【備戰(zhàn)高考·數(shù)學(xué)專(zhuān)題練習(xí)】導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用(含解析)

高考理科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用（含解析）一、選擇題1．[2015·洛陽(yáng)統(tǒng)考]曲線f(x)＝在點(diǎn)(1，f(1))處切線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)a＝()A．1B．－1D．－7C．7答案C解析f′(x)＝又∵f′(1)＝tan＝，＝－1，∴a＝7.2．[2015·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)(二)]如圖，y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝()A．－1C．2B．0D．4答案B解析由圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率等于－，即f′(3)＝－.又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由圖可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.3．[2015·南寧適應(yīng)性測(cè)試(二)]設(shè)拋物線C：y＝x2與直線l：y＝1圍成的封閉圖形為P，則圖形P的面積S等于()A．1B.C.D.答案D解析由得x＝±1.由對(duì)稱性與圖形可知，S＝2(1×1－x2dx)＝2＝，選D.4．[2015·陜西高考]設(shè)f(x)＝x－sinx，則f(x)()A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C．是有零點(diǎn)的減函數(shù)D．是沒(méi)有零點(diǎn)的奇函數(shù)答案B解析∵f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．又f′(x)＝1－cosx≥0，∴f(x)單調(diào)遞增，選B.5．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋c(ac<0)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()答案B解析設(shè)g(x)＝ax3＋bx，因?yàn)間(－x)＝－ax3－bx＝－g(x)，所以g(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)閒(x)＝g(x)＋c，所以f(x)的圖象是g(x)的圖象向上或向下平移得到的，所以排除A項(xiàng)；由f′(x)＝3ax2＋b，知當(dāng)a>0，x→＋∞時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，又ac<0，所以c<0，即f(0)＝c<0，所以排除D項(xiàng)；當(dāng)a<0，x→＋∞時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，又ac<0，所以c>0，即f(0)＝c>0，所以排除C項(xiàng)．故選B.6．[2015·河北名校聯(lián)盟質(zhì)監(jiān)(二)]若曲線C1：y＝ax2(a>0)與曲線C2：y＝ex存在公共切線，則a的取值范圍為()A.B.D.C.答案C解析根據(jù)題意，函數(shù)y＝ax2與函數(shù)y＝ex的圖象在(0，＋∞)上有公共點(diǎn)，令ax2＝ex得：a＝.設(shè)f(x)＝，則f′(x)＝＝，由f′(x)＝0得：x＝2，當(dāng)0<x<2時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù)，當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(2，＋∞)上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)上有最小值f(2)＝，所以a≥，故選C.7．[2015·江西八校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0)B.C．(0,1)答案BD．(0，＋∞)解析∵f(x)＝x(lnx－ax)，∴f′(x)＝lnx－2ax＋1，故f′(x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，令f′(x)＝0，則2a＝，設(shè)g(x)＝，則g′(x)＝，∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，又∵當(dāng)x→0＋時(shí)，g(x)→－∞，當(dāng)x→＝g(1)＝1，＋∞時(shí)，g(x)→0，而g(x)max∴只需0<2a<1?0<a<.8．[2015·蘭州診斷考試]已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足f′(x)<f(x)，且f(x＋2)為偶函x數(shù)，f(4)＝1，則不等式f(x)<e的解集為()A．(－2，＋∞)C．(1，＋∞)答案BB．(0，＋∞)D．(4，＋∞)解析∵f(x＋2)為偶函數(shù)，∴f(x＋2)的圖象關(guān)于x＝0對(duì)稱，∴f(x)的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱，∴f(4)＝f(0)＝1.設(shè)g(x)＝(x∈R)，則g′(x)＝＝，又∵f′(x)<f(x)，∴g′(x)＝1，∴f(x)<ex?g(x)<0(x∈R)，∴函數(shù)g(x)在定義域上單調(diào)遞減，∵f(x)<ex?g(x)＝<g(0)，∴x>0，故選B.<1，而g(0)＝9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x＋c(x∈R)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)f(x)一定存在極大值和極小值B．若函數(shù)f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是增函數(shù)，則x2－x1≥C．函數(shù)f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形D．函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(x0，f(x0))(x0∈R)處的切線與f(x)的圖象必有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)答案D222解析對(duì)于選項(xiàng)A，f′(x)＝3x＋2ax－1，方程3x＋2ax－1＝0的根的判別式Δ＝4a＋12>0恒成立，故f′(x)＝0必有兩個(gè)不等實(shí)根，不妨設(shè)為x，x，且x<x，令f′(x)>0，得x<x或x>x，令f′(x)<0，得121212x1<x<x2，所以函數(shù)f(x)在(x1，x2)上單調(diào)遞減，在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝x1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，當(dāng)x＝x2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值，故A選項(xiàng)的結(jié)論正確；對(duì)于選項(xiàng)B，令f′(x)＝3x2＋2ax－1＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝－，x1x2＝－，易知x1<x2，所以x2－x1＝＝≥，故B選項(xiàng)的結(jié)論正確；對(duì)于選項(xiàng)C，易知兩極值點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又f＝－x＋x3＋f(－)，f＝x－x3＋f，所以f稱，故C選項(xiàng)的結(jié)論正確．對(duì)于D選項(xiàng)，令a＝c＝0得f(x)＝x－x，f(x)在(0,0)處切線方程為y＝－x，且＋f＝2f，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)3有唯一實(shí)數(shù)解，即f(x)在(0,0)處切線與f(x)圖象有唯一公共點(diǎn)，所以D不正確，選D.二、填空題10．[2015·洛陽(yáng)統(tǒng)考]函數(shù)f(x)＝________．的圖象與直線x＝1及x軸所圍成的封閉圖形的面積為答案e－解析由題意知所求面積為(x＋1)dx＋exdx＝＋ex＝－＋(e－1)＝e－.11．[2015·太原一模]函數(shù)f(x)＝xex的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是________．答案y＝2ex－e解析∵f(x)＝xe，∴f(1)＝e，f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e，∴f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－ex＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.12．[2015·山西四校聯(lián)考(三)]函數(shù)f(x)＝則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．，若方程f(x)＝mx－恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，答案解析在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖，而函數(shù)y＝mx－恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)與函數(shù)y＝lnx的圖象相切的直線為l1，切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，lnx0)．因?yàn)閥＝lnx的導(dǎo)函數(shù)y′＝，所以圖中y＝lnx的切線l1的斜率為k＝，則＝，解得x0＝，所以k＝.又圖中l(wèi)2的斜率為，故當(dāng)方程f(x)＝mx－恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.13．[2015·石家莊一模]設(shè)過(guò)曲線f(x)＝－ex－x(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上任意一點(diǎn)處的切線為l1，總存在過(guò)曲線g(x)＝ax＋2cosx上一點(diǎn)處的切線l2，使得l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．答案－1≤a≤2解析函數(shù)f(x)＝－ex－x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝－ex－1，設(shè)曲線f(x)＝－ex－x上的切點(diǎn)為(x，f(x))，則l的斜111率k＝－ex－1.函數(shù)g(x)＝ax＋2cosx的導(dǎo)數(shù)為g′(x)＝a－2sinx，設(shè)曲線g(x)＝ax＋2cosx上的切點(diǎn)為(x2，11g(x2))，則l2的斜率k2＝a－2sinx2.由題設(shè)可知k1·k2＝－1，從而有(－ex1－1)(a－2sinx2)＝－1，∴a－2sinx2＝，對(duì)?x1，?x2使得等式成立，