【高考風(fēng)向標(biāo)】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三章 第6講 空間坐標(biāo)系與空間向量 理

考綱要求考綱研讀空間向量及其運(yùn)算(1)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．(2)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示．(3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.本節(jié)知識(shí)是代數(shù)化方法研究幾何問題的基礎(chǔ)，向量運(yùn)算分為向量法與坐標(biāo)法兩類，以通過向量運(yùn)算推理，去研究幾何元素的位置關(guān)系為重點(diǎn).第6講空間坐標(biāo)系與空間向量編輯ppt1．空間向量的概念

在空間，既有大小又有方向的量，叫做_________，記作a或 2．空間向量的運(yùn)算 (3)數(shù)乘向量：λa(λ∈R)仍是一個(gè)向量，且λa與a共線， |λa|＝|λ||a|. (4)數(shù)量積：a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，a·b是一個(gè)實(shí)數(shù)．空間向量編輯ppt

3．空間向量的運(yùn)算律

(1)交換律：a＋b＝b＋a；a·b＝b·a. (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)[注意:(a·b)c＝a(b·c)一般不成立]． (3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)；a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(x1±x2，y1±y2，z1±z2)編輯pptλa＝____________________；a·b＝_______________；cos〈a，b〉＝_______________________.

(3)M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，

(4)對(duì)于非零向量a與b，設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么有

a∥b?a＝λb?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2；a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.

(λx1，λy1，λz1)x1x2＋y1y2＋z1z2編輯ppt1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k值是()DA．1

1B. 5

3C. 5D.75編輯ppt2．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，)則下列結(jié)論正確的是( A．a(chǎn)∥b，b⊥c

C．a(chǎn)∥c，a⊥b

B．a(chǎn)∥b，a⊥cD．以上都不對(duì)3．設(shè)一地球儀的球心為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O球面上有兩個(gè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(1,2,2)，B(2，－2,1)，則|AB|＝()A．18B．12CC編輯ppt4．(2010年廣東)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝____.2

5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是__________．

(0，－1,0)編輯ppt考點(diǎn)1向量的線性運(yùn)算圖13－6－1編輯ppt解題思路：利用三角形法則轉(zhuǎn)化．編輯ppt(1)本題結(jié)合圖形特點(diǎn)運(yùn)用向量的三角形法則或平行四邊形法則、共線向量定理等基本關(guān)系表示出有關(guān)的向量．

(2)向量的線性運(yùn)算有一個(gè)常用的結(jié)論：如果點(diǎn)B是線段AC編輯ppt【互動(dòng)探究】圖13－6－2編輯ppt編輯ppt編輯ppt考點(diǎn)2向量的坐標(biāo)運(yùn)算

例2：已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為BB1，C1D1

的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求平面AMN的法向量．

解題思路：在平面AMN內(nèi)找兩個(gè)相交向量分別與法向量垂直．

解析：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系．如圖D28.

圖D28編輯ppt編輯ppt【互動(dòng)探究】

2．已知點(diǎn)A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的法向量可以是()D編輯ppt考點(diǎn)3用向量證明平行與垂直問題

例3：如圖13－6－3，已知直三棱柱ABC－A1B1C1

中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)． 求證：(1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF.圖13－6－3編輯ppt

解題思路：未引入空間向量，用向量代數(shù)形式來處理立體幾何問題，引入空間向量可降低思維難度，使解題變得程序化，但學(xué)生時(shí)常用傳統(tǒng)方法把問題復(fù)雜化導(dǎo)致解題困難．故DE∥平面ABC.圖13－6－4編輯ppt編輯ppt【互動(dòng)探究】3．正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，求證：D1O∥平面A1BC1.圖D31證明：如圖D31，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2a則A1(2a,0,2a)，B(2a,2a,0)，C1(0,2a,2a)，D1(0,0,2a)，O(a，a,0)．編輯ppt編輯ppt

考點(diǎn)4用向量處理相關(guān)計(jì)算 例4：如圖13－6－6，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，CP＝m.在線段A1C1上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論．圖13－6－6圖13－6－7編輯ppt解題思路：利用向量轉(zhuǎn)化幾何關(guān)系．用向量代數(shù)形式來處理立體幾何問題，淡化了傳統(tǒng)幾何中的“形”到“形”的推理方法．編輯ppt【互動(dòng)探究】4．如圖13－6－5，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．(1)證明：直線MN∥平面OCD；(2)求異面直線AB與MD所成角的大小.圖13－6－5編輯ppt解法一：(傳統(tǒng)方法)(1)如圖D29，取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE.∵M(jìn)E∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD.又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD.∴MN∥平面OCD.圖D29編輯ppt(2)∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角(或其補(bǔ)角)．作AP⊥CD于P，連接MP.∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP.編輯ppt圖D30編輯ppt編輯ppt編輯ppt

1．運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題時(shí)，首先要恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而寫出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算，最后轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．如利用兩個(gè)向量(非零)數(shù)量積為零，可證明空間直線垂直；利用數(shù)量積可計(jì)算兩異面直線的夾角，可求線段的長(zhǎng)度；運(yùn)用共面向量定理可證點(diǎn)共面、線面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求點(diǎn)面距、線面角、異面直線所成的角等．編輯ppt

2.在近年高考試卷中，立體幾何常常以錐體或柱體為載體，命題呈現(xiàn)一題兩法的新格局．一直以來立體幾何解答題都是讓廣大考生又喜又憂．為之而喜是因?yàn)橹灰芙⒅苯亲鴺?biāo)系，基本上可以處理立體幾何絕大多數(shù)的問題；為之而憂就是對(duì)于