2021高考數(shù)學(xué)(江蘇專(zhuān)用)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：第一章 1.3 全稱(chēng)量詞與存在量詞

§1.3全稱(chēng)量詞與存在量詞全稱(chēng)量詞和存在量詞全稱(chēng)量詞：“所有”、“任意”、“每一個(gè)”等表示全體的量詞在邏輯中稱(chēng)為全稱(chēng)量詞，用符號(hào)“立”表示.存在量詞：“有一個(gè)”、“有些”、“存在一個(gè)”等表示部分的量詞在邏輯中稱(chēng)為存在量詞，用符號(hào)“m”表示.2．全稱(chēng)命題、存在性命題及含一個(gè)量詞的命題的否定命題名稱(chēng)語(yǔ)言表示符號(hào)表示命題的否定全稱(chēng)命題對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立Vx丘M,p(x)3x^M,綈p(x)存在性命題存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立3x丘M,p(x)Vx丘M,綈p(x)概念方法微思考1．怎樣判斷一個(gè)存在性命題是真命題？提示要判定存在性命題TxWM,P(x)”，只需在集合M找到一個(gè)x,使P(x)成立即可.命題p和綈p可否同時(shí)為真，思考一下此結(jié)論在解題中的作用？提示命題p和綈p的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可判斷此命題的否定的真假．題組一思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“廠或“X”)至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角和為n是全稱(chēng)命題.(X)“全等三角形的面積相等”是存在性命題．(X)寫(xiě)存在性命題的否定時(shí)，存在量詞變?yōu)槿Q(chēng)量詞.(V)題組二教材改編命題“VxGR,x2+x+1>0”的否定是.答案3x^R,x2+x+1W0命題Tx^N,x2W0”的否定是.答案Vx^N,x2>0命題“對(duì)于函數(shù)f(x)=x2+a(a￡R),存在aWR,使得f(x)是偶函數(shù)”為命題.(填Jx>“真”或“假”)答案真解析當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x2(xZ0)為偶函數(shù).題組三易錯(cuò)自糾5．(多選)下列命題的否定中,是全稱(chēng)命題且為真命題的有()3xWR,x2－x+~<0所有的正方形都是矩形3xWR,x2+2x+2=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x3+1=0答案AC解析由條件可知：原命題為存在性命題且為假命題，所以排除BD；又因?yàn)閤2-x+1=(x—2)2三0,x2+2x+2=(x+l)2+l>0,所以AC均為存在性命題且為假命題，故選AC.6．下列命題中的假命題是．(填序號(hào))3x￡R,lgx=1；mx^R,sinx=0；HxWR,x3>0；Vx￡R,2x>0.答案③解析當(dāng)x=10時(shí)，lg10=1,則①為真命題；當(dāng)x=0時(shí)，sin0=0,則②為真命題；當(dāng)x<0時(shí)，X3<0，則③為假命題；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，VxGR,2x>0，則④為真命題.7.若命題TtWR,t2—2t—avO”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案(一a,—1]解析命題“mtWR,t2—2t—a<0”是假命題，等價(jià)于Vt^R，t2—2t—a三0是真命題，A=4+4aW0,解得aW—1.???實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一a,—1].全稱(chēng)命題、存在性命題的真假例1(1)以下四個(gè)命題既是存在性命題又是真命題的是()銳角三角形有一個(gè)內(nèi)角是鈍角至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使X2W0兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使1>2答案B解析A中銳角三角形的內(nèi)角都是銳角，所以A是假命題；B中當(dāng)x=0時(shí)，x2=0,滿(mǎn)足x2W0,所以B既是存在性命題又是真命題；C中因?yàn)?j2+(—“j2)=0不是無(wú)理數(shù)，所以C是假命題;D中對(duì)于任意一個(gè)負(fù)數(shù)x,都有1<0,不滿(mǎn)足?>2，所以D是假命題.xx(2)下列四個(gè)命題：‘1AxA1Ax-<一3xG(0,+^),'2丿'3丿;logx>logx11TOC\o"1-5"\h\z3xG(0,1),23；logxHxW(0,+8),^2^x>2；logx色丘(0,(2)x<3.其中真命題的序號(hào)為.答案②④解析對(duì)于①，當(dāng)xW(O,+g)時(shí)，總有◎x>G)x成立，故①是假命題；

對(duì)于②，當(dāng)1_113對(duì)于②，當(dāng)1_1132十亠33成立，1=logZ=logi>log1x=2時(shí)，有2故②是真命題；logx1丄1對(duì)于③，當(dāng)o〈x〈2時(shí)，2>1>2x,故③是假命題;logx111對(duì)于④，x60，3，2x<1<3，故④是真命題.思維升華判定全稱(chēng)命題“x€M，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素X，證明p(x)成立；要判定存在性命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)X，使p(x)成立.跟蹤訓(xùn)練1(1)下列命題中的假命題是()B.xgN*，(x—1)2>0B.xgN*，(x—1)2>0D.xgR，tanx=2C.xgR，lgx<1答案B解析當(dāng)x€N*時(shí)，x—16N，可得(x—1)2>0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，故B不正確；易知A，C，D正確，故選B.(2已知函數(shù)f(x)=x2，則()A.xgR，f(x)<0B.x€(0,+8)，f(x)>0fx—fxC.x1，x26[0+Q，一<012x1—x2D.X]6[0,+8)，x26[0,+8)，f(xx)>f(x2)答案B1解析冪函數(shù)f(x)=x2的值域?yàn)椋?，+8)，且在定義域上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，B正確，C錯(cuò)誤，D選項(xiàng)中當(dāng)x1=0時(shí)，結(jié)論不成立.含有一個(gè)量詞的命題的否定已知命題p：TxWR,e—x—1W0"，則綈p為（）3x^R,ex—x—1三03x^R,ex—x—1>0Vx^R,ex—x—1>0Vx^R,ex—x—120答案C解析根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的否定關(guān)系，可得綈p為“Vx^R,ex—x—1>0”，故選C.（2020?山東模擬）設(shè)命題p：所有正方形都是平行四邊形，貝則綈p為（）所有正方形都不是平行四邊形有的平行四邊形不是正方形有的正方形不是平行四邊形不是正方形的四邊形不是平行四邊形答案C解析“所有”改為“存在”（或“有的”），“都是”改為“不都是”（或“不是”），即綈p為有的正方形不是平行四邊形．命題：Tx^R,sinx+cosx>2”的否定是.答案Vx^R,sinx+cosxW2（2019?邯鄲一中測(cè)試）若命題p的否定是“對(duì)所有正數(shù)x，冷；>x+1”，則命題p是答案玉丘(0,+8),-JxWx+1思維升華對(duì)全稱(chēng)命題、存在性命題進(jìn)行否定的方法(1)找到命題所含的量詞，沒(méi)有量詞的要結(jié)合命題的含義先加上量詞，再改變量詞(2)對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定．根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍例2(1)已知命題p：Vx^R,x2—a三0；命題q：3x^R,x2+2ax+2—a=0.若命題p,q都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.答案(一a,—2]解析由命題p為真，得aW0,由命題q為真，得A=4a2—4(2—a)20,即aW_2或a21,所以aW—2.(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=(2)x—m,若對(duì)Vx1e[0,3]兀丘[1,2],使得f(xj三g(x2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．答案右+^)解析當(dāng)xe[0,3]時(shí)，f(x)min=f(0)=0,當(dāng)xe[1,2]時(shí)，g(x)min=規(guī)2)=4—加，由題意得f(x)min^g(x)min，即0三4一血，所以m三4?本例中，若將Tx2W[l,2]”改為“色2丘[1,2]"，其他條件不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案土+^)解析當(dāng)x￡[1,2]時(shí)，g(x)max=g(1)=|-m,由題意得f(x)min^g(x)max，即O^g-m，???血三2?思維升華(1)已知命題的真假，可根據(jù)每個(gè)命題的真假利用集合的運(yùn)算求解參數(shù)的取值范圍(2)對(duì)于含量詞的命題中求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)值域(或最值)解決.跟蹤訓(xùn)練2(1)由命題“mx^R,x2+2x+mW0”是假命題，求得實(shí)數(shù)m的取值范圍是(a,+°°),則實(shí)數(shù)a=.答案1解析由題意得命題“HxWR,x2+2x+m>0”是真命題，所以A/r