2022年秋高中數(shù)學第二章平面解析幾何2.6雙曲線及其方程2.6.1雙曲線的標準方程課后習題新人教B版選擇性必修第一冊

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9.已知與雙曲線x216?y2910.如圖所示,已知定圓F1:(x+5)2+y2=1,定圓F2:(x-5)2+y2=42,動圓M與定圓F1,F2都外切,求動圓圓心M的軌跡方程.B級關(guān)鍵能力提升練11.橢圓x24+y2a2=1與雙曲線A.12 B.-C.1 D.-1或112.若雙曲線上存在點P,使得P到兩個焦點的距離之比為2∶1,則稱此雙曲線存在“L點”,下列雙曲線中存在“L點”的是()A.x2-y24=1 B.x2-yC.x2-y215=1 D.x2-y13.已知定點F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點,F1關(guān)于N的對稱點為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P,則點P的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.圓14.已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點,P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標是(1,3),則△APF的面積為15.已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2外切,則動圓的圓心M的軌跡方程為.

16.在周長為48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=34,求以M,N為焦點,且過點P的雙曲線方程C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.設F1,F2分別是雙曲線x2-y29=1的左、右焦點.若P在雙曲線上,且PF1·PF2A.25 B.5 C.210 D.1018.設以O為中心,F為其中一個焦點的雙曲線經(jīng)過點Q,如圖所示.已知△OFQ的面積為26,且OF·FQ=m,其中O(1)設6<m<46,求OF與FQ的夾角(2)設|OF|=c,m=64-1c2,當|OQ

2.6.1雙曲線的標準方程1.C由題意知2c=8,c=4,a2=m,b2=1.因為c2=a2+b2,所以16=m+1,解得m=15.故選C.2.ACD當α∈π4,3π4時,sinα∈22,1,cosα∈-22,22,可得方程x2sinα+y2cosα=1表示的曲線可以是橢圓(sinα>0,cosα>0).也可以是雙曲線(sinα>0,cos3.C由題意得|解得a則該雙曲線的方程為x2-y24=4.A設右焦點為F2,連接PF2,ON(圖略),ON是△PF1F2的中位線,∴|ON|=12|PF2|∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=12|PF2|=7或35.A設動圓的圓心為M,半徑為r,圓x2+y2=1與x2+y2-8x+12=0的圓心分別為O1和O2,半徑分別為1和2,由兩圓外切的充要條件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴動點M的軌跡是雙曲線的一支(靠近O1).6.B由題意,雙曲線x2m?y2n=1(m>0,n>0)和橢圓x25+y2∴4m+1n=13(m+n)4m+1n=135+4nm+mn≥135+24nm·m7.(-∞,-2)∪(3,+∞)由雙曲線的方程可得(m-3)(m+2)>0,解得m>3或m<-2.8.x216?y29=1設焦點F1(-c,0),F則由QF1⊥QF2,得kQF∴5c·5-c=-設雙曲線方程為x2a2?y2∵雙曲線過點(42,-3),∴32a2又∵c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,∴雙曲線的標準方程為x216?9.解已知雙曲線x216則c2=16+9=25,∴c=5.設所求雙曲線的標準方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0).故所求雙曲線方程可寫為x2a2∵點P-52∴-52化簡得4a4-129a2+125=0,又c=5,解得a2=1或a2=1254(舍去)∴a2=1,b2=24,∴所求雙曲線的標準方程為x2-y224=10.解圓F1:(x+5)2+y2=1,圓心F1(-5,0),半徑r1=1;圓F2:(x-5)2+y2=42,圓心F2(5,0),半徑r2=4.設動圓M的半徑為R,則有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.∴點M的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線的左支,且a=32,c=5,于是b2=c2-a2=914.∴動圓圓心M的軌跡方程為x2911.D因為雙曲線x2a2?y2所以由題意可得4-a2=a2+2,所以a2=1,所以a=±1.故選D.12.A若雙曲線的方程為x2-y24則a=1,c=5,不妨設|PF1|=2|PF2|,則由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,即(x-5)2+y2=4,與雙曲線方程4x2-y2=4聯(lián)立可得5x2-25x-3=0,其判別式Δ=20+60=80>0,故存在“L點”.13.B連接ON,由題意可得|ON|=1,且N為MF1的中點,∴|MF2|=2.∵F1關(guān)于N的對稱點為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P,由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|=|PF1|,∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|.由雙曲線的定義可得點P的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線.14.32因為F是雙曲線C:x2-y23=所以F(2,0).因為PF⊥x軸,所以可設P的坐標為(2,yP).因為P是C上一點,所以4-yP23=1,解得y所以P(2,±3),|PF|=3.又因為A(1,3),所以點A到直線PF的距離為1,所以S△APF=12×|PF|×1=12×3×1=15.x2-y28=1(x≤-1)如圖所示,設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點根據(jù)兩圓外切的條件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因為|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以點M到兩定點C2,C1的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|=6.根據(jù)雙曲線的定義,得動點M的軌跡為雙曲線的左支,其中a=1,c=3,則b2=8,故點M的軌跡方程為x2-y28=1(x≤-16.解因為△MPN的周長為48,且tan∠PMN=34所以設|PN|=3k,|PM|=4k,則|MN|=5k.由3k+4k+5k=48,得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN所在直線為x軸,以MN的中點為原點建立直角坐標系,如圖所示.設所求雙曲線方程為x2a2?y2b由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,所以b2=c2-a2=100-4=96,故所求方程為x24?17.C由題意,知雙曲線兩個焦點的坐標分別為F1(-