高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.11.4.2單位圓與周期性學(xué)案北師大版必修4

§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義單位圓與周期性f 1學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航I ］.理解任意角的正弦、余弦的定義及其應(yīng)用. (重點(diǎn)).掌握同角的正弦、余弦函數(shù)值間的關(guān)系. (重點(diǎn)).理解周期函數(shù)的定義.(難點(diǎn))1)階段1認(rèn)知傾習(xí)質(zhì)疑階段1認(rèn)知傾習(xí)質(zhì)疑］知識(shí)梳理要怠初探］［基礎(chǔ)?初探］教材整理1正、余弦函數(shù)閱讀教材P13?P15“例1”以上部分，完成下列問(wèn)題.任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義(1)單位圓的定義在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心,以單位長(zhǎng)為半徑的圓,稱(chēng)為單位圓.(2)如圖1—4—1所示，設(shè)”是任意角，其頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與X軸非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓O交于點(diǎn)終邊與單位圓O交于點(diǎn)P(u,v),那么:圖1—4—1正弦函數(shù)余弦函數(shù)定義點(diǎn)P的縱坐標(biāo)V定義為角a的正弦函數(shù)，記作v=sina點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u定義為角a的余弦函數(shù)，記作u=cosa通常表示法y=sinx定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)椋邸?,1］y=cosx定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)椋邸?,1］在各象限1正y正負(fù)正的符號(hào)山“量負(fù)。iE?iiL? O微體驗(yàn)O 判斷(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的自變量都是角. ( )(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的角度通常用弧度制，而不用角度制. ( )(3)角”確定，則角a的正弦、余弦函數(shù)值與點(diǎn)P在終邊上的位置無(wú)關(guān).( )(4)若sina<0,則a為第三或第四象限角.( )【解析】 根據(jù)三角函數(shù)的定義，知(1)正確，(3)正確；盡管在正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義中，角a的值既可以用角度制，又可以用弧度制來(lái)表示，若用角度制表示時(shí)，如30… TT TT、. +sin300就無(wú)法進(jìn)行運(yùn)算,改用弧度制時(shí),石+sin不就可以運(yùn)算了,即自變量的單位與函數(shù)值的單位都用十進(jìn)制數(shù)統(tǒng)一了，因而 (2)正確；若sina<0,a的終邊也可能落在y軸的負(fù)半軸上，因而(4)錯(cuò).【答案】 (1)V(2)V(3)V(4)X教材整理2周期函數(shù)閱讀教材P16?P17練習(xí)以上部分，完成下列問(wèn)題..終邊相同的角的正弦、余弦函數(shù)值的關(guān)系.(1)終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即sin(x+k?2兀)=sinx(k€Z).(2)終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等，即cos(x+k-2兀)=cosx(kCZ)..一般地，對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在非零實(shí)數(shù)T,對(duì)定義域內(nèi)白勺任意一個(gè) x值，都有f(x+T)=f(x),則稱(chēng)f(x)為周期函數(shù)，T稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期..特別地，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，稱(chēng)2k兀(kCZ,kw0)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期，其中2兀是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個(gè),稱(chēng)為最小正周期. 口微體驗(yàn)o 判斷(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z(1)2ku(keZ)是正弦、余弦函數(shù)的周期. ( )(2)f(x)=x2滿(mǎn)足f(-3+6)=f(-3),故f(x)=x2為周期函數(shù).( )(3)對(duì)正弦函數(shù)f(x)=sinx有f'+"2i=f:所以"2是f(x)的周期.( )【解析】 (1)錯(cuò)誤.kez且kwo時(shí)，2k兀是正弦、余弦函數(shù)的周期.

(2)錯(cuò)誤.因?yàn)閒(—2+6)wf(—2).⑶錯(cuò)誤.f7t-2J-卜f(兀)不滿(mǎn)足任意性.【答案】 (1)x(2)x(3)x［質(zhì)疑?手記］預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流:疑問(wèn)1:解惑:疑問(wèn)(2)錯(cuò)誤.因?yàn)閒(—2+6)wf(—2).⑶錯(cuò)誤.f7t-2J-卜f(兀)不滿(mǎn)足任意性.【答案】 (1)x(2)x(3)x［質(zhì)疑?手記］預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流:疑問(wèn)1:解惑:疑問(wèn)2:解惑:疑問(wèn)3:解惑:合作探究通關(guān)［小組合作型］正弦、余弦函數(shù)的定義I-1的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(a,a),aw0,求sin90,cos0.已知【精彩點(diǎn)撥】利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義可求 sin【自主解答】當(dāng)a>0時(shí)，r=52+a2=，2a,得sin0_J2當(dāng)a<0時(shí),1??Ja2+a2=—2a,得sincose=+一乎.

一啦a2名師」利用三角函數(shù)的定義求值的策略.求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：角的終邊上異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)及其到原點(diǎn)的距離..若終邊在直線(xiàn)上時(shí)，因?yàn)榻堑慕K邊是射線(xiàn)，應(yīng)分兩種情況處理.

.若已知角，則需確定出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo).［再練一題］1.已知角&的終邊在直線(xiàn)y=2x上，求角&的正弦值和余弦值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66470006】【解】 設(shè)直線(xiàn)上任意一點(diǎn)P(a,2a),aw。,貝Ur=山2+—20―2=甲a|.當(dāng)a>0當(dāng)a>0時(shí)，sin2a0= -=■5|a| 5cos_a__1___5一5|a|-cos_a__1___5一5|a|-5一5當(dāng)a<0時(shí)，sin2 2v55 5cos11才" cos11才" 三角函數(shù)值的符號(hào)判斷a -1 延— =—―=—— 5|a| 5 5(1)判斷符號(hào)：sin340°?cos265(2)若sin2a>0,且cosa<0,試確定a所在的象限.【精彩點(diǎn)撥】 (1)由角的終邊所在象限分別判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，進(jìn)一步確定各式符號(hào).(2)根據(jù)正弦、余弦在各個(gè)象限的符號(hào)確定 2a的象限，進(jìn)而確定a所在的象限.【自主解答】 (1)???340。是第四象限角，265°是第三象限角，???sin340°<0,cos265°<0,??.sin340°-cos265°>0.sin2a>0,??-2k7t<2a<2kTt+兀(kCZ),兀?-ku<a<kjt+~2"(keZ).當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k=2mmeZ),?- -.兀，一有2mt<a<2mk+—(m€Z);當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k=(2m^1)(mCZ),有2m兀+兀<a<2mTt+324mCZ).為第一或第三象限角.又由COSE<0,可知E為第三象限角.名師/名師/.正弦、余弦函數(shù)值在各象限內(nèi)取正數(shù)的規(guī)律可概括為“正弦上為正、 余弦右為正”，即當(dāng)角a的終邊在x軸的上方時(shí)Sina>0；當(dāng)角a的終邊在y軸的右側(cè)時(shí)，COSa>0..對(duì)于確定角a所在象限的問(wèn)題，應(yīng)首先界定題目中所有三角函數(shù)的符號(hào)， 然后根據(jù)各三角函數(shù)的符號(hào)來(lái)確定角 a所在象限，則它們的公共象限即為所求.TT ,.由k兀<0<卜兀十萬(wàn)(kCZ)確te0所在象限時(shí)應(yīng)對(duì)k進(jìn)仃分類(lèi)討論.［再練一題］2.(1)判斷sin2.(1)判斷sin2sin4cos3cos6的符號(hào);(2)若sina>0,cosa<0,判斷角a所在象限.【解】(1),「ZC號(hào),兀I，3c中,兀I，4c［兀,2^-j,6c^2^,2兀jsin2>0,cos3<0,sin4<0,cos6>0,sin2-cos3 >0.sin4?cos62).sina>0, a的終邊在一、二象限或 y軸的正半軸上.cosa<0,a的終邊在二、三象限或 x軸的負(fù)半軸上.故當(dāng)sina>0且cosa<0時(shí)，a在第二象限.［探究共研型］□iH- 1*44利用正弦、余弦函數(shù)的周期性求值探究130°與390°的終邊相同，兩角的同一三角函數(shù)值相等嗎？【提示】 相等.探究2終邊相同的角的同一函數(shù)值都相等嗎？為什么？【提示】 都相等.因兩角終邊相同，其始邊與單位圓交于同一點(diǎn)，由三角函數(shù)定義知函數(shù)值相等.探究3公式sin(2k兀+x)=sinx,k€Z,cos(2ku+x)=cosx,k€Z,揭示了什么規(guī)律，有什么作用？【提示】(1)由公式可知，三角函數(shù)的值有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律， 即角a的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)一次.0至IJ20至IJ2兀(或0°至IJ360°)角的三角函數(shù)值.》例求下列各角的三角函數(shù)值.(1)sin236~兀I；(2)cos150017(3)sin -4兀25(4)cos-3兀.【精彩點(diǎn)撥】當(dāng)角a不在0?2兀之間時(shí)，常利用“終邊相同的角的三角函數(shù)值相等”，把該角轉(zhuǎn)化到0?2兀之間,再求值.的三角函數(shù)值.》例求下列各角的三角函數(shù)值.(1)sin236~兀I；(2)cos150017(3)sin -4兀25(4)cos-3兀.【精彩點(diǎn)撥】當(dāng)角a不在0?2兀之間時(shí)，常利用“終邊相同的角的三角函數(shù)值相等”，把該角轉(zhuǎn)化到0?2兀之間,再求值.【自主解答】(1)sin23一豆兀i=sin(2)cos1500=cos(4X360°+60°)=cos60°12.17(3)sin —兀( 兀=sin2兀x2+了尸sin25

(4)cos—兀

3=cos2Tt*4+。；=cos兀13=2.名師）1.利用終邊相同的正弦、 余弦值之間的關(guān)系可把任意角的三角函數(shù)化歸為 ［0,2兀）內(nèi)的（轉(zhuǎn)化）思想.三角函數(shù)，實(shí)現(xiàn)“負(fù)化正，大化小”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸（轉(zhuǎn)化）思想..一定要熟記一些特殊角的三角函數(shù)，有利于準(zhǔn)確求值.3.兀"6兀"4兀3兀T2兀3兀5兀正弦1蛆小1亞比1222222余弦亞也101也.亞222222J［再練一題］.求下列三角函數(shù)值.(1)cos(-1050°);(2)sin⑶log2(4sin1110°).

【解】 (1) —1050°=—3X360°+30°,???—1050°的角與30°的角終邊相同.cos(-1050)°=cos30°=..一苧=—4X2兀+-4,TOC\o"1-5"\h\z???角一亭與角:的終邊相同.4 4■■sin［一誓戶(hù)sin十坐。 。 。 。 1「sin1110 =sin(3X360+30)=sin30 =11.log2(4sin1110 )=log22*4j=log22=1.［構(gòu)建?體系］.已知P（3,4）是終邊“上一點(diǎn)，則sina等于.已知P（3,4）是終邊“上一點(diǎn)，則sina等于（ ）3/r