2018材料閱讀題與答案

6868重慶中考材料閱讀題分類講練(含答案)類型1代數(shù)型新定義問題例1【2017?重慶A】對任意一個三位數(shù)n,如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”．將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F(n).例如n=123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為213+321+132=666,6662111=6,所以，F(xiàn)(123)=6.計算：F(243),F(617)；⑵若s,t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32，t=150+y(1WxW9,1WyW9,x，y卄口十擊、F(s)、t「、厶，口「，亠都是正整數(shù))，規(guī)定：k=()?當(dāng)F(s)+F(t)=18時，求k的最大值.Ft針對訓(xùn)練對于一個兩位正整數(shù)xy(0WyWxW9，且x、y為正整數(shù))，我們把十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的平方和叫做t的“平方和數(shù)”，把十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的平方差叫做t的“平方差數(shù)”.例如：對數(shù)62來說，62+22=40，62－22=32，所以40和32就分別是62的“平方和數(shù)”與“平方差數(shù)”.(1)75的“平方和數(shù)”是，5可以是的“平方差數(shù)”；若一個數(shù)的“平方和數(shù)”為10，它的“平方差數(shù)”為8，則這個數(shù)是.求證：當(dāng)xW9,yW8時，t的2倍減去t的“平方差數(shù)”再減去99所得結(jié)果也是另一個數(shù)的“平方差數(shù)”.將數(shù)t的十位上的數(shù)與個位上的數(shù)交換得到數(shù)t若t與t的“平方和數(shù)”之和等于t‘與t‘的“平方差數(shù)”之和，求t.2.將一個三位正整數(shù)n各數(shù)位上的數(shù)字重新排列后(含n本身).得到新三位數(shù)abc(aVc),在所有重新排列中，當(dāng)?+c—2b最小時，我們稱abc是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，并規(guī)定F(n)=b2—ac.例如215可以重新排列為125、152、215,因為h+S—1+2—2X5|=7,|2+5—2X1|=5,且2V5V7,所以125是215的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)(215)=22—1X5=—1.F(236)=;⑵如果在正整數(shù)n三個數(shù)位上的數(shù)字中，有一個數(shù)是另外兩個數(shù)的平均數(shù)，求證:F(n)是一個完全平方數(shù)；(3)設(shè)三位自然數(shù)t=100x+60+y(1WxW9,1WyW9,x,y為自然數(shù))，交換其個位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字得到數(shù)t‘?若t—t'=693，那么我們稱t為“和順數(shù)”.求所有“和順數(shù)”中F(t)的最大值.3?進(jìn)制也就是進(jìn)位制，是人們規(guī)定的一種進(jìn)位方法?對于任何一種進(jìn)制一一進(jìn)制，就表示某一位置上的數(shù)運算時是逢X進(jìn)一位?十進(jìn)制是逢十進(jìn)一，十六進(jìn)制是逢十六進(jìn)一,二進(jìn)制就是逢二進(jìn)一，以此類推，X進(jìn)制就是逢X進(jìn)一?為與十進(jìn)制進(jìn)行區(qū)分，我們常把用X進(jìn)制表示的數(shù)a寫成(a)x.X類比于十進(jìn)制，我們可以知道：X進(jìn)制表示的數(shù)(1111)x中，右起第一位上的1表示1XXo,X第二位上的1表示1XX1，第三位上的1表示1XX2，第四位上的1表示1XX3.故(1111)yX=1XX3+1XX2+1XXi+1XXo,即:(1111)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制表示的數(shù)為X3+X2+X1+X0.如：X

(1111)=1X23+1X22+1X21+1X20=15，(1111)=1X53+1X52+1X51+1X50=156.25根據(jù)材料，完成以下問題:把下列進(jìn)制表示的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制表示的數(shù):(101011)=；(302)=；(257)=247若一個五進(jìn)制三位數(shù)(a4b)與八進(jìn)制三位數(shù)(ba4)之和能被13整除(1WaW5,1Wb58W5,且a、b均為整數(shù))，求a的值；若一個六進(jìn)制數(shù)與一個八進(jìn)制數(shù)之和為666，則稱這兩個數(shù)互為“如意數(shù)”，試判斷(mm1)與(nn5)是否互為“如意數(shù)”？若是，求出這兩個數(shù)；若不是，說明理由.4.我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解:=pxq(p,q是正整數(shù)，且p<q),在n的所有這種分解中，如果p,q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱pxq是n的最佳分解?并規(guī)定:F(n)=P.例如12可以分解成1x12,2x6或3x4,因為12-1>6-2q3>4—3，所以3x4是12的最佳分解，所以F(12)=4-如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù).求證：對任意一個完全平方數(shù)m，總有F(m)=1.如果一個兩位正整數(shù)t，t=10x+y(1<x<y<9，x，y為自然數(shù))，交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”；⑶在⑵所得的“吉祥數(shù)”中，求F(t)的最大值.類型2函數(shù)型新定義問題例2已知一個大于1的正整數(shù)t可以分解成t=ac+b2的形式(其中aWc,a,b,c均為正整數(shù))，在t的所有表示結(jié)果中，當(dāng)bc—ba取得最小值時，稱“ac+b2”是t的“等比b＋c中項分解”，此時規(guī)定：P(t)=2g+b)，例如:7=1X6+12=2X3+12=1X3+22,1X6—1X1>2X3—2X1>1X3—1X2，所以2X3+12是7的“等比中項分解”，P⑺_2=3.若一個正整數(shù)q=m2+n2，其中m、n為正整數(shù)，則稱q為“偽完全平方數(shù)”，證明：對任意一個“偽完全平方數(shù)”q都有P(q)=|若一個兩位數(shù)s=10x+y(1WyWxW5,且x,y均為自然數(shù))，交換原數(shù)十位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字得到的新數(shù)的兩倍再加上原數(shù)的14倍，結(jié)果被8除余4,稱這樣的數(shù)s為“幸福數(shù)”，求所有“幸福數(shù)”的P(s)的最大值.針對訓(xùn)練如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法：方程x2—x—2=0是倍根方程；若(x—2)(mx+n)=0是倍根方程，則4m2+5mn+n2=0；2若點(p,q)在反比例函數(shù)y=-的圖象上，貝9關(guān)于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程.x其中正確的是.(寫出所有正確說法的序號)先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+l.解：將“x+y”看成整體，令x+y=A,則原式=A2+2A+1=(A+1”.再將“A”還原，得原式=(x+y+l”.上述解題中用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：因式分解：l+2(x—y)+(x—y)2=;因式分解：(a+b)(a+b—4)+4=；⑶證明：若n為正整數(shù)，則式子(n+1)(n+2)(e+3n)+1的值一定是某一個整數(shù)的平方．若三個非零實數(shù)x,y,z滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個實數(shù)x,y，z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.實數(shù)1，2，3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”嗎？請說明理由；⑵若M(t,y)，N(t+1，y)，R(t+3,y)三點均在函數(shù)y=k(k為常數(shù)，kMO)的圖象123x上，且這三點的縱坐標(biāo)片，y2,y3構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，求實數(shù)t的值；⑶若直線y=2bx+2c(bcM0)與x軸交于點A(x1，0),與拋物線y=ax2+3bx+3c(aM0)交于B(x2，y2),C(x3，y3)兩點.求證：A,B,C三點的橫坐標(biāo)X],x2，x3構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；cb若a〉2b〉3c,x=1,求點P(-,-)與原點0的距離0P的取值范圍.2aa若一個整數(shù)能表示成a2+b2(a,b是整數(shù))的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”.例如，5是“完美數(shù)”，因為5=22+12.再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整數(shù))，所以M也是“完美數(shù)”．請你再寫一個小于10的“完美數(shù)”，并判斷29是否為“完美數(shù)”．⑵已知S=x2+4y2+4x—12y+k(x,y是整數(shù)，k是常數(shù))，要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由.如果數(shù)m,n都是“完美數(shù)”，試說明mn也是“完美數(shù)”.若將自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點稱為“3倍點”P,取任意的一個“3倍點”P,到點P距離為1的點所對應(yīng)的數(shù)分別記為a,b.定義：若數(shù)K=a2+b2—ab，則稱數(shù)K為“尼爾數(shù)”.例如：若P所表示的數(shù)為3,貝Va=2,b=4,那么K=22+42—2X4=12；若P所表示的數(shù)為12,則a=11,b=13，那么K=132+112—13X11=147，所以12，147是“尼爾數(shù)”．請直接判斷6和39是不是“尼爾數(shù)”，并且證明所有“尼爾數(shù)”一定被9除余3；已知兩個“尼爾數(shù)”的差是189，求這兩個“尼爾數(shù)”．類型3整除問題例3我們知道，任意一個大于1的正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p+q(p、q是正整數(shù)，且pWq)，在n的所有這種分解中，如果p、q兩數(shù)的乘積最大，我們就稱p+q是n的最佳分解.并規(guī)定在最佳分解時：F(n)=pq?例如6可以分解成1+5或2+4或3+3，因為1X5<2X4<3X3，所以3+3是6的最佳分解，所以F⑹=3X3=9.求F(11)的值；一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除，它的前兩位數(shù)被2除余1,前三位數(shù)被3除余2,前四位數(shù)被4除余3,…，一直到前N位數(shù)被N除余(N-1),我們稱這樣的數(shù)為“多余數(shù)”.如：236的第一位數(shù)“2”能被1整除，前兩位數(shù)“23”被2除余1，“236”被3除余2，則236是一個“多余數(shù)”.若把一個小于200的三位“多余數(shù)”記為t,它的各位數(shù)字之和再加1為一個完全平方數(shù)，請求出所有“多余數(shù)”中F(t)的最大值.針對訓(xùn)練一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)可以被1整除，它的前兩位數(shù)可以被2整除，前三位數(shù)可以被3整除，…，一直到前N位數(shù)可以被N整除，則這樣的數(shù)叫做“精巧數(shù)”.如：123的第一位數(shù)“1”可以被1整除，前兩位數(shù)“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，則123是一個“精巧數(shù)”.(1)若四位數(shù)123k是一個“精巧數(shù)”，求k的值；⑵若一個三位“精巧數(shù)”2ab各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，請求出所有滿足條件的三位“精巧數(shù)”.人和人之間講友情，有趣的是，數(shù)與數(shù)之間也有相類似的關(guān)系．若兩個不同的自然數(shù)的所有真因數(shù)(即除了自身以外的正因數(shù))之和相等，我們稱這兩個數(shù)為“親和數(shù)”．例如：18的正因數(shù)有1、2、3、6、9、18,它的真因數(shù)之和為1+2+3+6+9=21；51的正因數(shù)有1、3、17、51,它的真因數(shù)之和為1+3+17=21,所以稱18和51為“親和數(shù)”.數(shù)還可以與動物形象地聯(lián)系起來,我們稱一個兩頭(首位與末位)都是1的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)”．例如：121、1351等．8的真因數(shù)之和為；求證：一個四位的“兩頭蛇數(shù)”與它去掉兩頭后得到的兩位數(shù)的3倍的差,能被7整除；一個百位上的數(shù)為4的五位“兩頭蛇數(shù)”能被16的“親和數(shù)”整除,若這個五位“兩頭蛇數(shù)”的千位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字,求滿足條件的五位“兩頭蛇數(shù)”．3.材料1：將分式x3.材料1：將分式x2—x+3x+1拆分成一個整式與一個分式(分子為整數(shù))的和的形式.解：2(x+1),5c,5x+1+X+i=X_2+X+1?x2—x+3解：2(x+1),5c,5x+1+X+i=X_2+X+1?這樣，分式X2；++3就拆分成一個整式x-2與一個分式￥的和的形式.材料2：已知一個能被11整除的個位與百位相同的三位整數(shù)100x+10y+x,且1WxW4,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.101x+10y99x+11y+2x—y2x—y解：.11一11一9x+y+11，又??TWxW4,0WyW9,—7W2x—又??TWxW4,0WyW9,—7W2x—yW8,還要使2x—y11為整數(shù),.*.2x—y=0.(1)將分式x2+6x—3x—1拆分成一個整式與一個分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為(1)將分式x2+6x—3x—1拆分成一個整式與一個分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為(2)已知整數(shù)x使分式2x2+5x—20x—3的值為整數(shù),則滿足條件的整數(shù)⑶已知一個六位整數(shù)20xy17能被33整除，求滿足條件的x,y的值.在任意n(n〉l且n為整數(shù))位正整數(shù)K的首位后添加6得到的新數(shù)叫做K的“順數(shù)”，在K的末位前添加6得到的新數(shù)叫做K的“逆數(shù)”．若K的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差能被17整除，稱K是“最佳拍檔數(shù)”.比如1324的“順數(shù)”為16324,1324的“逆數(shù)”為13264,1324的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差為16324—13264=3060,3060三17=180,所以1324是“最佳拍檔數(shù)”．(1)請根據(jù)以上方法判斷31568(填“是”或“不是”)“最佳拍檔數(shù)”；若一個首位是5的四位“最佳拍檔數(shù)”N,其個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為8,且百位數(shù)字不小于十位數(shù)字，求所有符合條件的N的值；證明：任意三位或三位以上的正整數(shù)K的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差一定能被30整除.若整數(shù)a能被整數(shù)b整除，貝9一定存在整數(shù)n,使得f=n,即a=bn.例如：若整數(shù)a能被整數(shù)7整除，則一定存在整數(shù)n,使得a=7n.將一個多位自然數(shù)分解為個位與個位之前的數(shù),讓個位之前的數(shù)減去個位數(shù)的兩倍,若所得之差能被7整除,則原多位自然數(shù)一定能被7整除.例如：將數(shù)字1078分解為8和107,107—8X2=91,因為91能被7整除，所以1078能被7整除，請你證明任意一個三位數(shù)都滿足上述規(guī)律.若將一個多位自然數(shù)分解為個位與個位之前的數(shù)，讓個位之前的數(shù)加上個位數(shù)的k(k為正整數(shù)，1WkW5)倍，所得之和能被13整除，求當(dāng)k為何值時使得原多位自然數(shù)一定能被13整除.4444參考答案例1.解：(l)F(243)=(423+342+234)Flll=9,F(617)=(167+716+671)2111=14.⑵Vs,t都是“相異數(shù)”，.??F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)2111=x+5,F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)2111=y+6,VF(s)+F(t)=18,???x+5+y+6=x+y+11=18,???x+y=7,V1WxW9,1WyW9,2)Vs是“相異數(shù)”,.°.yM1,yM5,.°

F(2)Vs是“相異數(shù)”,.°.yM1,yM5,.°

F(s)=6,???U)或'if(s)?k=FV=2x=1,???xH2,xM3,Vt是“相異數(shù)"，x=5.，x=4,或＜、y=3Jf(s)=10,

F(t)=8.F(s)5y=6F(s)=9=12IF(t)=91F(s)或k=FTtT=1或k=FU=4'y=2.，X=1,或x=2,或x=3,或x=4,或x=5,或x=6,、y=6y=5y=4y=3y=2y=1.x,y都是正整數(shù),5.k的最大值為4.針對訓(xùn)練解：(1)74；32；31(2)證明：令七=10x+y,2(10x+y)－(x2－y2)－99=20x+2y－x2+y2－99=(y2+2y+1)－(x2－20x+100)=(y+1)2－(x－10)2,???t的2倍減去t的“平方差數(shù)”再減去99所得結(jié)果是另一個數(shù)的“平方差”數(shù).令七=乂丫，t'=yx,由題意知：10x+y+x2+y2=10y+x+y2—X2,所以9x－9y+2x2=0,9(x－y)+2x2=0,Vx—y三0,2x2三0,?x=y=0.故t=0.解：(1)F(236)=—3(2)證明：設(shè)這個正整數(shù)n三個數(shù)位上的數(shù)字分別為x+yx‘〒，y..F(n)=b2—ac=V|a+c.F(n)=b2—ac=xy=Xxy=X2+y2xi_fx—y^2T=l2丿?F(n)為一個完全平方數(shù);t=100x+60+y,tz=100y+60+x,Tt—t'=99x—99y=693,???99(x—y)=693,x—y=7,x=y+7,.??1WxW9,lWyW9,???lWy+7W9,???lWyW2,y=i,xy=i,x=8[y=2,x=9,?=861或七=962,當(dāng)七=861時，可以重新排列為168,186,618.??Tl+8—2X6|=3,|l+6—2X8|=9,|6+8—2Xl|=12,???168為861的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”,AF(861)=6X6—1X8=28；當(dāng)七=962時，可以重新排列為269,296,629,V|2+9—2X6|=1,|2+6—2X9|=10,|6+9—2X2|=11,A269為962的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，?F(962)=6X6—2X9=18.???所有“和順數(shù)”中F(t)的最大值為28.解：(1)43；50；140b＋4X51＋aX52＋4＋aX8＋bX82=33a＋65b＋24=13(2a＋5b＋1)＋7a＋11,.??13整除7a+11,15而1WaW5,1WbW5,???18W7a+11W46,???7a+11=26或39.解得a=〒(舍去)或4,?a=4.(mm1)＋(nn5)68=1＋6m＋36m＋5＋8n＋64n=6＋42m＋72n.若互為“如意數(shù)”，貝96+42m+72n=666,.??7m+12n=110,此時m必為偶數(shù)，經(jīng)檢驗，當(dāng)m=2,n=8時，7m+12n=110,?這兩個數(shù)為85和581.(1)證明：對任意一個完全平方數(shù)m,設(shè)m=a2(a為正整數(shù))，?.Ta—a|=O,?aXa是m的最佳分解，O?對任意一個完全平方數(shù)m,總有F(m)=-=1.a(2)設(shè)交換t的個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t則t'=10y+x,Tt是“吉祥數(shù)”,.?.t'—t=(10y+x)—(10x+y)=9(y—x)=36,.?.y=x+4,T1WxWyW9,x,y為自然數(shù),?滿足“吉祥數(shù)”的有15,26,37,48,59./”、3?、2?、1?、63?、133211⑶f(15)=5F(26)=^，F(xiàn)(37)=防，f(48)=8=4,f(59)=59.t4＞5＞五虧＞59，?3所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)(t)的最大值是字類型二例2解：(1)證明：TaWc,a,b,c為正整數(shù),.°.bc—ba=b(c—a)三0.又q=m2+n2=m?m+n2,令n=b,m=a=c,則此時bc－ba最小為0,故m?m+n2是q的“等比中項分解”，P(qP(q)=n+m2(m+n)12.⑵由題意，得2(10y+x)+14(10x+y)=8k+4(k為整數(shù)),即：142x+34y=8k+4.?：8(18x+4y)+2y—2x—4=8k,.??2(y—x—2)是8的倍數(shù),.y—x—2是4的倍數(shù).又?.TWyWxW5且x,y均為自然數(shù)，.?.—6Wy—x—2W—2,.：y—x—2=—4,.x=y+2，.s=31，42，53.Vbc—ba=b(c—a)，且a,b,c為正整數(shù)，aWc,??.當(dāng)b越小，c—a的差越小，b(c—a)越小.1+67??.當(dāng)s=31時，31=5X6+12，則P(31)=心丄[、=行當(dāng)s=42時，42=2X3+TOC\o"1-5"\h\z2X(5十1)126+3962,則P(42)=2x(6+2)=16當(dāng)s=53時，53=7X7+22或53=2X2+72,9719則P(53)=2.Tt6〉72〉2，?P(s)=16.16122max16針對訓(xùn)練②③解：(1)1+2(x—y)+(x—y)2=(x—y+1)2；⑵令A(yù)=a+b,則原式變?yōu)锳(A—4)+4=A2—4A+4=(A—2)2,故(a+b)(a+b—4)+4=(a+b—2)2；證明：(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2，Tn為正整數(shù)，.n2+3n+1也為正整數(shù)，?代數(shù)式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個整數(shù)的平方.3.解：(1)T1,2,33.解：(1)T1,2,3的倒數(shù)分別為1,2,3r11且1>2>3.v2+1^1,A1,2,3不可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.kkkkkk(2)M(t,￡)'N(t+1,七+1)‘R(t+3,±+3)，且t，t+1't+3構(gòu)成“和諧三數(shù)組”?若k=J，得2t+4=t，得t=—4；若：=[+:，得2七+3=七+1,得七=—2；若~~=匸+~k~，得2t+1=t+3,得t=2.綜上，t的值為一4或一2或2.⑶①證明:⑶①證明:Va,b,c均不為0,.込,x2,x3都不為0,令y=2bx+2c=°，則氣=飛，y=2bx+2c,整理得：ax2+bx+c=0.y=ax2+3bx+3c,TOC\o"1-5"\h\zbcVx+x=—-,x?x=一，23a23a1x+xbab1.?.—+—=23=———?■=——■=—?°xxx?xacex，3231???A,B,C三點的橫坐標(biāo)xx，x2,x3構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.②Vx=1,.a+b+c=O,.c=—a—b.，a，a>2b,5b〉一3a,?.?a〉2b〉3c,.??a〉2b〉3(—a—b)，且a>0,整理得b1b^.cb.?°.一匚〈〈7；且工O.VP(一,),5a2aaaTOC\o"1-5"\h\zc力、—a—b力、力1、1.?.op2=(a”+q)2=(舌)2+(a)2=2(a+2)2+2，令m=,則一￥〈m〈l且mHO,則0P2=2(m++)2+g,V2〉0,a5222313131，OP2有最小值2，當(dāng)m=2時,???當(dāng)一5<m<—2時，0P2隨m的增大而減小，當(dāng)m=—￡時，OP2有最大值亦，當(dāng)m=—§時,0P2有最小值1；當(dāng)一2〈m〈2且mHO，OP2有最小值2，當(dāng)m=2時,5OP2有最大值2，15210口且OP2H1,.?.亍WOP〈寸且OPH1.解：(1)(答案不唯一)0,1,2,4,8,9均可.因為29=52+22,所以29是“完美數(shù)”；

(2)當(dāng)k=13時，S=X2+4y2+4x—12y+13=X2+4x+4+4y2—12y+9=(x+2)2+(2y—3)2,Tx,y是整數(shù)，???x+2,2y—3也是整數(shù)，?：S是一個“完美數(shù)”.⑶Vm與n都是“完美數(shù)”，.?.設(shè)m=a2+b2,n=C2+d2(a,b,c,d都是整數(shù))，則mn=(a2＋b2)(c2＋d2)=a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2=a2c2＋2abcd＋b2d2＋b2c2—2abcd＋a2d2=(ac＋bd)2＋(bc—ad)2.*.*a,b,c,d是整數(shù)，.ac+bd與bc—ad都是整數(shù)，???mn也是“完美數(shù)”.解：(1)6不是“尼爾數(shù)”；39是“尼爾數(shù)”設(shè)a=3n+1,b=3n—1(其中n為自然數(shù))，K=(3n+1)2+(3n—1)2—(3n+1)(3n—1)=2X9n2+2X1—(9n2—1)=9n2+3,?所有“尼爾數(shù)”一定被9除余3.，m+n=21,或m+n=7,解得m=11,或m—n=1m—n=3.n=10，m=5.⑵設(shè)這兩個“尼爾數(shù)”分別為9m2+3,9n2+3,其中m,n為整數(shù)，則(9，m+n=21,或m+n=7,解得m=11,或m—n=1m—n=3.n=10，m=5.n=2.當(dāng)m=11,n=10時，9m2+3=9X112+3=1092,9n2+3=9X102+3=903.當(dāng)m=5,n=2時，9m2+3=9X52+3=228,9n2+3=9X22+3=39.答：這兩個“尼爾數(shù)”分別是1092和903或228和39.類型3.整除問題例3.解：(1)11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,且1X1O〈2X9〈3X8〈4X7〈5X6，所以F(11)=5X6=30.(2)設(shè)此數(shù)為lbc,由題可得10+b=2m+1①，由①得：10+b為奇數(shù)，所以b為奇數(shù)；100+10b+c=3n+2②，由②得：l+b+c+1是3的倍數(shù);1+b+c+1=k2③.(其中m,n,k為整數(shù))又因為1WbW9,1WcW9，所以4Wl+b+c+lW20,所以1+b+c+l只能等于9,即b+c=7.所以當(dāng)b=l時，c=6,此數(shù)為116.當(dāng)b=3時，c=4,此數(shù)為134；當(dāng)b=5時，c=2，此數(shù)為152；當(dāng)b=7時，c=0,此數(shù)為170；當(dāng)b=9時，舍去；所以F(t)=F(170)=85X85=7225.max針對訓(xùn)練1.解：（1）T四位數(shù)123k是一個“精巧數(shù)”，.??1230+k是4的倍數(shù)；即1230+k=4n,1.解：（1）T四位數(shù)123k是一個“精巧數(shù)”，.??1230+k是4的倍數(shù)；即1230+k=4n,當(dāng)n=308時，k=2；當(dāng)n=309時，k=6,.°.k=2或6；⑵*.*2ab是“精巧數(shù)”，.:a為偶數(shù)，且2+a+b是3的倍數(shù)，°.°aV10,bV10,.°.2+a+bV22,???各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，.2＋a＋b=32=9，..當(dāng)a=0時，b=7；當(dāng)a=2時，b=5；當(dāng)a=4時，b=3；當(dāng)a=6時，b=1,.所有滿足條件的三位“精巧數(shù)”有：207，225，243，261.2.解：⑴證明：設(shè)這個四位“兩頭蛇數(shù)”為1ab1，由題意，得1ab1－3ab=1001＋100a＋10b－30a－3b=1001＋70a＋7b=7（143＋10a＋b）．?a、b為整數(shù)，.??143+10a+b為整數(shù)，.一個四位的“兩頭蛇數(shù)”與它去掉兩頭后得到的兩位數(shù)的3倍能被7整除⑵??T6的真因數(shù)有：1,2,4,8,???1+2+4+8=15.?15=1＋3＋11，.16的“親和數(shù)”為33.1x4y1設(shè)這個五位“兩頭蛇數(shù)”為1x4y1,由題意，得飛十為整數(shù)，?.315+30x+10x4313)y+6為整數(shù)，故10x+10y+6=66,.?.x+y=6.T0WxW9,0WyW9，且x,y為整數(shù),x<y,，x=2.，x=0.x=1,或或y=6y=5y=4，.這個五位“兩頭蛇數(shù)”為：10461或11451或12441.3?解：⑶響=2000173+100xy=606i+3xy+守,33故xy+4為33的倍數(shù)，因為10WxyW99,所以14Wxy+4W103,