2022年秋高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線的方程3.2雙曲線3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第三章課標(biāo)要求1.了解雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率等簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.能夠根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)解決有關(guān)問題.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)

雙曲線的幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程=1(a>0,b>0)

(a>0,b>0)性質(zhì)圖形焦點(diǎn)

焦距

F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)|F1F2|=2c

標(biāo)準(zhǔn)方程=1(a>0,b>0)

(a>0,b>0)性質(zhì)范圍

或

y∈

或

x∈

對(duì)稱性對(duì)稱軸:

;對(duì)稱中心:

頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)

軸實(shí)軸:線段A1A2,長(zhǎng):2a;虛軸:線段

,長(zhǎng):

;實(shí)半軸長(zhǎng):a,虛半軸長(zhǎng):

離心率e=

∈

,其中c=

漸近線y=±

x

x≤-a

x≥aRy≤-ay≥aR坐標(biāo)軸

原點(diǎn)

A1(0,-a),A2(0,a)B1B22bb(1,+∞)名師點(diǎn)睛1.雙曲線有“四點(diǎn)”(兩個(gè)焦點(diǎn)、兩個(gè)頂點(diǎn))“四線”(兩條對(duì)稱軸、兩條漸近線),橢圓是封閉性曲線,而雙曲線是開放性曲線;雙曲線有兩支,故在應(yīng)用時(shí)要注意點(diǎn)在哪一支上;根據(jù)方程判斷焦點(diǎn)的位置時(shí),注意雙曲線與橢圓的差異性.2.如果雙曲線的方程確定,那么其漸近線的方程是確定的,但如果雙曲線的漸近線確定,那么其對(duì)應(yīng)的雙曲線有無數(shù)條,具有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為

=λ(λ≠0),當(dāng)λ>0時(shí),對(duì)應(yīng)的雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,當(dāng)λ<0時(shí),對(duì)應(yīng)的雙曲線焦點(diǎn)在y軸上.4.等軸雙曲線是指實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線,其漸近線方程為y=±x,離心率等于過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(2)等軸雙曲線的漸近線互相垂直,離心率e=.(

)(3)橢圓的離心率與雙曲線的離心率取值范圍相同.(

)(4)雙曲線有四個(gè)頂點(diǎn),分別是雙曲線與其實(shí)軸及虛軸的交點(diǎn).(

)√×××2.橢圓中要求a>b>0,在雙曲線中a,b是否也要滿足該條件?3.怎么處理直線與雙曲線的交點(diǎn)問題?提示

不是,在雙曲線中,a,b沒有大小關(guān)系,只需a>0,b>0.提示

把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過消元后化為ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情況下可得:(1)Δ>0時(shí),直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn);(2)Δ=0時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)Δ<0時(shí),直線與雙曲線沒有公共點(diǎn).此外,當(dāng)直線平行于雙曲線的漸近線時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),故直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要不充分條件.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一由雙曲線的方程求幾何性質(zhì)【例1】

求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程.思路分析將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,先求出參數(shù)a,b,c的值,再寫出各個(gè)結(jié)果.變式探究若將方程9y2-4x2=-36改為9y2-4x2=36,其結(jié)果又將如何?規(guī)律方法

由雙曲線方程研究幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)

一把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,確定a,b的值是關(guān)鍵二由方程可以求焦距、實(shí)(虛)軸長(zhǎng)、離心率、漸近線方程三漸近線是雙曲線的重要性質(zhì):先畫漸近線可使圖形更準(zhǔn)確,焦點(diǎn)到漸近線的距離為虛半軸長(zhǎng)四注意雙曲線中一些特殊線段(值)的應(yīng)用.如過雙曲線

=1的左焦點(diǎn)F1(-c,0)垂直于x軸的弦AB,則|AB|=五雙曲線中c2=a2+b2,易與橢圓中a2=b2+c2混淆變式訓(xùn)練1(1)雙曲線2x2-y2=-8的實(shí)軸長(zhǎng)是(

)答案

(1)D

(2)C探究點(diǎn)二根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】

求滿足下列條件的雙曲線的方程:(1)已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之比為2∶3,且經(jīng)過點(diǎn)(3)若雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0,且兩頂點(diǎn)間的距離是6.規(guī)律方法

巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧

(5)漸近線為y=kx的雙曲線方程可設(shè)為k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)漸近線為ax±by=0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2-b2y2=λ(λ≠0).變式訓(xùn)練2求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的

倍,且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2);(2)雙曲線的漸近線方程為y=±

x,且經(jīng)過點(diǎn)A(2,-3).探究點(diǎn)三雙曲線的漸近線與離心率問題角度1求雙曲線的離心率或取值范圍

答案

A

解析

如圖,設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱性可知PQ⊥x軸.∵|PQ|=|OF|=c,規(guī)律方法

求雙曲線離心率及取值范圍的常見方法(1)求雙曲線離心率的常見方法:①若可求得a,c,則直接利用e=得解;②若已知a,b,或得到a,b的關(guān)系式,可利用e=求解;③若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程,則方程兩邊同除以a的最高次冪,轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解.(2)求離心率取值范圍的技巧:①根據(jù)條件建立a,b,c的不等式,類似于求離心率的方法轉(zhuǎn)化求解;②通過解不等式得

的取值范圍,求得離心率的取值范圍.變式訓(xùn)練3答案

A

解析

依題意可得a=1,A(-1,0),B(1,0),設(shè)P(x,y),則由|PB|=2|PA|,角度2雙曲線的漸近線與離心率的綜合

答案

D規(guī)律方法

雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系,可以借助

進(jìn)行互求.一般地,如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程,或者已知漸近線方程,求離心率的值,都會(huì)有兩解(焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況),不能忘記分類討論.變式訓(xùn)練4已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的離心率等于,則其漸近線方程為

.

探究點(diǎn)四直線與雙曲線的位置關(guān)系【例5】

已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1,(1)若直線l與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若直線l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且△AOB的面積為,求實(shí)數(shù)k的值.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),對(duì)于(1)中的方程(1-k2)x2+2kx-2=0,規(guī)律方法

直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法(1)方程思想的應(yīng)用把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過消元后化為ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情況下考查方程的判別式.①當(dāng)Δ>0時(shí),直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).②當(dāng)Δ=0時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).③當(dāng)Δ<0時(shí),直線與雙曲線沒有公共點(diǎn).當(dāng)a=0時(shí),此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用①直線過定點(diǎn)時(shí),根據(jù)定點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系.②直線斜率一定時(shí),通過平行移動(dòng)直線,比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系.變式探究本例條件不變,若直線l與雙曲線C有一個(gè)交點(diǎn),實(shí)數(shù)k的取值如何?本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)雙曲線的幾何性質(zhì);(2)雙曲線的離心率;(3)判斷直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù);(4)弦長(zhǎng)問題.2.方法歸納:定義法、待定系數(shù)法、直接法、解方程法、數(shù)形結(jié)合思想.3.常見誤區(qū):(1)求雙曲線方程時(shí)位置關(guān)系考慮不全面致錯(cuò);(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系可以通過聯(lián)立直線方程與雙曲線方程得到的方程來判斷,首先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為零,若不為零,再利用Δ來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系;(3)代數(shù)計(jì)算中的運(yùn)算失誤.學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.雙曲線

=1的左焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)之間的距離等于(

)A.6 B.8C.9 D.10答案B

解析

由已知得左焦點(diǎn)(-5,0)