常微分第三章課件

第三章高階常微分方程本章主要內(nèi)容1.高階線性微分方程解的性質(zhì)與構(gòu)成(n階)齊線性(微分)方程通解的構(gòu)造(特解如何構(gòu)成通解的).非齊線性方程通解如何構(gòu)成.2.解的求法常系數(shù)線性方程：四種求解方法.變系數(shù)齊線性方程：冪級(jí)數(shù)法(以二階為例，可擴(kuò)充).3.一般高階方程的降階手段——線性微分方程的一般理論

§3.1線性微分方程的一般理論討論非齊線性方程和它對(duì)應(yīng)的齊線性方程它們的初始條件是定理1定理2(疊加原理)也是(4.2)的解.定理3Wronsky行列式此定理不可逆.若這n個(gè)函數(shù)是方程(4.2)的n個(gè)解，則

注

由下面定理4知，它這時(shí)可逆.對(duì)于非齊線性方程我們首先有兩個(gè)簡(jiǎn)單的性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2方程(4.1)的任意兩個(gè)解之差必為方程(4.2)的解.定理7(非齊方程通解結(jié)構(gòu))是方程(4.1)的某一解，則方程(4.1)的通解是方程(4.1)的通解具有形式解組則(4.2)的通解是由于方程(4.1)與(4.2)關(guān)系密切，我們希望非齊線性我們有定理8

方程組非齊線性方程的常數(shù)變易法解出的積分得代入(4.16)，得非齊線性方程(4.1)的通解程的基本解組是cost,sint.解用常數(shù)變易法.令通解形式解得積分得代入上面，得通解例1解出于是代入通解形式，得原方程通解1.實(shí)變量復(fù)值指數(shù)函數(shù)的定義：可推出2.實(shí)變量復(fù)值函數(shù)極限定義：連續(xù)定義：4.2.1實(shí)變量復(fù)值函數(shù)——預(yù)備知識(shí)導(dǎo)數(shù)定義：5.結(jié)論實(shí)變量復(fù)值函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)定義用其實(shí)部、虛部的實(shí)定義；實(shí)變量復(fù)值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則與實(shí)變量實(shí)值函數(shù)完全類似；實(shí)變量復(fù)值指數(shù)函數(shù)具有與實(shí)值指數(shù)函數(shù)相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì).定理9若齊線性方程(4.2)中所有系數(shù)是它的復(fù)值解，則定理10非齊線性微分方程和的解.4.2.2常系數(shù)線性方程的解法Ⅰ.求常系數(shù)齊線性方程通解的特征根法Ⅱ.求常系數(shù)非齊線性方程特解的比較系數(shù)法Ⅲ.Laplace變換法Ⅰ.求常系數(shù)齊線性方程通解的特征根法這時(shí)，方程為我們有理由希望它有指數(shù)函數(shù)形式的解代入方程，有的根.這個(gè)方程稱為(4.19)對(duì)應(yīng)的特征根.特征方程,它的根稱為1特征根是單根的情形.

它們是線性無關(guān)的，從而組成方程的基本解組.這時(shí)，若根成對(duì)出現(xiàn))，它們對(duì)應(yīng)方程(4.19)的兩個(gè)實(shí)值解2特征根有重根的情形.個(gè)線性無關(guān)的解若其它的特征根方程(4.19)還有解它們一共n個(gè)解,是線性無關(guān)的,構(gòu)成了(4.19)的基本解組.也是k重復(fù)根，我們將用以下的2k個(gè)實(shí)值解來替代：即求得特征根故通解為例3解特征方程是特征根是故通解為歐拉方程可經(jīng)變換化為常系數(shù)齊線性方程.例4解且有［附］Ⅱ.求常系數(shù)非齊線性方程特解的比較系數(shù)法討論方程在實(shí)際應(yīng)用中最廣泛而常見的右端函數(shù)是數(shù)是m.注意，這時(shí)代數(shù)方程(4.20)仍然稱為(4.32)對(duì)應(yīng)的特征方程.1.式代入方程，用比較t的同次項(xiàng)系數(shù)來確定.解對(duì)應(yīng)的特征方程是2.方程(4.32)有如下形式的特解例5解特解形式為這是最重要的一步，其余略.解特征方程為式為其余步驟略.例7例6解法一不是特征根.故特解形式為代入原方程，化簡(jiǎn)得例8通解是解法二因?yàn)橛叶撕瘮?shù)應(yīng)用定理10的結(jié)論，先求方程的復(fù)值特解，再取其實(shí)部，就是原方程的解.特解形式為例9質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)(單擺的振動(dòng)方程)我們分下面四種情形來討論：1無阻尼自由振動(dòng)2有阻尼自由振動(dòng)3無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)4有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)它的特征方程為若取1無阻尼自由振動(dòng)則通解可寫成這時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)以正弦函數(shù)描述，是t的周期函數(shù)，稱為為圓頻率.特征方程是特征根是方程有不同形式的解.（1）2有阻尼自由振動(dòng)這時(shí)方程的通解為這時(shí)，擺的運(yùn)動(dòng)是一種衰減的振動(dòng)，“振幅”是絕對(duì)值隨t

實(shí)根.方程的通解為這是不起振的衰減運(yùn)動(dòng)，圖形如下：這時(shí)方程的通解為這也不起振的衰減運(yùn)動(dòng)，圖形如上類似.或方程有特解形如方程的通解是(1)3無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)它由兩部分組成：第一部分是系統(tǒng)的無阻尼固有振動(dòng)，第二部分是外力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)；后者在外力圓頻率p愈接代入方程，比較同類項(xiàng)系數(shù)，得這時(shí)，方程的通解是(2)共振現(xiàn)象.形式代入方程，比較同類項(xiàng)系數(shù)求得M和N，代入上式，再寫成更具物理意義的故通解為4有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)這個(gè)式子說明，擺的運(yùn)動(dòng)由兩部分疊加而成：第一部分是有阻尼的自由振動(dòng)，是系統(tǒng)本身的固有振動(dòng)，它隨時(shí)間的增長(zhǎng)而衰減；第二部分是外力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)，振動(dòng)頻率與外力的一樣，振幅不隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減，稱為“長(zhǎng)期項(xiàng)”.我們可以研究外力的圓頻率p取什么值時(shí)，所引起需討論p取何值時(shí)，函數(shù)達(dá)到最小值.結(jié)論是：只要頻率p稱為共振頻率，所產(chǎn)生的現(xiàn)象也叫共振現(xiàn)象.Ⅲ.Laplace變換法

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定義定義域原函數(shù)，象函數(shù)反過來拉氏反變換.拉氏變換，可表示為例10解(見拉氏變換表).2

基本性質(zhì)(1)拉氏變換線性性質(zhì)：(2)原函數(shù)的微分性質(zhì)：(3)拉氏反變換的線性性質(zhì)：例11求方程解因此解為例12解反查表將問題化為再取拉氏變換反查拉氏表，可得再回到自變量t，得所要求的解例13解由分解式得故反查表得前一項(xiàng)是非齊線性方程的特解,后兩項(xiàng)是齊線性方程的通解.這些例子表明，拉氏變換法的特點(diǎn)是：1。依靠拉氏變換表，把解線性微分方程的積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算；2?？梢淮涡郧蟪鲋付ǔ跏紬l件的特解；3。也可求解常系數(shù)線性微分方程的通解.4.2.3求變系數(shù)齊線性方程特解的冪級(jí)數(shù)法我們以二階變系數(shù)齊線性方程定理11例14解初始條件，使解的展開式中因此可設(shè)解的級(jí)數(shù)形式為則將它們代入原方程，合并x的各同次冪的項(xiàng)，并令各項(xiàng)系數(shù)等于零，得到解得即這就是所要求的解.例15求解方程解這雖是一階方程，也可沿用定理11所提供的理論依據(jù)，但有兩點(diǎn)不符合條件：(1)寫成令則程組，決定§3.3一般高階方程的的降階手段一般的n階高階方程沒有一般性的求解方法，但我們?nèi)绻馨阉碾A數(shù)降下來，就增加了求解的可能性.下面我們介紹三種可降階的情形：2方程不顯含自變量t，呈形狀3齊線性變系數(shù)方程若已知它的k個(gè)線性無關(guān)的特解，可通過一系列同類型的變換，使方程降低k階，而仍保持齊線性性質(zhì).1這時(shí)，只要令若能得它的通解例1解積分得于是2方程不顯含自變量t，呈形狀階方程例2解或積分后得所以例3第二宇宙速度的計(jì)算火箭能克服地球的引力，到外空間繞其它星球運(yùn)行所需的最小發(fā)射速度,稱為第二宇宙速度.它是如何計(jì)算的?解以M和m分別表示地球和火箭的質(zhì)量，r表示地球的中心到火箭重心間的距離；把火箭發(fā)射近似比作物體上拋運(yùn)動(dòng).由牛頓萬有引力定律，有由牛頓第二定律，有兩者聯(lián)系起來，考慮加速度是負(fù)的，得或解得代入初始條件，定出故解為任意小，