三角形中考壓軸題(帶答案)

中考專題三角形選擇題（共3小題）GE~Qc￡!B趙FA.C.1.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊長為a,則重疊部分四邊形EMCN的面積為（GE~Qc￡!B趙FA.C.B.122考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).專題：幾何圖形問題；壓軸題.分析：過E作EP丄BC于點(diǎn)P,EQ丄CD于點(diǎn)Q,△EPM竺△EQN,利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解.解答：解：過E作EP丄BC于點(diǎn)P,EQ丄CD于點(diǎn)Q,T四邊形ABCD是正方形，二ZBCD=90°,又:ZEPM=ZEQN=90°,二ZPEQ=90°,二ZPEM+ZMEQ=90°,T三角形FEG是直角三角形,???ZNEF=ZNEQ+ZMEQ=90°,:■ZPEM=ZNEQ,TAC是ZBCD的角平分線，ZEPC=ZEQC=90°,?EP=EQ,四邊形PCQE是正方形，rZPEM=ZNEQ在厶EPM和厶EQN中，｛也P二EQ?△EPM竺△EQN(ASA)?S^EQN=S^EPM，iZEFJI=ZEQN?四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積???正方形ABCD的邊長為a,?AC=.邁a,TEC=2AE,?EC=a,?EP=Pc/a,?EP=Pc/a,?正方形PCQE的面積呂是a=±2,?四邊形EMCN的面積」a2,故選:D.點(diǎn)評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證出△EPM竺△EQN.2.如圖ZA=ZABC=ZC=45°,E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論，①EF丄BD,②EF冷BD,③ZADC=ZBEF+ZBFE,④AD=DC，其中正確的是（）考點(diǎn)：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì).AAA.①②③④BAAA.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④專題：壓軸題.分析：根據(jù)三角形的中位線定理"三角形的中位線平行于第三邊"同時(shí)利用三角形的全等性質(zhì)求解.解答：解：如下圖所示：連接AC,延長BD交AC于點(diǎn)M,延長AD交BC于Q,延長CD交AB于P.TZABC=ZC=45°「.CP丄ABTZABC=ZA=45°「.AQ丄BC點(diǎn)D為兩條高的交點(diǎn)，所以BM為AC邊上的高，即：BM丄AC.由中位線定理可得EFIIAC,EF=2AC.?.BD丄EF,故①正確.TZDBQ+ZDCA=45°,ZDCA+ZCAQ=45°,.'.ZDBQ=ZCAQ,TZA=ZABC,AAQ=BQ,TZBQD=ZAQC=90°,A根據(jù)以上條件得厶AQC^△BQD,ABD=ACAEF=iAC，故②正確.2TZA=ZABC=ZC=45°AZDAC+ZDCA=180°-（ZA+ZABC+ZC）=45°AZADC=180°-（ZDAC+ZDCA）=135°=ZBEF+ZBFE=180°-ZABC故③ZADC=ZBEF+ZBFE成立；無法證明AD=CD,故④錯(cuò)誤.故選B.點(diǎn)評：本題考點(diǎn)在于三角形的中位線和三角形全等的判斷及應(yīng)用.3.四邊形ABCD中,AC和BD交于點(diǎn)E,若AC平分ZDAB,且AB=AE,AC=AD,有以下四個(gè)命題：①AC丄BD；②BC=DE；③ZDBC^ZDAB；④AB=BE=AE.其中命題一定成立的是（）A.①②B.②③C.①③D.②④考占：八、、?專題：分析：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).壓軸題.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)是否正確即可.解答：解：TAB=AE,一個(gè)三角形的直角邊和斜邊一定不相等，AAC不垂直于BD,①錯(cuò)誤；利用邊角邊定理可證得厶ADE^△ABC，那么BC=DE,②正確；由厶ADE^△ABC可得ZADE=ZACB，那么A,B,C,D四點(diǎn)共圓，AZDBC=ZDAC^zjZDAB,③正確；△ABE不一定是等邊三角形，那么④不一定正確；②③正確，故選B.點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，以及直角三角形中斜邊最長；全等三角形的對應(yīng)邊相等；等邊三角形的三邊相等.填空題（共6小題）4?如圖，將一個(gè)正三角形紙片剪成四個(gè)全等的小正三角形，再將其中的一個(gè)按同樣的方法剪成四個(gè)更小的正三角形，…如此繼續(xù)下去，結(jié)果如下表，則an=3n+1（用含n的代數(shù)式表示）.所剪次數(shù)1正三角形個(gè)數(shù)所剪次數(shù)1正三角形個(gè)數(shù)423471013考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì).專題：壓軸題；規(guī)律型.分析：根據(jù)圖跟表我們可以看出n代表所剪次數(shù)，an代表小正三角形的個(gè)數(shù)，也可以根據(jù)圖形找出規(guī)律加以求解.解答：解：由圖可知沒剪的時(shí)候，有一個(gè)三角形，以后每剪一次就多出三個(gè)，所以總的個(gè)數(shù)3n+1.故答案為：3n+1.點(diǎn)評：此題主要考驗(yàn)學(xué)生的邏輯思維能力以及應(yīng)變能力.5.如圖，在△ABC中，AC=BC>AB，點(diǎn)P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P與厶ABC的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6個(gè).考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題.分析：根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，作出AB的垂直平分線，首先△ABC的外心滿足，再根據(jù)圓的半徑相等，以點(diǎn)C為圓心，以AC長為半徑畫圓，AB的垂直平分線相交于兩點(diǎn),分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AC長為半徑畫圓，與AB的垂直平分線相交于一點(diǎn)，再分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長為半徑畫圓，與?C相交于兩點(diǎn)，即可得解.解答：解：如圖所示，作AB的垂直平分線，?△ABC的外心P］為滿足條件的一個(gè)點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，以AC長為半徑畫圓，P2、P3為滿足條件的點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AC長為半徑畫圓，P4為滿足條件的點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長為半徑畫圓，P5、P6為滿足條件的點(diǎn)，綜上所述，滿足條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6.

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，圓的半徑相等的性質(zhì)，作出圖形更形象直觀.6.如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，取BC的中點(diǎn)E,作EDII點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，圓的半徑相等的性質(zhì)，作出圖形更形象直觀.6.如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，取BC的中點(diǎn)E,作EDIIAB,EFIIAC,得到四邊形EDAF,它的面積記為S］，取BE的中點(diǎn)E］，作E1D1IFB，E1F1IEF.得到四邊形EXDXFFX，它的面積記作S2，照此規(guī)律，則S2012二一考占八、、?專題分析:等邊三角形的性質(zhì)；三角形中位線定理.壓軸題；規(guī)律型.求出△ABC的面積耳，求出DE是三角形ABC的中位線，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出4^ACDE氣，求出匯CDE弓，△BEFSACAB皿444氣呼求出S€乎同理S2*SaBEF冷氣呼解答:SHHHjxSHHH注沖，推出％2=寺*寺??遙呼（2011個(gè)寺，即可得出答案?解：TBC的中點(diǎn)E，EDIIAB,AE為BC中點(diǎn)，ADE寺B,TDEIIAB，△CDE-△CAB，A=〔^ACkB血一ABC的面積專哼今A九CDE令乎推理詛，AbeV^A占逍寺逍尋同理S2^xS^BEF=￡x寸疔1，S3=gx吉于:S2012冷##(2011，=［養(yǎng)聲!5'故答案為：孑蟲?點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是總結(jié)出規(guī)律，題目比較好，但是有一定的難度.7.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上，如果AE=4,EF=3,AF=5，那么正方形ABCDn的面積等于

考占n八、、

專題考占n八、、

專題

分析解答:點(diǎn)評:壓軸題.根據(jù)△ABE-△ECF,可將AB與BE之間的關(guān)系式表示出來，在RtAABE中，根據(jù)勾股定理AB2+BE2=AC2，可將正方形ABCD的邊長AB求出，進(jìn)而可將正方形ABCD的面積求出.解：設(shè)正方形的邊長為x，BE的長為aZAEB+ZBAE=ZAEB+ZCEF=90°「.ZBAE=ZCEFTZB=ZC「.△ABE-△ECF=，即輕解得x=4a①CEEFk_□34祁1T在RtAABE中，AB2+BE2=AE2二X2+a2=42②將①代入②，可得：a=???正方形ABCD的面積為：X2=i6a2=17本題是一道根據(jù)三角形相似和勾股定理來求正方形的邊長結(jié)合求解的綜合題.隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力.注意后面可以直接這樣x2+a2=42②，?.X2+V）2=42,X2+X2=42，x2=16,4X2=^.無需算出算出X.8.已知a，b，c是直角三角形的三條邊，且aVbVc，斜邊上的高為h,則下列說法中正確的是②.（只填序號）①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2;③由，小.S.C可以構(gòu)成三角形；④直角三角形的面積的最大值是邁考點(diǎn)：勾股定理的逆定理；勾股定理.專題：計(jì)算題；壓軸題.分析：根據(jù)直角三角形的面積公式和勾股定理將各式化簡，等式成立者即為正確答案.解答：解根據(jù)直角三角形的面積的不同算法，足ab=^ch，解得h型.TOC\o"1-5"\h\zZZC①將h型代入a2b2+h4=（a2+b2+1）h2,得a2b2+（圭）4=（a2+b2+1）（型）2，CCC222上得a2b2+（世）4=（c2+1）（越）2,得a2b2+（魚）4=a2b2+，即（盤）4=CCCCa2b2=c2，不一定成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；將h衛(wèi)代入b4+c2h2=b2c2,得b4+c2(魚)2=b2c2,b4+b2a2=b2c2，整理得b4+b2a2-b2c2=0,CCb2(b2+a2-c2)=0,Tb2+a2-c2=0,?b2(b2+a2-c2)=0成立，故本選項(xiàng)正確；_tb2+a2=c2,Oa)2+(lb)2=a+b,(ic)2=c,?不能說明(i方)2+()2=(ic)2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④直角三角形的面積為jab,隨ab的變化而變化，所以無最大值，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.故答案為②.點(diǎn)評：比題不僅考查了勾股定理，還考查了面積法求直角三角形的高，等式變形計(jì)算較復(fù)雜，要仔細(xì).9.如圖，A、B、C分別是線段A1B，B1C，C1A的中點(diǎn)，若厶ABC的面積是1，那么△A1B1C1的面積7考點(diǎn)：三角形的面積.專題：壓軸題.分析：連接AB1，BC1，CA1，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出△ABB.△A1AB1的面積，從而求出△A1BB1的面積，同理可求△B1CC1的面積，△A1AC1的面積，然后相加即可得解.解答：解：如圖，連接AB1，BC1，CA1，'A、B分別是線段A1B，B1c的中點(diǎn)，、△ABB1=SAABC=1，SAA1AB1=SAABB1=1，…%△A1BB1=SAA1AB1+SAABB1=1+1=2，同理：、△B1CC1=2，、△A1AC1=2，??△A1B1C1的面積=SaA1BB1+SAB1CC1+SAA1AC1+SAABC=2+2+2+1=7?故答案為：7-點(diǎn)評：本題考查了三角形的面積，主要利用了等底等高的三角形的面積相等，作輔助線把三角形進(jìn)行分割是解題的關(guān)鍵.解答題(共5小題)10.已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合)，以AD為邊作菱形ADEF(A、D、E、F按逆時(shí)針排列)，使/DAF=60°，連接CF.如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì).專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：(1)根據(jù)已知得出AF=AD，AB=BC=AC，ZBAC=ZDAF=60°,求出/BAD=CAF，證厶BAD^△CAF,推出CF=BD即可；求出ZBAD=ZCAF,根據(jù)SAS證厶BAD竺△CAF,推出BD=CF即可；畫出圖形后，根據(jù)SAS證厶BAD竺△CAF,推出CF=BD即可.解答：(1)證明：T菱形AFED,「.AF=AD,?:△ABC是等邊三角形，二AB=AC=BC,ZBAC=60°=ZDAF,ZBAC-ZDAC=ZDAF-ZDAC,即ZBAD=ZCAF,

rAB=ACT在厶BAD和厶CAF中l(wèi)三巳也二上CAF，二△BAD竺△CAF,/.CF=BD,二CF+CD=BD+CD=BC=AC,即卩:AD=AF①BD=CF,②AC=CF+CD.解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是AC=CF-CD,理由是：由(1)知：AB=AC=BC,AD=AF,ZBAC=ZDAF=60°,AZBAC+ZDAC=ZDAF+ZDAC,即上BAD=ZCAF,rAC=ABT在厶BAD和厶CAF中］/B憶二上CAF,A△BAD竺△CAF,ABD=CF,:AD=AFACF-CD=BD-CD=BC=AC,卩卩AC=CF-CD.AC=CD-CF.理由是：rAB=ACTZBAC=ZDAF=60°,AZDAB=ZCAF,T在厶BAD和厶CAF中ND揺二三FAC,:AD=AFA△BAD竺△CAF(SAS),ACF=BD,ACD-CF=CD-BD=BC=AC,卩卩AC=CD-CF.點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，注意：證明過程類似，題目具有一定的代表性，難度適中.411.如圖，△ABC中AB=AC,BC=6,，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出5發(fā)沿線段AC的延長線移動(dòng)，已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長；如圖②，過點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E,當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段請說明理由；考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題；壓軸題；分類討論.分析：(1)過點(diǎn)P做PF平行與AQ,由平行我們得出一對同位角和一對內(nèi)錯(cuò)角的相等，再由AB=AC,根據(jù)等邊對等角得角B和角ACB的相等，根據(jù)等量代換的角B和角PFB的相等，根據(jù)等角對等邊得BP=PF，又因點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同即BP=CQ,等量代換得PF=CQ,在加上對等角的相等，證得三角形PFD和三角形QCD的全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊邊相等得出DF=CD冷CF,而又因P是AB的中點(diǎn)，PFIIAQ得出F是BC的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)已知的BC的長，求出CF,即可得出CD的長.(2)分兩種情況討論，第一種情況點(diǎn)P在線段AB上，根據(jù)等腰三角形的三線合一得BE=EF,再又第一問的全等可知DF=CD，所以ED宅F(xiàn)+FD二BE+DC二吉氏二3，得出線段DE的長為定值；第二種情況，P在BA的延長線上，作PM平行于AC交BC的延長線于M,根據(jù)兩直線平行，同位角相等推

出角PMB等于角ACB,而角ACB等于角ABC，根據(jù)等量代換得到角ABC等于角PMB,根據(jù)等角對等邊得到PM等于PB,根據(jù)三線合一，得到BE等于EM,同理可得厶PMD全等于△QCD,得到CD等于DM,根據(jù)DE等于EM減DM,把EM換為BC加CM的一半，化簡后得值為定值.解答：解：(1)如圖，過P點(diǎn)作PFIIAC交BC于F,T點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，二BP=CQ,TPFIIAQ,???上PFB=ZACB,ZDPF=ZCQD,又:AB=AC,?ZB=ZACB,?ZB=ZPFB,?BP=PF,?PF=CQ,又ZPDF=ZQDC,?證得△PFD竺△QCD,?DF=CD=2CF,2ii3又因P是AB的中點(diǎn)，PFIIAQ,?F是BC的中點(diǎn)，即FC節(jié)BC=3,?CD節(jié)CF=(2)分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段如圖，如果點(diǎn)P在線段AB上，過點(diǎn)P作PFIIAC交BC于F,△PBF為等腰三角形，PB=PF,BE=EF,?PF=CQ,?FD=DC,?ED=EF十起二BE十DC二二3，?ED為定值，同理，如圖，若P在BA的延長線上，作PMIIAC的延長線于M,?ZPMC=ZACB,又:AB=AC,?ZB=ZACB,?ZB=ZPMC,?PM=PB,根據(jù)三線合一得BE=EM,同理可得厶PMD竺△QCD,所以CD=DM,點(diǎn)評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題.12.如圖1,在厶ABC中，ZACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.如果AB=AC,ZBAC=90°,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合)，如圖2,線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為垂直，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為相等；當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；如果ABHAC,ZBAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)ZACB滿足什么條件時(shí)，CF丄BC(點(diǎn)C、F不重合)，并說明理由.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題；開放型.分析：（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)①的結(jié)論仍成立.由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB^△FAC,所以CF=BD,ZACF=ZABD.結(jié)合上BAC=90°,AB=AC,得到上BCF=ZACB+ZACF=90°.即CF丄BD.（2）當(dāng)ZACB=45°時(shí)，過點(diǎn)A作AG丄AC交CB的延長線于點(diǎn)G,則ZGAC=90°,可推出ZACB=ZAGC,所以AC=AG，由（1）①可知CF丄BD.解答：證明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF,TZBAC=ZDAF=90°,AZBAD=ZCAF,又:AB=AC,A△DAB竺△FAC,CF=BD,ZB=ZACF,AZACB+ZACF=90°，即CF丄BD.②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)①的結(jié)論仍成立.由正方形ADEF得AD=AF,ZDAF=90度.TZBAC=90°,AZDAF=ZBAC,AZDAB=ZFAC,又TAB=AC,A△DAB竺△FAC,ACF=BD,ZACF=ZABD.TZBAC=90°,AB=AC,AZABC=45°,AZACF=45°,AZBCF=ZACB+ZACF=90度.即卩CF丄BD.（2）當(dāng)ZACB=45。時(shí)，CF丄BD（如圖）.理由：過點(diǎn)A作AG丄AC交CB的延長線于點(diǎn)G,則ZGAC=90°,TZACB=45°,ZAGC=90°-ZACB,AZAGC=90°-45°=45°,AZACB=ZAGC=45°,AAC=AG,TZDAG=ZFAC（同角的余角相等）,AD=AF,A△GAD竺△CAF,AZACF=ZAGC=45°,ZBCF=ZACB+ZACF=45°+45°=90°,即CF丄BC.AD點(diǎn)評：本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.13.如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中ZC=90°,ZB=ZE=30°.（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2,固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：線段DE與AC的位置關(guān)系是DEIIAC；設(shè)△BDC的面積為S.△AEC的面積為S2,則S］與S2的數(shù)量關(guān)系是S^S?.

BACBAC圖1猜想論證當(dāng)厶DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想(1)中Sj與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和厶AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想.拓展探究已知/ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4,DEIIAB交BC于點(diǎn)E(如圖4).若在射線BA上存在點(diǎn)F,使、△DCF=S^bde，請直接寫出相應(yīng)的BF的長.B團(tuán)3團(tuán)3考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出厶ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得ZACD=60°，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC*B,然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出ZACN=ZDCM，然后利用"角角邊”證明厶ACN和厶DCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；過點(diǎn)D作DFJIBE，求出四邊形BEDF］是菱形，根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DFX，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F］為所求的點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF2丄BD,求出ZFxDF2=60°，從而得到△DFxF2是等邊三角形，然后求出DFx=DF2，再求出ZCDFX=ZCDF2，利用"邊角邊”證明厶CDFX和厶CDF2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，然后在等腰△BDE中求出BE的長，即可得解.解答：解：(1)①T△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，二AC=CD,TZBAC=90°-ZB=90°-30°=60°,A△ACD是等邊三角形，二ZACD=60°,又:ZCDE=ZBAC=60°,AZACD=ZCDE,ADEIIAC；

②???ZB=30°,②???ZB=30°,ZC=90°,???CD噸AB,BD=AD=AC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，.△BDC的面積和厶AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，即S]=s2；故答案為：DEIIAC；S1=S2；(2)如圖，T△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，二BC=CE，AC=CD,TZACN+ZBCN=90°,ZDCM+ZBCN=180°-90°=90°，.ZACN=ZDCM，rZACN=ZDCMT在厶ACN和厶DCM中，｛ZCMD二ZN二giT，.△ACN竺△DCM(AAS),.AN=DM,:AC=CD.△BDC的面積和厶AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，即S1=s2；(3)如圖，過點(diǎn)D作DFJIBE，易求四邊形BEDF1是菱形,所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此時(shí)仏dcfi=S^bde；過點(diǎn)D作DF2丄BD,T乙ABC=60°,F1DIBE,.ZF2F1D=ZABC=60°,Tbf1=DF1，ZF]BD=*ZABC=30°,ZF2DB=90°,.ZF1DF2=ZABC=60°,.△df1F2是等邊三角形，.DF1=DF2，TBD=CD,ZABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，二ZDBC=ZDCB^x60°=30°,2.Zcdf1=180°-ZBCD=180°-30°=150°,ZCDF2=360°-150°-60°=150°,.ZCDF1=ZCDF2,'DF^DFjT在厶CDF】和厶CDF2中，丄CDF]二/CDF?,.△CDF*△CDF2(SAS),.CD二CD???點(diǎn)f2也是所求的點(diǎn)，TZABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DEIIAB,.ZDBC=ZBDE=ZABD)x60°=30°,又TBD=4,BE='x4mcos30°=2*■=又TBD=4,BE='x4mcos30°=2*■=■,BFd='1故BF的長為或I33，BF2=BF1+F1F2=+點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，(3)要注意符合條件的點(diǎn)F有兩個(gè).14.已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰RtAABC,RtACEF,ZABC=ZCEF=90°，連接AF,M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME.如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MBIICF；如圖1,若CB=a,CE=2a，求BM,ME的長；如圖2,當(dāng)ZBCE=45。時(shí)，求證：BM=ME.CFC圖1圖2考點(diǎn)：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專題：壓軸題.分析：(1)證法一：如答圖1a所示，延長AB交CF于點(diǎn)D,證明BM為ADF的中位線即可；證法二：如答圖1b所示，延長BM交EF于D,根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得ABIIEF,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得/BAM=ZDFM,根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF,然后利用“角邊角"證明△ABM和厶FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出ZEBM=45°，從而得到/EBM=ZECF,再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明MBIICF即可，解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線；解法二：先求出BE的長，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM=DM,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EM丄BD,求出△BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM氣DF,ME氣AG；然后證明△ACG竺△DCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME；證法二：如答圖3b所示，延長BM交CF于D,連接BE、DE，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行求出ABIICF,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出/BAM=ZDFM，根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF,然后利用"角邊角”證明厶ABM和厶FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF,BM=DM,再根據(jù)"邊角邊"證明△BCE和厶DFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DE，全等三角形對應(yīng)角相等可得ZBEC=ZDEF，然后求出/BED=ZCEF=90°,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可.解答：(1)證法一：如答圖1a,延長AB交CF于點(diǎn)D,則易知△ABC與厶BCD均為等腰直角三角形，二AB=BC=BD,???點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，又???點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，?BM為厶ADF的中位線，?BMIICF.證法二：如答圖1b,延長BM交EF于D,??ZABC=ZCEF=90°,?AB丄CE,EF丄CE,?ABIIEF,?ZBAM=ZDF