2022年秋高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系課件新人教B版選擇性必修第一冊

1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系第一章課標(biāo)要求1.理解空間向量基本定理,掌握空間向量正交分解的原理及坐標(biāo)表示;2.能用空間向量的坐標(biāo),進(jìn)行向量的線性運算與數(shù)量積運算;3.能用坐標(biāo)的方法解決立體幾何中的簡單幾何問題.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)知識點1

空間中向量的坐標(biāo)(1)一般地,如果空間向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是單位向量,而且這三個向量兩兩垂直,就稱這組基底為單位正交基底;在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,則稱有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)為向量p的坐標(biāo),記作p=(x,y,z),其中x,y,z都稱為p的坐標(biāo)分量.(2)空間向量的運算與坐標(biāo)的關(guān)系空間向量a,b,其坐標(biāo)形式為a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).向量運算向量表示坐標(biāo)表示加法a+ba+b=

減法a-ba-b=

數(shù)乘λaλa=

數(shù)量積a·ba·b=

(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

(x1-x2,y1-y2,z1-z2)

(λx1,λy1,λz1)

x1x2+y1y2+z1z2

特別地,①如果μ,v是兩個實數(shù),那么μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2);(3)空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則有a∥b?

(其中x1,y1,z1均不為0);a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0.名師點睛若不明確x1y1z1≠0,則可以用以下結(jié)論進(jìn)行求解,即a∥b(a≠0)?b=λa?(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)?過關(guān)自診1.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),則4a+2b等于(

)A.(16,0,4) B.(8,-16,4)C.(8,16,4) D.(8,0,4)答案D

提示

4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).

2.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,則(

)答案D

3.向量a=(2,-3,),b=(1,0,0),則cos<a,b>=

.

4.已知向量a=(1,-2,-1),b=(3,m,-1),若a⊥b,則m=

.

答案

2

提示

∵a⊥b,∴a·b=3-2m+1=0,∴m=2.知識點2

空間直角坐標(biāo)系為了刻畫空間中點的位置,按照如下方式建立空間直角坐標(biāo)系:在空間中任意選定一點O作為坐標(biāo)原點,選擇合適的平面先建立平面直角坐標(biāo)系xOy,然后過O作一條與xOy平面

的數(shù)軸z軸.這樣建立的空間直角坐標(biāo)系記作Oxyz.

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,x軸、y軸、z軸是兩兩互相垂直的,它們都稱為坐標(biāo)軸;通過每兩個坐標(biāo)軸的平面都稱為坐標(biāo)平面,分別記為xOy平面、yOz平面、zOx平面.z軸的正方向一般按照如下方式確定:在z軸的正半軸看xOy平面,x軸的正半軸繞O點沿

時針方向旋轉(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重合.

垂直

逆

空間中建立了空間直角坐標(biāo)系之后,三個坐標(biāo)平面將不在坐標(biāo)平面內(nèi)的點分成了八個部分,如圖.每一部分都稱為一個卦限.名師點睛(1)空間中的點與三個實數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)組之間,有了一一對應(yīng)關(guān)系,空間一點M的位置完全由有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)確定,因此將(x,y,z)稱為點M的坐標(biāo),記作M(x,y,z).此時,x,y,z都稱為點M的坐標(biāo)分量,且x稱為點M的橫坐標(biāo)(或x坐標(biāo)),y稱為點M的縱坐標(biāo)(或y坐標(biāo)),z稱為點M的豎坐標(biāo)(或z坐標(biāo)).(2)八個卦限中的點的坐標(biāo)符號也有一定的特點:Ⅰ:(+,+,+);Ⅱ:(-,+,+);Ⅲ:(-,-,+);Ⅳ:(+,-,+);Ⅴ:(+,+,-);Ⅵ:(-,+,-);Ⅶ:(-,-,-);Ⅷ:(+,-,-).過關(guān)自診1.點P(1,2,1)關(guān)于xOz平面的對稱點的坐標(biāo)是(

)A.(1,-2,1)B.(-1,-2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,-2,-1)答案A

2.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,取D點為原點建立空間直角坐標(biāo)系,O,M分別是AC,DD1的中點,寫出下列向量的坐標(biāo):答案

(-2,0,1)

(1,1,2)

提示

DA=DC=DD1=2,且DA,DC,DD1兩兩互相垂直,設(shè)

知識點3

空間直角坐標(biāo)系中兩點之間的距離公式及中點坐標(biāo)

過關(guān)自診已知點A(-3,1,5)與點B(4,3,1),則AB的中點坐標(biāo)是(

)答案

B重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一空間向量坐標(biāo)的計算【例1】

已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),則(2a+3b)·(a-2b)=

.

答案

-244

解析

(2a+3b)·(a-2b)=2a2+3a·b-4a·b-6b2=2×62-22-6×72=-244.規(guī)律方法

空間向量坐標(biāo)的計算途徑(1)直接計算問題首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來,然后準(zhǔn)確運用空間向量坐標(biāo)運算公式計算.本探究中例題就是用給出的向量坐標(biāo)直接套用數(shù)量積相關(guān)公式求解.對于例1中運算方法還可以先求出2a+3b與a-2b的坐標(biāo)再計算.(2)由條件求向量或點的坐標(biāo)首先把向量按坐標(biāo)形式設(shè)出來,然后通過建立方程組,解方程組求出其坐標(biāo).變式中的求參問題便屬于這一類型題目.變式訓(xùn)練1若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且滿足條件(c-a)·(2b)=-2,則x=

.

答案

2

解析

據(jù)題意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2.探究點二空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).又因為(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,規(guī)律方法

1.判斷空間向量垂直或平行的步驟

2.求出參數(shù)值后還要再回歸到原題檢驗解的可行性,解決平行或垂直時用的坐標(biāo),含參數(shù)的還要注意分類討論思想的應(yīng)用.變式探究若將本例改為“若ka-b與ka+2b互相垂直”,求k的值.解由題意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4).∵(ka-b)⊥(ka+2b),∴(ka-b)·(ka+2b)=0,變式訓(xùn)練2正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱D1D的中點,P,Q分別為線段B1D1,BD上的解如圖所示,以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體棱長為1,則探究點三空間向量的夾角與長度的計算【例3】

棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是DD1,BD,BB1的中點.(1)求證:EF⊥CF;(1)證明以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,規(guī)律方法

通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,使盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上,以便寫點的坐標(biāo)時便捷.對于正方體載體常用的建系方法一般如例題中所述.建立坐標(biāo)系后,寫出相關(guān)點的坐標(biāo),然后再寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo),把向量坐標(biāo)化,然后再利用向量的坐標(biāo)運算求解夾角和距離問題.變式訓(xùn)練3如圖,在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N為A1A的中點.(1)求BN的長;解已知∠BCA=90°,如圖,以C為坐標(biāo)原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.(1)依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)1.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O為坐標(biāo)原點,若,則點B的坐標(biāo)為(

)A.(-1,3,-3) B.(9,1,1)C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1)答案B

因為O為坐標(biāo)原點,則點B坐標(biāo)為(9,1,1).

2.在空間直角坐標(biāo)系中,點P(-2,1,4)關(guān)于點M(2,-1,-4)的對稱點的坐標(biāo)是(

)A.(0,0,0) B.(2,-1,-4)C.(6,-3,-12) D.(-2,3,12)答案C

解析

設(shè)對稱點為P3,則點M為線段PP3的中點,設(shè)P3(x,y,z),由中點坐標(biāo)公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).3.(多選題)已知a=(2,-3,1),則下列向量中不與a平行的是(

)A.(1,1,1) B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5) D.(-2,-3,5)答案

ACD

解析

若a∥b,b≠