關(guān)于SARS模型的建立與相關(guān)的預(yù)測分析

關(guān)于SARS模型的建立與相關(guān)的預(yù)測分析摘要：本文先根據(jù)材料提供的模型與數(shù)據(jù)較為扼要地分析了附件1的模型的優(yōu)缺點(diǎn)，全面地評價了該模型的合理性與實(shí)用性。而后在對問題進(jìn)行較為全面評價的基礎(chǔ)上引入更為全面合理的假設(shè)和建立系統(tǒng)分析模型。運(yùn)用聯(lián)立微分方程組體現(xiàn)疫情發(fā)展過程中各類人的內(nèi)在因果聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用經(jīng)典的龍格——庫塔微分方程求解算法結(jié)合MATLAB編程(程序在附件一)擬合出與實(shí)際較為符合的曲線并進(jìn)行了疫情預(yù)測。同時運(yùn)用雙線性函數(shù)模型對衛(wèi)生部的措施進(jìn)行了評價并給出建議。而后運(yùn)用差分方程（程序在附件二）就SARS對經(jīng)濟(jì)（主要是旅游業(yè)）的影響進(jìn)行了較為準(zhǔn)確的分析，進(jìn)而通過模型算出的理論預(yù)測數(shù)值與實(shí)際數(shù)值進(jìn)行對比，以數(shù)值上的顯著差異直觀地表現(xiàn)了SARS對經(jīng)濟(jì)（旅游）的影響，并對接下來的幾個月進(jìn)行了較為合理的預(yù)測。本文的最后，通過本次建模過程中的切身體會，以一篇短文評述去說明建立如SARS預(yù)測模型之類的傳染病預(yù)測模型的重要意義。關(guān)鍵詞：微分方程龍格—庫塔算法SARS雙線性函數(shù)模型差分方程數(shù)學(xué)模型問題的重述SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥,俗稱：非典型肺炎）是21世紀(jì)第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。請你們對SARS的傳播建立數(shù)學(xué)模型，具體要求如下：（1）對附件1所提供的一個早期的模型，評價其合理性和實(shí)用性。（2）建立你們自己的模型，說明為什么優(yōu)于附件1中的模型；特別要說明怎樣才能建立一個真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，這樣做的困難在哪里？對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計(jì)。附件2提供的數(shù)據(jù)供參考。（3）收集SARS對經(jīng)濟(jì)某個方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測。附件3提供的數(shù)據(jù)供參考。（4）給當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫一篇通俗短文，說明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性。（二）對附件1所提供的模型的評價該模型的合理性首先體現(xiàn)在模型假設(shè)上：“假定初始時刻的病例數(shù)為N0，平均每病人每天可傳染K個人（K一般為小數(shù)），平均每個病人可以直接感染他人的時間為L天。”其一，一般來說每病人每天可傳染的人數(shù)與當(dāng)時的健康人數(shù)有關(guān)[1]，但由于北京的人數(shù)基數(shù)較大，SARS病人數(shù)相對較少并且SARA持續(xù)時間不是很長，所以這樣假設(shè)也是可以的。其二，每個病人可以直接感染他人的時間是有限的，該模型考慮到了這一點(diǎn)，也是很合理的。該模型的合理性還在于用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法估計(jì)相關(guān)參數(shù)。該模型的實(shí)用性是較好地模擬與預(yù)測了北京的SARA數(shù)據(jù)與發(fā)展。在傳染病發(fā)病初期對疫情的預(yù)測結(jié)果還是較為理想的，這主要得益于發(fā)病初期，由于病情來得突然，有關(guān)部門沒有來得及采取措施加以控制，使病情得以蔓延迅速，而且發(fā)病初期在治療方法上不是特別有效，治愈所需的時間長，所以使用作為模型進(jìn)行估計(jì)以及參數(shù)的假設(shè)均較為合理，基本上是可行的。但是到了疫情發(fā)展中后期，由于政府部門采取強(qiáng)硬措施加強(qiáng)防治工作以及人民群眾的防范意識與警覺程度上的普遍提高，加之治療措施的改進(jìn)，使得每天被傳染的人數(shù)下降，并且治愈的人數(shù)在不斷增加，治愈時間也在不斷縮短，每天的病人數(shù)應(yīng)在上一天的基礎(chǔ)上減去治愈和死亡的人數(shù)，并且由于采取強(qiáng)硬措施,“L”的取值會大大的減小，“K”取值也會是個變量，而不是常數(shù)。大多數(shù)疑是病人往往在早期就會被隔離，所以，基本上很少能轉(zhuǎn)化成自由非典病人而去接觸并傳染別人。如果此時還是選取這樣的單調(diào)遞增函數(shù)作為預(yù)測模型，就會有較大的誤差。該模型的另一個不足是沒有考慮SARS的潛伏期，也沒有對人群進(jìn)行合理的分類（如易感染人群、病人、治愈人群等等），所以必須建立更為合理的假設(shè)與模型。（三）定義與符號說明S：表示易感染人群即健康者在人群中的比例。E：處于潛伏期人群在人群眾的比率。，這種人暫時未發(fā)病，但他們最終將發(fā)病。I：已受感染者即病人在人群中的比例。R：移出者(包括“出院者”和“死亡者”)在人群中的比例。M：未被隔離的帶菌者。X：疑似病人。a:每個病人每天有效接觸并使之感染的平均人數(shù)（常數(shù)）。b:退出率，即SARS患者的每日死亡率和每日治愈率之和。c：潛伏期的病人的日發(fā)病率。d:每個未被隔離帶菌者被隔離前平均每天感染有效人數(shù)。x1:疑似中每日被排除的人數(shù)占疑似人數(shù)的比例。x2：疑似者中每日確診的人數(shù)占疑似人數(shù)的比例。j：每個未被隔離的帶菌者轉(zhuǎn)化為病人的日轉(zhuǎn)化率。k：被未被隔離的帶菌者有效傳染的人中可以控制的比例。τ0:SARS潛伏期(天數(shù))。（四）模型的假設(shè)：總體假設(shè)：材料提供的疫情統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)真實(shí)有效。基本假設(shè)：1、潛伏期一般是2到11天，我們假設(shè)為τ=5天。2、據(jù)醫(yī)學(xué)權(quán)威表明，傳染途徑主要是SARS患者，不包括處于潛伏期的。3、SARS患者被治愈后不具有傳染性，也不會再被傳染。4、北京市的總?cè)藬?shù)可視為常數(shù)，即不考慮流入人口與流出人口的影響。也不考慮這段時間的人口出生率與自然死亡率。把由SARS引起的死亡人數(shù)視為“移出者”（R）。5、與SARS病人接觸后都會被感染。（五）模型的分析：根據(jù)附件三（我們自己從中國網(wǎng)收集得到的數(shù)據(jù)，比賽題給的數(shù)據(jù)要詳細(xì)）中的數(shù)據(jù)表明，由于疫情初期政府控制力度不夠，大眾的對SARS的防范意識不強(qiáng)，造成病情迅速蔓延。而當(dāng)政府采取有力措施，人們的防患意識增強(qiáng)，疫情則趨于緩和，病患者人數(shù)迅速下降。所以SARS傳播大體上可分為兩個階段：1．控制前期：即認(rèn)為病毒傳播方式是自然傳播。2．控制后期：政府強(qiáng)力介入之后的病毒傳播模型。我們以附件三提供的北京市疫情統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)建立模型。（六）模型的建立：1、控前模型的建立：將人群分為易感染人群、已受感染者和移出者三類。時間為3月1日到4月19日。記S：表示易感染人群即健康者在人群中的比例。I：已受感染者即病人在人群中的比例。R：移出者(包括“出院者”和“死亡者”)在人群中的比例。a:每個病人每天有效接觸并使之感染成為潛伏病人（在τ天后發(fā)?。┑钠骄藬?shù)。b:移出率，即SARS患者的每日死亡率和每日治愈率之和。τ0:SARS潛伏期(天數(shù))。則有：初始值：S(0),S(1),S(2),S(3),S(4),I(0)I(1)I(2)I(3)I(4),R(0)該微分方程組帶有時滯因素，沒有解析解。因此我們考慮用差分方程的辦法，因?yàn)闈摲跒?天，所以I（0），I（1），I（2），I（3），I（4）分別表示疫情開始前5天的病人數(shù)，從第5天開始有：I（5）=I（4）+aS（0）I（0）－bI（5）即：I（5）=｛I（4）+aS（0）I（0）｝/{1+b}同理，I（6）=｛I（5）+aS（1）I（1）｝/{1+b}：I（n）={I(n-1)+aS(n-5)I(n-5)}/{1+b}(5)對S（t）,亦有S（5）＝S(4)-aI(0)S(0)S（6）＝S(5)-aI(1)S(1)：S（n）＝S(n-1)-aI(n-5)S(n-5)(6)對R（t）,則有R（n）=R(n-1)+bI(n)(n=1,2,……)(7)由此可得SARS的控前差分方程模型，即：如果初始值給定，并將參數(shù)a，b確定（a：由有關(guān)數(shù)據(jù)推導(dǎo)得出。b：由醫(yī)療水平和有關(guān)數(shù)據(jù)分析得出，取其平均值）就可計(jì)算出任一天的易感染人群、已受感染者和移出者的數(shù)目，但可惜的是，由于疫情初期政府控制力度不夠，沒有提供給我們真實(shí)有效數(shù)據(jù)，如北京首例SARS病人出現(xiàn)在3月1日，但只有4月19日以后的數(shù)據(jù)，所以我們只能進(jìn)行模型建立和分析，而不能求解模型。這也是建立真正有效的能預(yù)測的模型的困難之一。困難之二是這個微分方程組的求解極其困難。困難之三是我們不知道政府在何時干預(yù)及力度如何。2、控后模型的建立：將人群分為易感染人群、已受感染者、移出者、疑似病人和未被隔離的帶菌者五類。設(shè)控制開始時間為4月21日。記S：表示易感染人群即健康者在人群中的比例。I：已受感染者即病人在人群中的比例。M：未被隔離的帶菌者。X：疑似病人。R：移出者(包括“出院者”和“死亡者”)在人群中的比例。a:每個病人每天有效接觸并使之感染的平均人數(shù)（常數(shù)）。b:移出率，即SARS患者的每日死亡率和每日治愈率之和。d:每個未被隔離帶菌者被隔離前平均每天感染有效人數(shù)。x1:疑似者中每日被排除的人數(shù)占疑似人數(shù)的比例。x2：疑似者中每日確診的人數(shù)占疑似人數(shù)的比例。j：未被隔離的帶菌者轉(zhuǎn)化為病人的日轉(zhuǎn)化率。k：被未被隔離的帶菌者有效傳染的人中可以控制的比例。則有：S(t)＋I(xiàn)(t)＋R(t)＋X(t)＋M(t)＝1(13)S(0),I(0),R(0),X(0),M(0)為初始值參數(shù)的確定：我們以材料提供的北京市疫情統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來說明參數(shù)的分析方法。（見附件三）以下全部圖的坐標(biāo)0均表示4月19日。（1）x1：x1=（每天新增的疑似排除人數(shù)）/（當(dāng)天疑似病人累計(jì)人數(shù)—當(dāng)天移出累計(jì)人數(shù)）首先我們先直觀的觀察一下X1的變化趨勢。根據(jù)材料提供的數(shù)據(jù)，用MATLAB來出x1，并畫圖，如圖1所示：圖1接著用曲線擬合圖1，如圖2所示：圖2從上圖可看出，圖2大概有兩個峰值。第一個高峰可能是疑似者中非感染者較高；第二個峰值則是因大部分真正帶病的疑似者已轉(zhuǎn)化為確診后，未帶菌者相對比例增大造成的。由此4階擬合得出的曲線誤差很大，為此，我們?nèi)サ魩讉€偏差太大的點(diǎn)后，易看出，x1集中分布在0到0.05之間。從圖中，可以發(fā)現(xiàn)，最集中的數(shù)據(jù)為0.035，這樣我們就以0.035為x1的估計(jì)值。（2）x2：x2=（每天新增的疑似轉(zhuǎn)化為確診的人數(shù)）/（當(dāng)天疑似累計(jì)人數(shù)—當(dāng)天累計(jì)移出者）首先觀察x2的變化趨勢，如圖3所示：圖3用5階曲線擬合，如圖4所示：圖4 從圖4可見，x2在疫情得到重視后一直下降。由圖還可以看出x2的值主要分布在0.0005和0.015之間。我們根據(jù)SARS具有潛伏期的情況，估計(jì)x2分為兩個階段值：0.0223和0.006。 從對x1與x2的數(shù)據(jù)處理來看，我們可以將控制后期的這段時期分為兩個階段：過渡期和平穩(wěn)期；這兩個階段的產(chǎn)生是與非典自身的特性分不開的。由于非典具有潛伏期，所以在控制初期，由于前一段時間對非典的控制力度不夠，造成較多的人處于SARS潛伏期，這一部分人最終將轉(zhuǎn)化為SARS病人；且因?yàn)樗麄優(yōu)槲幢桓綦x帶菌者，在進(jìn)醫(yī)院前會傳染較多的人；加之各項(xiàng)措施從頒布到實(shí)行總會有一段反應(yīng)時間，所以上述原因直接導(dǎo)致了過渡期的形成。（3）b：b=（每天新增的出院者和死亡者的人數(shù)）/（當(dāng)天病人累計(jì)人數(shù)—當(dāng)天累計(jì)移出者人數(shù)）首先觀察b的變化趨勢。如圖5所示：圖5用3階曲線擬合，如圖6所示：圖6由圖還可以看出B的值主要分布在0.005和0.09之間。b也可以分為三個階段值：0.0085，0.036和0.085。（4）j：從材料提供的數(shù)據(jù)可以估計(jì)出其值在0.12到0.25之間?，F(xiàn)在我們令j=0.23。（5）k：根據(jù)各地的人們的意識和習(xí)慣等因素反映出來，比如在控制期對人口流動的控制嚴(yán)格程度，減少聚會等措施。由此我們估計(jì)k在0.7到0.9之間。（七）模型的解法與求解：經(jīng)過嘗試，我們可以知道無法從建立的微分方程直接求出S，I，R，X，M的函數(shù)表達(dá)式。我們嘗試編寫龍格—庫塔微分求解算法求它們的數(shù)值解。龍格—庫塔算法（求解微分方程組）：K1=f(t,Zn)K2=f(t,Zn+h/2*K1)K3=f(t,Zn+h/2*K2)K4=f(t,Zn+h*K3)Zn+1=Zn+h/2(K1+2K2+2K3+K4)步長h取1Zn為矩陣（S，I，R，X，M）f為5個方程的形式K（K1~K4）為（4X5）的矩陣[1]由Zn的初值可順序算出K（K1，K2，K3，K4）的值，進(jìn)而推出Zn+1的值。據(jù)此遞推可得任意的Zn的值。（matlab程序附于附件一中）我們通過求出的數(shù)值解跟根據(jù)材料算出的每一天的S、I、R、X、M的值作對比，并畫出圖像。根據(jù)圖像可以看出實(shí)際數(shù)值和理論計(jì)算數(shù)值存在一定的差異。因此，我們可以通過調(diào)整由估計(jì)得來的數(shù)據(jù)來使兩個圖像趨于一致。通過分析估計(jì)有：x1=0.035，x2=0.0223~0.006，b=0.0085~0.1913，d=0.555，j=0.22，k=0.71。這組數(shù)據(jù)使圖像與實(shí)際最為接近。圖7是材料提供的北京市累計(jì)病人比率圖：圖7以下是由龍格—庫塔方法求得的I的數(shù)值解畫出的圖：（藍(lán)圈表示實(shí)際的數(shù)據(jù)，紅線是I的數(shù)值解）圖8注：0點(diǎn)表示為4月19日，從此開始往后計(jì)算天數(shù)。從上圖曲線的分析可得：病人數(shù)在5月13號(4月19日往后25天)前后達(dá)到高峰期。病人數(shù)在5月18日左右出現(xiàn)最大值，且Imax=0.00015，此后開始下降。病人數(shù)在6月10號前后趨于緩解，并不斷遞減，在6月10號至7月10初為緩解階段。這是由于政府采取了大力控制措施，使大多數(shù)帶菌者被隔離，從而被傳染的人數(shù)越來越少。病人數(shù)將在130天后即8月底左右趨于0，即疫情的最終控制期。（八）模型的優(yōu)缺點(diǎn)一．模型的優(yōu)點(diǎn)：(1)首先此模型進(jìn)行了較為詳細(xì)的分類，使得微分方程的聯(lián)立顯得較為緊湊，相關(guān)性較強(qiáng)。因?yàn)椴牧咸峁┑臄?shù)據(jù)齊全，各參數(shù)的設(shè)置合理，所以參數(shù)的設(shè)計(jì)在詳細(xì)的數(shù)據(jù)的支持下和實(shí)際情況較為接近，為圖形的擬合和對最終控制期的預(yù)測奠定了基礎(chǔ)。(2)該模型適用范圍較廣，只要數(shù)據(jù)足夠地精確詳細(xì)，則求出估計(jì)參數(shù)便可求解。(3)該模型雖然是控后模型，但只要人的警惕性增強(qiáng)，把控制期提前到疫情初期，那么只要做適當(dāng)?shù)膮?shù)修改便可以作為疫情發(fā)展的全過程的預(yù)測模型。二．模型的缺點(diǎn)：(1)首先是沒有考慮年齡結(jié)構(gòu)層次對疫情的影響。因?yàn)楦鶕?jù)醫(yī)學(xué)研究表明，兒童與老人極易感染非典病毒，而青壯年由于精力旺盛使的活動積極者，且由于控制后期的前期人們的活動幾率仍然較高，所以接觸的幾率較大。而在控后期的后期由于人們的活動水平降低，使得接觸的幾率降低，接觸幾率的不斷降低這一點(diǎn)在模型中并沒有得到很好的體現(xiàn)。(2)隨著醫(yī)療水平的提高與人們的意識水平、政府的嚴(yán)厲的控制措施，退出率實(shí)際上是不斷提高的，而在我們的模型中卻認(rèn)為這是一個常數(shù)。（九）控后模型的改進(jìn)：(1)在模型中引入接觸率與移出率應(yīng)隨著病人的減少而變化，可能會是趨于p的變化，隨著時間推移有所調(diào)整，以附和預(yù)測的需要。(2)在模型中引入接觸感染率的概念，即體現(xiàn)接觸不一定感染，只不過是感染率較高。(3)對控后模型加入潛伏期對病毒的傳播造成的影響。(十)對于衛(wèi)生部門采取的措施的評價對于衛(wèi)生部門提前或延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施的影響，我們可以建立下面的模型進(jìn)行輔助分析估計(jì)：1．模型參數(shù)定義：S(t)——t時刻易感人群總數(shù)I(t)——t時刻出現(xiàn)的新增患者——患者從患病起經(jīng)過時間，仍為患者的概率——患者距發(fā)病時間，具有傳染性的概率——患者與易感人群接觸率近斷時間的醫(yī)學(xué)研究表明，從正式發(fā)病到治愈一般需7—14天或更長時間，假定平均治愈時間為12天。 2．基本條件假設(shè)：新患者出現(xiàn)的數(shù)量與現(xiàn)有患者的數(shù)量成正比，也與現(xiàn)有易感者的數(shù)量成正比，即發(fā)病率是患者人數(shù)和易感者人數(shù)的雙線性函數(shù)。由基本假設(shè)條件可得：S（t+1）=S(t)-I(t+1)（1）I(t+1)=S(t)（2）經(jīng)整理后得：S(t+1)=S(t)-（3）S(t+1)=S(t)(1-（4）S(t+1)/S(t)=(1-（5）雖然不能具體知道的數(shù)值，那么我可以根據(jù)較為理想的均勻平均遞減概率參數(shù)，可得下表：0123456789101112111/1210/129/128/127/126/125/124/123/122/121/120如果病人發(fā)病后5天才開始隔離，并且的值在疫情初期又較大的話，那么由上表可知病人已經(jīng)分別以11/12、10/12、9/12、8/12、7/12的大概率在社會上與易感人群接觸和傳染。由（5）式得S(t+1)/S(t)=(1-<1（6）也就是S(t+1)<S(t)，易感人群總數(shù)將會一以較大的數(shù)值遞減，給疫情的控制帶來更大的困難。而且在現(xiàn)實(shí)生活中在第5天的（5）>7/12。當(dāng)處于潛伏期時，傳染性幾乎為0，因而同理我們有理由相信：S(t+1)/S(t)=(1-（7）即S(t+1)近似于S(t)。所以，如果在病人發(fā)病前提前5天隔離的話，新增病人數(shù)將變得很小。（十一）SARS對經(jīng)濟(jì)的影響從附件四中2003年度4，5，6，7，8月的旅游人數(shù)與往年同期月份的數(shù)據(jù)作對比，可以發(fā)現(xiàn)Sars對經(jīng)濟(jì)（旅游業(yè)）的影響還是很顯著的。下面建立模型進(jìn)行預(yù)測和分析對比，用數(shù)值上的差異來說明問題。 我們主要用一階常系數(shù)差分方程作為預(yù)測模型，他的形式為:x(t+1)+px(t)=q (1)在應(yīng)用一階常系數(shù)差分方程的過程中，系數(shù)p與q是不易確定的，因?yàn)槁糜蔚娜藬?shù)多少只對下一年度產(chǎn)生較大的影響，而對后年度的人數(shù)不產(chǎn)生較大的影響，所以對p與q的估計(jì)使用加權(quán)平均的方法來近似計(jì)算，即使用1997到2002的旅游人數(shù)X(i)進(jìn)行構(gòu)造： -P1=X(1998)/X(1997)-P2=X(1999)/X(1998)……….-P5=X(2002)/X(2001)-P=(1/15)(-P1-2P2-3P3-4P4-5P5)(2)由-p的表達(dá)式反映了x(t+1)與x(t)間的加權(quán)比例，q則表示x(t+1)與x(t)之間的加權(quán)平均值，權(quán)數(shù)分配與-p的計(jì)算方法相同。即：-q=(1/15)(-q1-2(q2)-3(q3)-4(q4)-5(q5))(3)求出p與q具體值之后，可推導(dǎo)出表達(dá)式： x(t)=A(-P)+q/(1+p)(p-1)(4)[5]其中求A值方法為代入t=0，x(t)為最后一年即2002年時的數(shù)值后求出的對應(yīng)數(shù)值，求出A值之后，將t=1代入，便可求出下一年的預(yù)測數(shù)值。下圖9就是我們用所建立的模型的預(yù)測數(shù)值（紅色曲線）與材料（附件四）提供的實(shí)際數(shù)值（綠色曲線）的對比圖：圖9從預(yù)測出的4,5,6,7,8月的數(shù)值與真實(shí)數(shù)值作對比，可明顯看出他們之間的顯著差異。所以sars的確對我國經(jīng)濟(jì)方面產(chǎn)生不良影響，如旅游，交通，餐飲業(yè)等。由于sars疫情逐漸趨于平緩，預(yù)計(jì)從9月開始旅游業(yè)恢復(fù)正常，為此我們也給了一些相關(guān)預(yù)測數(shù)據(jù)，僅供參考。下圖10分別是用所建模型對2003年4月到12月預(yù)測數(shù)據(jù)（紅色曲線）與根據(jù)材料提供的前6年后8個月的數(shù)據(jù)用MATLAB擬合的2003年4月到12月預(yù)測數(shù)據(jù)（綠色曲線）的對比圖圖10月份456789101112模型預(yù)測31.567631.452729.809927.744334.437333.659734.895432.845724.8856擬合32.150032.830031.600029.330036.400033.140032.850026.850027.7900實(shí)際數(shù)11.61.782.618.816.2減少%63.394.391.268.252.9表2從表2可以知，從4月份起，SARS對北京的海外旅游人數(shù)打擊很大，4月份就驟減了63%左右，當(dāng)4月底5月初SARS達(dá)到高峰時，對人們的心理影響也最大，5月份幾乎減少了95%，6月份因直到月底北京的SARS疫情才解禁，所以該月仍然減少了90%以上，7月與8月份仍心有余悸，分別減少近70%和53%，但影響已逐漸減少。隨著SARS的徹底結(jié)束和時間的推移，相信從2003年9月至12月北京市的旅游人數(shù)將逐漸恢復(fù)正常。（十二）通俗短文20世紀(jì)末期，全世界醫(yī)學(xué)科學(xué)突飛猛進(jìn)，人類征服疾病的能力提高到了一個嶄新的水平。隨著人體器官的克隆成功，基因療法臨床應(yīng)用的突破，為人類“永葆青春”、“延年益壽”展現(xiàn)出美好前景……但今春以來，在世界范圍有兩大熱點(diǎn)為人們所關(guān)注，這兩大熱點(diǎn)就是——“兩薩”，伊拉克戰(zhàn)爭和非典型肺炎。全球協(xié)力“剿薩”。前者指的是薩達(dá)姆（Saddam），后者指的則是令人發(fā)指的薩斯（SARS）。作為21世紀(jì)的瘟神，SARS已經(jīng)侵襲了世界東西方的33個國家和地區(qū)，堪稱“東邪西毒”。它橫行逞兇，荼毒生靈；變異的冠狀病毒興妖作怪，大展魔法。它襲擊我們的呼吸系統(tǒng)，竄入肺腑為非作歹，使人們不能自由呼吸。據(jù)5月15日世界衛(wèi)生組織統(tǒng)計(jì)公告，全球感染“非典”病的人數(shù)已逾8000，雖各個國家都采取了防范的應(yīng)對措施，但由于SARS是突發(fā)的傳染病的變種，使得人們沒有及時有效的預(yù)測工具作為武器，仍未能在較短的時間內(nèi)遏制蔓延的勢頭?！胺堑洹睂θ祟惖拇輾埡蜌?，雖比不上一場大的戰(zhàn)爭，但波及面之廣，影響之大，給人類心靈上造成的負(fù)面效應(yīng)和傷害，遠(yuǎn)比一場戰(zhàn)爭深重得多。面對SARS，人類并不是無能為力的。建立非典傳染病的數(shù)學(xué)模型，可以描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來等等，這就為人們正確認(rèn)識SARS，采取必要的預(yù)防和隔離措施提供了理論依據(jù)。事實(shí)上新的傳染病疫情發(fā)展初期，人們不可能去做傳染病傳播的試驗(yàn)以獲取數(shù)據(jù)，從醫(yī)療衛(wèi)生部門得到的資料也是不完全與不充分的，所以通常主要是依據(jù)以往的機(jī)理分析的方法建立模型。造成傳染病流行的主要有三個環(huán)節(jié)，一是傳染源，二是傳染途徑，三是易感人群。但不同類型的傳染病的傳播過程有各自不同的特點(diǎn)，弄清這些特點(diǎn)需要相當(dāng)多的病理知識，這里不可能從醫(yī)學(xué)角度一一分析各種傳染病的傳播，而只是按照以往的傳播可能機(jī)理建立幾種相關(guān)模型。正確的判斷并提出這些“可能”，只能來自于對突發(fā)事件的現(xiàn)場初期的調(diào)查研究結(jié)果進(jìn)行預(yù)測，因此，現(xiàn)場流行病學(xué)調(diào)查分析是必不可少甚至是首要的應(yīng)急措施之一。這樣就可以及時的在原有相似模型的基礎(chǔ)上建立相應(yīng)的新模型，對疫情發(fā)展作出相關(guān)的預(yù)測，并可在建立模型的過程中及時發(fā)現(xiàn)對疫情發(fā)展起關(guān)鍵作用的環(huán)節(jié)，做到擒賊先擒王，控制疫情發(fā)展中樞要害環(huán)節(jié)，采取強(qiáng)制措施加以控制，并做好應(yīng)對相關(guān)突發(fā)情況的準(zhǔn)備。而傳染病數(shù)學(xué)模型無疑會給以上所論述的種種帶來極大的幫助或起輔助作用。就像此次SARS疫情，如果我們能及時建立可能的預(yù)測模型，及時發(fā)現(xiàn)隔離疑是病人，SARS病人關(guān)鍵的關(guān)鍵，那么疫情就會的到及時有效的控制。在人類與各種疾病作斗爭的時候，別忘了數(shù)學(xué)模型也是一個強(qiáng)有力的武器！參考文獻(xiàn)[1]姜啟源，《數(shù)學(xué)模型》（第二版），北京：高等教育出版社，1993年[2]李慶揚(yáng)、王能、易大義,數(shù)值分析，武漢：華中理工大學(xué)出版社，1986年[3]壽紀(jì)麟，數(shù)學(xué)建模-方法與范例，西安：西安交大出版社，1993年[4]SARS預(yù)測模型，，2003年8月[5]常備不懈，磨礪以須，預(yù)防和控制傳染病，中華預(yù)防醫(yī)學(xué)雜志，37卷第4、5期[6]張恩詳，來華境外游客的動態(tài)預(yù)測方法，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，30卷第1期附錄附件一：RungeKutta.my0=[48258869377487798811141199134714401553163617411803189719602049213621772227226523042347237023882405242024342437244424442456246524902499250425122514251725202521252225222522252225222522252325222522252225232523252225222522252125212521252125212521]y1=[4346556473767878839010010911511812113414115216817518620324425225727330733234939544752858266770474782886692810061087112411571189126313211403144615431653174718211876194419942015205321202154217121892231]y2=[25283539424856596675829196100103107110112114116120129134139140141145147150154156158160163167168172175176177181181181181181181183183184184186186187187189189190190191191191191]yy=y0-y1-y2;yy=yy/14000000;b=zeros(5,200);k=zeros(4,5);h=1;b(:,1)=[13997526;414;68;610;600];%初值b(:,1)=b(:,1)/14000000;j=0.48;e=0.23;a=0.71;yy0=0.035;yy1=0.0223;q=0.0085;x=zeros(1,200);Min=1;fori=1:200x(i)=i;endfort=1:199ift>=25yy1=0.006;q=0.036;ift>=45q=0.085;endends=b(1,t);i=b(2,t);r=b(3,t);y=b(4,t);m=b(5,t);k(1,1)=yy0*y-j*m*s;k(1,2)=e*m-q*i+yy1*y;k(1,3)=q*i;k(1,4)=j*m*s*a-yy0*y-yy1*y;k(1,5)=j*m*s*(1-a)-e*m;forp=1:2k(p+1,1)=yy0*(y+h/2*k(p,4))-j*(m+h/2*k(p,5))*(s+h/2*k(p,1));k(p+1,2)=e*(m+h/2*k(p,1))-q*(i+h/2*k(p,2))+yy1*(y+h/2*k(p,4));k(p+1,3)=q*(i+h/2*k(p,2));k(p+1,4)=j*(m+h/2*k(p,5))*(s+h/2*k(p,1))*a-(yy0+yy1)*(y+h/2*k(p,4));k(p+1,5)=j*(m+h/2*k(p,5))*(s+h/2*k(p,1))*(1-a)-e*(m+h/2*k(p,5));endk(4,1)=yy0*(y+h*k(3,4))-j*(m+h*k(3,5))*(s+h*k(3,1));k(4,2)=e*(m+h*k(3,5))-q*(i+h*k(3,2))+yy1*(y+h*k(3,4));k(4,3)=q*(i+h*k(3,2));k(4,4)=j*(m+h*k(3,5))*(s+h*k(3,1))*a-(yy0+yy1)*(y+h*k(3,4));k(4,5)=j*(m+h*k(3,5))*(s+h*k(3,1))*(1-a)-e*(m+h*k(3,5));b(:,t+1)=b(:,t)+h/6*(k(1,:)'+2*k(2,:)'+2*k(3,:)'+k(4,:)');endplot(x(1:62),yy','o',x,b(2,:),'+',x,b(2,:));附件二：economy1.mx=[9.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.6;9.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.9;10.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.5;11.426.019.625.927.624.323.027.827.328.532.818.5;11.526.420.426.128.928.025.230.828.728.122.220.7;13.729.723.128.929.027.426.032.231.432.629.222.9]a=size(x)p=zeros(1,a(2));q=p;t=p;A=p;flag=0;fori=1:a(1)-1p=p+i*x(i+1,:)./x(i,:);endp=p/15;fori=1:a(1)-1q=q+i*(x(i+1,:)-p.*x(i,:));endq=q/15;A=x(a(1),:)-q./(1+p);fori=1:a(2)ifp(i)==-1flag=1;endendifflag~=1t=A.*p+q./(1+p);%預(yù)測值endeconomy2.mx=[9.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.6;9.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.9;10.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.5;11.426.019.625.927.624.323.027.827.328.532.818.5;11.526.420.426.128.928.025.230.828.728.122.220.7;13.729.723.128.929.027.426.032.231.432.629.222.9;15.417.123.511.61.782.618.816.20000]xx=[15.417.123.531.567631.452729.809927.744334.437333.659734.895432.845724.8856]t=[123456789101112]z=[12345678]fxy1=polyfit(z,x(7,1:8),4);y1=polyval(fxy1,t);plot(z,x(7,1:8),'+',t,y1,t,xx);pausefori=1:12yy=x(1:6,i)';fxy=polyfit(z(1:6),yy,2);f(i)=polyval(fxy,7);y=polyval(fxy,z(1:6));plot(z(1:7)+1996,x(:,i),'+',z(1:6)+1996,y,2003,xx(i),'ro');pauseendplot(t(4:12),f(4:12),'g',t(4:12),xx(4:12),'r');附件三：北京市有關(guān)“SARS”疫情統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)日期臨床診斷病例數(shù)其中醫(yī)務(wù)人員數(shù)出院人數(shù)死亡人數(shù)疑似病例數(shù)新增/

(其中

由疑似轉(zhuǎn)為臨床診斷數(shù)）累計(jì)新增累計(jì)新增累計(jì)新增累計(jì)新增排除合計(jì)4．1969421694353196104．2074482107810434254．2110658821993463286664．22105693271269557357824．2389774*171439644391128634．24101861151589733421619544．2510691041621743451679714．26113988*716737664817310934．27126(50)*11142018727885616211914．2896(37)*1199**2020607835914912754．29152(49)*1347**5025558376614913584．30101(31)*1440**1827079097511614085．1122（40）155320288101007829614155．296（48）1636①1530091099911454414685．3114(48)1741①2031961155961043114935．469(26)1803①832631184100902015375．598(58)1897①933531213103653415105．670(37)1960①14348131344107803015235．797(57)20491235871413110974915145．894(57)2136①12370111522112805114865．948(28)2177①3372161682114548714255．1054(24)2227①437571752116454913975．1142（21）2265①4379111864120511614115．1248(39)2304①5384172039129484213785．1348(34)2347①4384412445134354113385．1439(18)2370①338782525139516313085．1527(12)2388238952571140412013175．1628(22)2405①2391162731141437312655．1719(13)2420①2393343074145414312505．1817(8)2434①1394253322147322412505．197(4)2437①2396173493150272412495．2012(10)2444①1395463954154173112255．218(7)2444①0395524472156343112215．2215(11)2456①1395815282158222712055．2315(14)2465①1395545822160172911795．2426(24)2490①1396856673163194011345．2513(10)2499①1396377044167163511055．265(4)25041397437471168205210695．279(7)2512①1398818284172116810055．2832514①039838866317515799415．293(3)2517039862928117661418035．306(5)2520①039878100611776447605．311(1)2521139981108741816187476．11(1)2522039937112401814117396．202522039933115701816117346．32(2)2522②039932118901812107246．40252203997412630181287186．50252203995813210181137166．60252203998214032183257136．712523039943144601832476686．802522①971543118401185506．90252211016530184①0994516．10025229417472186①01003516．111(1)252374182101862952576．1202523551876118701021556．1302522①6819440187084716．1402522501994218926946．150252221201501890136．1602521①38205311900036．170252167212001902056．180252134215411910146．190252117217101910136．200252118218901910036．21025214222310191012注：附表三是從網(wǎng)上下載并經(jīng)過整理后的資料，由于數(shù)據(jù)和精確度較原競賽組委會提供的更為詳盡，更有利于模型的建立，參數(shù)的估計(jì)和求解，所以我們采用附表三作為數(shù)據(jù)的參考。附件四：北京市接待海外旅游人數(shù)（單位：萬人）年1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月19971998199920002001200220039.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.69.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.910.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.511.426.019.625.927.624.323.027.827.328.532.818.511.526.420.426.128.928.025.230.828.728.122.220.713.729.723.128.929.027.426.032.231.432.629.222.915.417.123.511.61.782.618.816.2附錄資料：不需要的可以自行刪除電腦快捷鍵基本快捷鍵F1顯示當(dāng)前程序或者windows的幫助內(nèi)容。F2當(dāng)你選中一個文件的話，這意味著“重命名”F3當(dāng)你在桌面上的時候是打開“查找：所有文件”對話框F10或ALT激活當(dāng)前程序的菜單欄Esc所打開的網(wǎng)頁(退出）全屏windows鍵或CTRL+ESC打開開始菜單CTRL+ALT+DELETE在win9x中打開關(guān)閉程序?qū)υ捒駾ELETE刪除被選擇的選擇項(xiàng)目，如果是文件，將被放入回收站SHIFT+DELETE刪除被選擇的選擇項(xiàng)目，如果是文件，將被直接刪除而不是放入回收站CTRL+N新建一個新的文件CTRL+O打開“打開文件”對話框CTRL+P打開“打印”對話框CTRL+S保存當(dāng)前操作的文件CTRL+X剪切被選擇的項(xiàng)目到剪貼板CTRL+INSERT或CTRL+C復(fù)制被選擇的項(xiàng)目到剪貼板SHIFT+INSERT或CTRL+V粘貼剪貼板中的內(nèi)容到當(dāng)前位置ALT+BACKSPACE或CTRL+Z撤銷上一步的操作ALT+SHIFT+BACKSPACE重做上一步被撤銷的操作Windows鍵+L鎖屏鍵Windows鍵+M最小化所有被打開的窗口。Windows鍵+SHIFT+M重新將恢復(fù)上一項(xiàng)操作前窗口的大小和位置Windows鍵+D瞬間最小化所有窗口，再次按此組合鍵時恢復(fù)之前最小化的窗口。Windows鍵+E打開資源管理器Windows鍵+F打開“查找：所有文件”對話框Windows鍵+R打開“運(yùn)行”對話框Windows鍵+BREAK打開“系統(tǒng)屬性”對話框Windows鍵+CTRL+F打開“查找：計(jì)算機(jī)”對話框SHIFT+F10或鼠標(biāo)右擊打開當(dāng)前活動項(xiàng)目的快捷菜單SHIFT在放入CD的時候按下不放，可以跳過自動播放CD。在打開word的時候按下不放，可以跳過自啟動的宏ALT+F4關(guān)閉當(dāng)前應(yīng)用程序ALT+SPACEBAR打開程序最左上角的菜單ALT+TAB切換當(dāng)前程序ALT+ESC切換當(dāng)前程序ALT+ENTER將windows下運(yùn)行的MSDOS窗口在窗口和全屏幕狀態(tài)間切換PRINTSCREEN將當(dāng)前屏幕以圖象方式拷貝到剪貼板ALT+PRINTSCREEN將當(dāng)前活動程序窗口以圖象方式拷貝到剪貼板CTRL+F4關(guān)閉當(dāng)前應(yīng)用程序中的當(dāng)前文本（如word中）CTRL+F6切換到當(dāng)前應(yīng)用程序中的下一個文本（加shift可以跳到前一個窗口）在IE中：ALT+RIGHTARROW顯示前一頁（前進(jìn)鍵）ALT+LEFTARROW顯示后一頁（后退鍵）CTRL+TAB在頁面上的各框架中切換（加shift反向）F5刷新CTRL+F5強(qiáng)行刷新二、目的快捷鍵F10激活程序中的菜單欄ALT+菜單上帶下劃線的字母執(zhí)行菜單上相應(yīng)的命令CTRL+F4關(guān)閉多文檔界面程序中的當(dāng)前窗口ALT+F4關(guān)閉當(dāng)前窗口或退出程序CTRL+C復(fù)制CTRL+V粘貼CTRL+X剪切DELETE刪除F1顯示所選對話框項(xiàng)目的幫助ALT+空格鍵顯示當(dāng)前窗口的系統(tǒng)菜單SHIFT+F10顯示所選項(xiàng)目的快捷菜單CTRL+ESC顯示“開始”菜單ALT+連字號(-)顯示多文檔界面程序的系統(tǒng)菜單按住ALT然后重復(fù)按TAB，切換到上次使用的窗口或者ALT+TAB切換到另一個窗口CTRL+Z撤消三、使用“Windows資源管理器”的快捷鍵目的快捷鍵如果當(dāng)前選擇展開了,要折疊或者選擇父文件夾左箭頭折疊所選的文件夾NUMLOCK+負(fù)號(-)如果當(dāng)前選擇折疊了，要展開或者選擇第一個子文件夾右箭頭展開當(dāng)前選擇下的所有文件夾NUMLOCK+*展開所選的文件夾NUMLOCK+加號(+)在左右窗格間切換F6三、使用WINDOWS鍵可以使用Microsoft自然鍵盤或含有Windows徽標(biāo)鍵的其他任何兼容鍵盤的以下快捷鍵。在任務(wù)欄上的按鈕間循環(huán)WINDOWS+TAB顯示“查找：所有文件”WINDOWS+F顯示“查找：計(jì)算機(jī)”CTRL+WINDOWS+F顯示“幫助”WINDOWS+F1顯示“運(yùn)行”命令WINDOWS+R顯示“開始”菜單WINDOWS顯示“系統(tǒng)屬性”對話框WINDOWS+BREAK顯示“Windows資源管理器”WINDOWS+E最小化或還原所有窗口WINDOWS+D撤消最小化所有窗口SHIFT+WINDOWS+M四、“我的電腦”和“資源管理器”的快捷鍵目的快捷鍵關(guān)閉所選文件夾及其所有父文件夾按住SHIFT鍵再單擊“關(guān)閉按鈕（僅適用于“我的電腦”）向后移動到上一個視圖ALT+左箭頭向前移動到上一個視圖ALT+右箭頭查看上一級文件夾BACKSPACE五、使用對話框中的快捷鍵目的快捷鍵 取消當(dāng)前任務(wù)ESC如果當(dāng)前控件是個按鈕，要單擊該按鈕或者如果當(dāng)前控件是個復(fù)選框，要選擇或清除該復(fù)選框或者如果當(dāng)前控件是個選項(xiàng)按鈕，要單擊該選項(xiàng)空格鍵單擊相應(yīng)的命令A(yù)LT+帶下劃線的字母單擊所選按鈕ENTER在選項(xiàng)上向后移動SHIFT+TAB在選項(xiàng)卡上向后移動CTRL+SHIFT+TAB在選項(xiàng)上向前移動TAB在選項(xiàng)卡上向前移動CTRL+TAB如果在“另存為”或“打開”對話框中選擇了某文件夾，要打開上一級文件夾BACKSPACE在“另存為”或“打開”對話框中打開“保存到”或“查閱”F4刷新“另存為”或“打開”對話框F5六、桌面、我的電腦和“資源管理器”快捷鍵選擇項(xiàng)目時，可以使用以下快捷鍵。目的快捷鍵插入光盤時不用“自動播放”功能按住SHIFT插入CD-ROM復(fù)制文件按住CTRL拖動文件創(chuàng)建快捷方式按住CTRL+SHIFT拖動文件立即刪除某項(xiàng)目而不將其放入SHIFT+DELETE“回收站”顯示“查找：所有文件”F3顯示項(xiàng)目的快捷菜單APPLICATION鍵刷新窗口的內(nèi)容F5重命名項(xiàng)目F2選擇所有項(xiàng)目CTRL+A查看項(xiàng)目的屬性ALT+ENTER或ALT+雙擊可將APPLICATION鍵用于Microsoft自然鍵盤或含有APPLICATION鍵的其他兼容鍵七、Microsoft放大程序的快捷鍵這里運(yùn)用Windows徽標(biāo)鍵和其他鍵的組合。Windows徽標(biāo)+PRINTSCREEN將屏幕復(fù)制到剪貼板（包括鼠標(biāo)光標(biāo)）Windows徽標(biāo)+SCROLLLOCK將屏幕復(fù)制到剪貼板（不包括鼠標(biāo)光標(biāo)）Windows徽標(biāo)+PAGEUP切換反色。Windows徽標(biāo)+PAGEDOWN切換跟隨鼠標(biāo)光標(biāo)Windows徽標(biāo)+向上箭頭增加放大率Windows徽標(biāo)+向下箭頭減小放大率八、使用輔助選項(xiàng)快捷鍵切換篩選鍵開關(guān)右SHIFT八秒切換高對比度開關(guān)左ALT+左SHIFT+PRINTSCREEN切換鼠標(biāo)鍵開關(guān)左ALT+左SHIFT+NUMLOCK切換粘滯鍵開關(guān)SHIFT鍵五次切換切換鍵開關(guān)NUMLOCK五秒QQ快捷鍵，玩QQ更方便Alt+S快速回復(fù)Alt+C關(guān)閉當(dāng)前窗口Alt+H打開聊天記錄Alt+T更改消息模式Alt+J打開聊天紀(jì)錄Ctrl+A全選當(dāng)前對話框里的內(nèi)容Ctrl+FQQ里直接顯示字體設(shè)置工具條Ctrl+J輸入框里回車(跟回車一個效果)Ctrl+M輸入框里回車(跟回車一個效果)Ctrl+L對輸入框里當(dāng)前行的文字左對齊Ctrl+R對輸入框里當(dāng)前行的文字右對齊Ctrl+E對輸入框里當(dāng)前行的文字居中Ctrl+V在qq對話框里實(shí)行粘貼Ctrl+Z清空/恢復(fù)輸入框里的文字Ctrl+回車快速回復(fù)這個可能是聊QQ時最常用到的了Ctrl+Alt+Z快速提取消息Ctrl+Alt+A捕捉屏幕最常用的快捷鍵F5刷新DELETE刪除TAB改變焦點(diǎn)CTRL+C復(fù)制CTRL+X剪切CTRL+V粘貼CTRL+A全選CTRL+Z撤銷CTRL+S保存ALT+F4關(guān)閉CTRL+Y恢復(fù)ALT+TAB切換CTRL+F5強(qiáng)制刷新CTRL+W關(guān)閉CTRL+F查找SHIFT+DELETE永久刪除CTRL+ALT+DEL任務(wù)管理SHIFT+TAB-反向切換CTRL+空格--中英文輸入切換CTRL+Shift輸入法切換CTRL+ESC--開始菜單CTRL+ALT+ZQQ快速提取消息CTRL+ALT+AQQ截圖工具CTRL+ENTERQQ發(fā)消息Alt+1保存當(dāng)前表單Alt+2保存為通用表單Alt+A展開收藏夾列表資源管理器END顯示當(dāng)前窗口的底端HOME顯示當(dāng)前窗口的頂端NUMLOCK+數(shù)字鍵盤的減號(-)折疊所選的文件夾NUMLOCK+數(shù)字鍵盤的加號(+)顯示所選文件夾的內(nèi)容NUMLOCK+數(shù)字鍵盤的星號(*)顯示所選文件夾的所有子文件夾向左鍵當(dāng)前所選項(xiàng)處于展開狀態(tài)時折疊該項(xiàng)，或選定其父文件夾向右鍵當(dāng)前所選項(xiàng)處于折疊狀態(tài)時展開該項(xiàng)，或選定第一個子文件夾自然鍵盤【窗口】顯示或隱藏“開始”菜單【窗口】+F1幫助【窗口】+D顯示桌面【窗口】+R打開“運(yùn)行”【窗口】+E打開“我的電腦”【窗口】+F搜索文件或文件夾【窗口】+U打開“工具管理器”【窗口】+BREAK顯示“系統(tǒng)屬性”【窗口】+TA