概念的教學中都可以浸透數(shù)學文化和數(shù)學史。從極限開始，到導數(shù)，再到定積分概念的引入完成后學生對整個微積分的創(chuàng)造及開展史會有一個整體理解，除了可以收獲數(shù)學知識外，同時理解了數(shù)學文化，使學生可以承受數(shù)學精神熏陶，也可以承受其中蘊含的數(shù)學思想和方法。會讓學生明白學習是一個過程，不能一蹴而就，可以進步學生的思維才能，鍛煉意志品質(zhì)，并將這種才能和品質(zhì)遷移到學習、工作和生活各個領(lǐng)域去，在以后的工作和生活中都能隨時隨地發(fā)生作用，使學生終生受益。

參考文獻

【1】李穎.數(shù)學文化在高等數(shù)學中的缺失和改良措施[M].教育教學論壇,2022.

【2】唐琦林.淺談定積分概念的教學設計[M].讀與寫(教育教學刊),2022.

【3】呂志宇.高職院校高等數(shù)學教學形式研究[J].教育現(xiàn)