高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1.4.11.4.2單位圓與周期性學案北師大版必修4

§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導公式單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義單位圓與周期性f 1學習目標導航I ］.理解任意角的正弦、余弦的定義及其應用. (重點).掌握同角的正弦、余弦函數(shù)值間的關系. (重點).理解周期函數(shù)的定義.(難點)1)階段1認知傾習質(zhì)疑階段1認知傾習質(zhì)疑］知識梳理要怠初探］［基礎?初探］教材整理1正、余弦函數(shù)閱讀教材P13?P15“例1”以上部分，完成下列問題.任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義(1)單位圓的定義在直角坐標系中，以原點為圓心,以單位長為半徑的圓,稱為單位圓.(2)如圖1—4—1所示，設”是任意角，其頂點與原點重合，始邊與X軸非負半軸重合,終邊與單位圓O交于點終邊與單位圓O交于點P(u,v),那么:圖1—4—1正弦函數(shù)余弦函數(shù)定義點P的縱坐標V定義為角a的正弦函數(shù)，記作v=sina點P的橫坐標u定義為角a的余弦函數(shù)，記作u=cosa通常表示法y=sinx定義域為全體實數(shù)，值域為［—1,1］y=cosx定義域為全體實數(shù)，值域為［—1,1］在各象限1正y正負正的符號山“量負。iE?iiL? O微體驗O 判斷(正確的打“，”，錯誤的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的自變量都是角. ( )(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的角度通常用弧度制，而不用角度制. ( )(3)角”確定，則角a的正弦、余弦函數(shù)值與點P在終邊上的位置無關.( )(4)若sina<0,則a為第三或第四象限角.( )【解析】 根據(jù)三角函數(shù)的定義，知(1)正確，(3)正確；盡管在正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義中，角a的值既可以用角度制，又可以用弧度制來表示，若用角度制表示時，如30… TT TT、. +sin300就無法進行運算,改用弧度制時,石+sin不就可以運算了,即自變量的單位與函數(shù)值的單位都用十進制數(shù)統(tǒng)一了，因而 (2)正確；若sina<0,a的終邊也可能落在y軸的負半軸上，因而(4)錯.【答案】 (1)V(2)V(3)V(4)X教材整理2周期函數(shù)閱讀教材P16?P17練習以上部分，完成下列問題..終邊相同的角的正弦、余弦函數(shù)值的關系.(1)終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即sin(x+k?2兀)=sinx(k€Z).(2)終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等，即cos(x+k-2兀)=cosx(kCZ)..一般地，對于函數(shù)f(x),如果存在非零實數(shù)T,對定義域內(nèi)白勺任意一個 x值，都有f(x+T)=f(x),則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期..特別地，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，稱2k兀(kCZ,kw0)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期，其中2兀是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個,稱為最小正周期. 口微體驗o 判斷(正確的打“，”，錯誤的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z(1)2ku(keZ)是正弦、余弦函數(shù)的周期. ( )(2)f(x)=x2滿足f(-3+6)=f(-3),故f(x)=x2為周期函數(shù).( )(3)對正弦函數(shù)f(x)=sinx有f'+"2i=f:所以"2是f(x)的周期.( )【解析】 (1)錯誤.kez且kwo時，2k兀是正弦、余弦函數(shù)的周期.

(2)錯誤.因為f(—2+6)wf(—2).⑶錯誤.f7t-2J-卜f(兀)不滿足任意性.【答案】 (1)x(2)x(3)x［質(zhì)疑?手記］預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流:疑問1:解惑:疑問(2)錯誤.因為f(—2+6)wf(—2).⑶錯誤.f7t-2J-卜f(兀)不滿足任意性.【答案】 (1)x(2)x(3)x［質(zhì)疑?手記］預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流:疑問1:解惑:疑問2:解惑:疑問3:解惑:合作探究通關［小組合作型］正弦、余弦函數(shù)的定義I-1的終邊經(jīng)過點 P(a,a),aw0,求sin90,cos0.已知【精彩點撥】利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義可求 sin【自主解答】當a>0時，r=52+a2=，2a,得sin0_J2當a<0時,1??Ja2+a2=—2a,得sincose=+一乎.

一啦a2名師」利用三角函數(shù)的定義求值的策略.求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上異于原點的點的橫、縱坐標及其到原點的距離..若終邊在直線上時，因為角的終邊是射線，應分兩種情況處理.

.若已知角，則需確定出角的終邊與單位圓的交點坐標.［再練一題］1.已知角&的終邊在直線y=2x上，求角&的正弦值和余弦值.【導學號：66470006】【解】 設直線上任意一點P(a,2a),aw。,貝Ur=山2+—20―2=甲a|.當a>0當a>0時，sin2a0= -=■5|a| 5cos_a__1___5一5|a|-cos_a__1___5一5|a|-5一5當a<0時，sin2 2v55 5cos11才" cos11才" 三角函數(shù)值的符號判斷a -1 延— =—―=—— 5|a| 5 5(1)判斷符號：sin340°?cos265(2)若sin2a>0,且cosa<0,試確定a所在的象限.【精彩點撥】 (1)由角的終邊所在象限分別判斷三角函數(shù)值的符號，進一步確定各式符號.(2)根據(jù)正弦、余弦在各個象限的符號確定 2a的象限，進而確定a所在的象限.【自主解答】 (1)???340。是第四象限角，265°是第三象限角，???sin340°<0,cos265°<0,??.sin340°-cos265°>0.sin2a>0,??-2k7t<2a<2kTt+兀(kCZ),兀?-ku<a<kjt+~2"(keZ).當k為偶數(shù)時，設k=2mmeZ),?- -.兀，一有2mt<a<2mk+—(m€Z);當k為奇數(shù)時，設k=(2m^1)(mCZ),有2m兀+兀<a<2mTt+324mCZ).為第一或第三象限角.又由COSE<0,可知E為第三象限角.名師/名師/.正弦、余弦函數(shù)值在各象限內(nèi)取正數(shù)的規(guī)律可概括為“正弦上為正、 余弦右為正”，即當角a的終邊在x軸的上方時Sina>0；當角a的終邊在y軸的右側(cè)時，COSa>0..對于確定角a所在象限的問題，應首先界定題目中所有三角函數(shù)的符號， 然后根據(jù)各三角函數(shù)的符號來確定角 a所在象限，則它們的公共象限即為所求.TT ,.由k兀<0<卜兀十萬(kCZ)確te0所在象限時應對k進仃分類討論.［再練一題］2.(1)判斷sin2.(1)判斷sin2sin4cos3cos6的符號;(2)若sina>0,cosa<0,判斷角a所在象限.【解】(1),「ZC號,兀I，3c中,兀I，4c［兀,2^-j,6c^2^,2兀jsin2>0,cos3<0,sin4<0,cos6>0,sin2-cos3 >0.sin4?cos62).sina>0, a的終邊在一、二象限或 y軸的正半軸上.cosa<0,a的終邊在二、三象限或 x軸的負半軸上.故當sina>0且cosa<0時，a在第二象限.［探究共研型］□iH- 1*44利用正弦、余弦函數(shù)的周期性求值探究130°與390°的終邊相同，兩角的同一三角函數(shù)值相等嗎？【提示】 相等.探究2終邊相同的角的同一函數(shù)值都相等嗎？為什么？【提示】 都相等.因兩角終邊相同，其始邊與單位圓交于同一點，由三角函數(shù)定義知函數(shù)值相等.探究3公式sin(2k兀+x)=sinx,k€Z,cos(2ku+x)=cosx,k€Z,揭示了什么規(guī)律，有什么作用？【提示】(1)由公式可知，三角函數(shù)的值有“周而復始”的變化規(guī)律， 即角a的終邊每繞原點旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復出現(xiàn)一次.0至IJ20至IJ2兀(或0°至IJ360°)角的三角函數(shù)值.》例求下列各角的三角函數(shù)值.(1)sin236~兀I；(2)cos150017(3)sin -4兀25(4)cos-3兀.【精彩點撥】當角a不在0?2兀之間時，常利用“終邊相同的角的三角函數(shù)值相等”，把該角轉(zhuǎn)化到0?2兀之間,再求值.的三角函數(shù)值.》例求下列各角的三角函數(shù)值.(1)sin236~兀I；(2)cos150017(3)sin -4兀25(4)cos-3兀.【精彩點撥】當角a不在0?2兀之間時，常利用“終邊相同的角的三角函數(shù)值相等”，把該角轉(zhuǎn)化到0?2兀之間,再求值.【自主解答】(1)sin23一豆兀i=sin(2)cos1500=cos(4X360°+60°)=cos60°12.17(3)sin —兀( 兀=sin2兀x2+了尸sin25

(4)cos—兀

3=cos2Tt*4+。；=cos兀13=2.名師）1.利用終邊相同的正弦、 余弦值之間的關系可把任意角的三角函數(shù)化歸為 ［0,2兀）內(nèi)的（轉(zhuǎn)化）思想.三角函數(shù)，實現(xiàn)“負化正，大化小”，體現(xiàn)了數(shù)學中的化歸（轉(zhuǎn)化）思想..一定要熟記一些特殊角的三角函數(shù)，有利于準確求值.3.兀"6兀"4兀3兀T2兀3兀5兀正弦1蛆小1亞比1222222余弦亞也101也.亞222222J［再練一題］.求下列三角函數(shù)值.(1)cos(-1050°);(2)sin⑶log2(4sin1110°).

【解】 (1) —1050°=—3X360°+30°,???—1050°的角與30°的角終邊相同.cos(-1050)°=cos30°=..一苧=—4X2兀+-4,TOC\o"1-5"\h\z???角一亭與角:的終邊相同.4 4■■sin［一誓戶sin十坐。 。 。 。 1「sin1110 =sin(3X360+30)=sin30 =11.log2(4sin1110 )=log22*4j=log22=1.［構建?體系］.已知P（3,4）是終邊“上一點，則sina等于.已知P（3,4）是終邊“上一點，則sina等于（ ）3/r