平面向量知識點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)

平面向量一．向量有關(guān)概念 ：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段 ，為什么（向量可以平移） 。如：已知A（1,2uuurr_____（答：（3,0））），B（4,2），則把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是2．零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的；uuuruuur3．單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量是AB)；uuur|AB|4．相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5．平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a∥b，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；r③平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?)；④三點(diǎn)A、B、C共線uuuruuurAB、AC共線；6．相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。rrrr如：下列命題：（1）若ab，則ab。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相uuuruuuruuuruuur同。（3）若ABDC，則ABCD是平行四邊形。（4）若ABCD是平行四邊形，則ABDC。（5）若rrrrrrrrrrrrab,bc，則ac。（6）若a//b,b//c，則a//c。其中正確的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2．符號表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如a，b，c等；3．坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j為基底，rrrx,y，稱x,y為向量a的坐標(biāo)，a＝x,y叫做則平面內(nèi)的任一向量a可表示為axiyj向量a的坐標(biāo)表示。如果 向量的起點(diǎn)在原點(diǎn) ，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三．平面向量的基本定理 ：如果 e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1、122，使a=1e＋2e。如rr(1,rr（1）若a(1,1),b1),c(1,2)，則c______（答：1r3r2ab）；2（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是uruur(1,2)uruur(5,7)A.e1(0,0),e2B.e1(1,2),e2uruururuur1,3)C.e1(3,5),e2(6,10)D.e1(2,3),e2(24（答：B）；uuuruuuruuurruuurruuurrr（3）已知AD,BE分別是ABC的邊BC,AC上的中線,且ADa,BEb,則BC可用向量a,b表示為_____（答：2r4r3ab）；3（4）已知ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD2DB，CDrABsAC，則rs的值是___（答：0）四．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，它的長度和方向規(guī)定如下：1rr2>0時(shí)，a的方向與a的方向相同，當(dāng)a的方向與a的方向aa,當(dāng)<0時(shí)，＝0時(shí)，rra≠0。相反，當(dāng)a0，注意：五．平面向量的數(shù)量積：uuurruuurrAOB1．兩個(gè)向量的夾角：對于非零向量a，b，作OAa,OBb，0稱為向量a，b的夾角，當(dāng)＝0時(shí)，a，b同向，當(dāng)＝時(shí)，a，b反向，當(dāng)＝2時(shí)，a，b垂直。2．平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為rr，我們把數(shù)量|a||b|cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積）rr，記作：a?b，即a?b＝abcos。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如（1）△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，則ABBC_________rrrrrurrrrur（答：－9）；，則k等于____（2）已知a(1,1),b(0,1),cakb,dab，c與d的夾角為422（答：1）；rrrr3rr等于____（3）已知a2,b5,ab，則abg（答：23）；rrrrrrrrr（4）已知a,b是兩個(gè)非零向量，且abab，則a與ab的夾角為____r（答：30o）0。如3．b在a上的投影為|b|cos，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于已知|a|3，|b|5，且ab12，則向量a在向量b上的投影為______（答：12）r54．a(chǎn)?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的模|a|與b在a上的投影的積。5．向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，其夾角為，則：rrrr①aba?b0；rrr2rrr2rr2②當(dāng)a，b同向時(shí)，a?b＝ab，特別地，aa?aa,aa；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?brrrrrr0是＝－ab；當(dāng)為銳角時(shí)，a?b＞0，且a、b不同向，ab為銳角的必要非充分條件；當(dāng)rrrr為鈍角時(shí)，a?b＜0，且a、b不反向，ab0是為鈍角的必要非充分條件；rrrrrr③非零向量a，b夾角的計(jì)算公式：cosa?b；④|a?b||a||b|。如rrab（1）已知a(,2)，b(3,2)，如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：40且1或）；33（2）已知OFQ的面積為S，且OFFQ1，若1S3OF,FQ夾角的取值范2，則2圍是_________（答：(,)）；43rrrrrrrr（3）已知a(cosx,sinx),b(cosy,siny),a與b之間有關(guān)系式kab3akb,其中k0，①用

r r r rk表示ab；②求ab的最小值，并求此時(shí)

r ra與b的夾角

的大小rrk21(k0)；②最小值為1，60o）（答：①ab4k2六．向量的運(yùn)算 ：1．幾何運(yùn)算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如uuurruuurruuurrr此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)ABa,BCb，那么向量AC叫做a與b的和，即rruuuruuuruuurabABBCAC；uuurruuurrrruuuruuuruuur②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)ABa,ACb,那么abABACCA，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如：（1）化簡：①uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur_____ABBCCD___；②ABADDC____；③(ABCD)(ACBD)uuuruuurr（答：①AD；②CB；③0）；uuurruuurruuurrrrr（2）若正方形ABCD的邊長為1，ABa,BCb,ACc，則|abc|＝_____（答：22）；（3）若O是VABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足uuuruuuruuuruuuruuurOBOCOBOC2OA，則VABC的形狀為____（答：直角三角形）；（4）若D為ABC的邊BC的中點(diǎn)，ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)uuuruuuruuurrP，滿足PABPCP0，uuur設(shè)|AP|的值為___uuur，則|PD|（答：2）；uuuruuuruuurr（5）若點(diǎn)O是△ABC的外心，且OAOBCO0，則△ABC的內(nèi)角C為____（答：120o）；rr2．坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2)，則：rr(xx，y1y2)。①向量的加減法運(yùn)算：ab12如：（1）已知點(diǎn)A(2,3),B(5,4)uuuruuuruuur＝____時(shí)，點(diǎn)P在第，C(7,10)，若APABAC(R)，則當(dāng)一、三象限的角平分線上（答：1）；1uuur2（2）已知A(2,3),B(1,4),且(sinx,cosy)，x,y(,)，則xyAB222（答：或）；62uuruuruururuuruuruur（3）已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個(gè)力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)，則合力FF1F2F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是r（答：（9,1））x,yx,y②實(shí)數(shù)與向量的積：a。1111uuur③若A(x1,y1),B(x2,y2)，則ABx2x1,y2y1，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)A(2,3),B(uuur1uuuruuuruuur1,5)，且AC3AB，AD3AB，則C、D的坐標(biāo)分別是__________117,9)）；（答：(1,),(rr3xxyy④平面向量數(shù)量積：a?b2。如112已知向量a＝（sinx，cosx）,b＝（sinx，sinx）,c＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量a、3c的夾角；（2）若x∈[3,]，函數(shù)f(x)ab的最大值為1，求的值8421或（答：(1)150o;(2)21）；rr2r2x2yx2y2。如⑤向量的模：|a|2,a|a|2rruurr已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60o，那么|a3b|＝_____（答：13）；⑥兩點(diǎn)間的距離：若Ax,y,Bx,y2，則112|AB|x2x122y2y1。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，xOy60o，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐uuururuururuur標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若OPxeye，其中e,e分別為與x軸、y1212軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為(x,y)。（1）若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2，－2），求P到O的距離｜PO｜；（2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系 xOy中的方程。（答：（1）2；（2）x2y2xy10）；七．向量的運(yùn)算律：rrrrrrrrrr1．交換律：abba，aa，a?bb?a；2．結(jié)合律：3．分配律：如

rrrrrrrrrrrrrrrrrrabcabc,abcabc，a?ba?ba?b；rrrrrrrrrrrrrraaa,abab，ab?ca?cb?c。下列命題中：①a(bc)abac；②a(bc)(ab)c；③(ab)2|a|22|a||b||b|2；④若ab0，則a0或brrrrrrr2r20；⑤若abcb,則ac；⑥aa；⑦rrrrr2rrrr2rrrrabb2222r2r；⑧(ab)ab；⑨(ab)a2abb。其中正確的是______aa（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量， 切記兩向量不能相除 (相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律 ，即a(b?c) (a?b)c，為什么rrrrrrrr八．向量平行(共線)的充要條件：a//bab(ab)2(|a||b|)2x1y2y1x2＝0。如rrrr(1)若向量a(x,1),b(4,x)，當(dāng)x＝_____時(shí)a與b共線且方向相同（答：2）；rrrrrrrrrr（2）已知a(1,1),b(4,x)，ua2b，v2ab，且u//v，則x＝______uuuruuuruuur（答：4）；（3）設(shè)時(shí)，A,B,C共線PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，則k＝_____（答：－2或11）rrrrrrrr九．向量垂直的充要條件：abab0|ab||ab|x1x2y1y20.特別地uuuruuuruuuruuurABAC)ABAC)。如(uuuruuur(uuuruuurABACABACuuuruuuruuuruuur(1)已知OA(1,2),OB(3,m)，若OAOB，則m（答：3）；2（2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形 OAB， B 90，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________（答：(1,3)或（3，－1））；r r ur r ur ur（3）已知n (a,b),向量n m，且n m，則m的坐標(biāo)是________（答：(b,a)或(b,a)）十．線段的定比分點(diǎn)：1．定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線P1P2上異于P1、P2的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使uuuruuuruuuur所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段uuuurPPPP，則叫做點(diǎn)P分有向線段PP12PP12的以定比為的定比12分點(diǎn)；2．的符號與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段P1P2上時(shí)>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段P1P2uuuur的延長線上時(shí)<－1；當(dāng)P點(diǎn)在線段P2P1的延長線上時(shí)10；若點(diǎn)P分有向線段PP12uuuur所成的比為，則點(diǎn)P分有向線段P2P1所成的比為1。如uuur3uuur若點(diǎn)P分AB所成的比為，則A分BP所成的比為_______4（答：7）uuuur33．線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向線段PP12所成的比為，x1x2xx1x22x則1，特別地，當(dāng)＝1時(shí)，就得到線段P1P2的中點(diǎn)公式y(tǒng)1y2。在使用定比分y1yy22y1點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確(x,y)，(x1,y1)、(x2,y2)的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比。如1MN，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且MP37（答：(6,)）；3uuuuruuur（2）已知A(a,0),B(3,2a)，直線y12ax與線段AB交于M，且AM2MB，則a等于_______（答：２或－４）rh,kP(x,y)，則xxh十一．平移公式：如果點(diǎn)P(x,y)按向量a平移至；曲線ryykf(x,y)h,kf(xh,yk)0.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平?！白?按向量a平移得曲線加右減”有何聯(lián)系（2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！如r3)平移到(1,2)r7,2)平移到點(diǎn)______（1）按向量a把(2,，則按向量a把點(diǎn)(（答：（－８，３））；（2）函數(shù)ysin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是ycos2x1，則a＝________（答：(4,1)）12、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；rrrrrrrrrrrrr（2）||a||b|||ab||a||b|，特別地，當(dāng)a、b同向或有0|ab||a||b|rrrrrrrrrrrrrrrrr||a||b|||ab|；當(dāng)a、b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；當(dāng)a、b不共線rrrrrr).||a||b|||ab||a||b|(這些和實(shí)數(shù)比較類似（3）在ABC中，①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，則其重心的坐標(biāo)為Gx1x2x3,y1y2y3。如33若⊿ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則⊿ABC的重心的坐標(biāo)為_______（答：(2,4)）；uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr33②1G為ABC為ABCPG3(PAPBPC)的重心，特別地PAPBPC0P的重心；uuuruuuruuuruuuruuuruuurP為ABC的垂心；③PAPBPBPCPCPAuuuruuur④向量ABAC0)所在直線過ABC的內(nèi)心(是BAC的角平分線所在直線)；(uuuruuur)(|AB||AC|uuuruuuruuuruuuruuuruuurrPABC的內(nèi)心；⑤|AB|PC|BC|PA|CA|PB0uuuur，點(diǎn)M為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則uuuruuuuruuuur（3）若P分有向線段PP所成的比為MPMP1MP2，特別121uuuuruuuuruuur地P為PP的中點(diǎn)MP1MP2；MP122uuuruuuruuurA、B、C共線、uuruuruuur（4）向量PA、PB、PC中三終點(diǎn)存在實(shí)數(shù)使得PAPBPC且1.如平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(1,3),若點(diǎn)C滿足OC 1OA 2OB,其中 1,2 R且 1 2 1,則點(diǎn)C的軌跡是_______（答：直線 AB）平面向量的線性運(yùn)算1．在矩形ABCD中，AB 3，BC 1，則向量(AB AD AC)的長等于（ ）（A）2 （B）2 3 （C）3 （D）42．下面給出四個(gè)命題：①對于實(shí)數(shù)m和向量a、b恒有：m(ab)mamb②對于實(shí)數(shù)m、n和向量a，恒有(mn)amana③若mamb(mR)，則有ab④若mana(m,nR,a0)，則mn其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）43．若a與b的方向相反，且ab此時(shí)abab

，則a+b的方向與a的方向 ；． 答案：相同； =；D、E、FABCBCCAABuuuruuuruuurc，則下列各4．已知分別是△的中點(diǎn)，且的邊、、uuur1cuuurauuur1auuuruuuruuur0．其中正式：①EF1b；②BE1b；③CF1b；④ADBECF22222確的等式的個(gè)數(shù)為答案：2uuuruuuruuur0，則O是△ABC的5．已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若OAOBOC。（填重心 、垂心、內(nèi)心、外心之一）uuuruuuruuur答案：重心答案：[3,13]6．若AB8,AC5,則BC的取值范圍是A解析：由結(jié)論||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|，因?yàn)閡uuruuuruuurDFBC=|ABAC|。7．如圖，D、E、F是ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，CBE則AFDB=答案：BEuuurruuurruuuruuuruuuurrr8．在YABCD中，ABa,ADb,AN3NC，M為BC的中點(diǎn)，則MN_______。（用a、b表示）uuuruuuruuuruuurrruuuurr1r解析：如圖，由AN3NC得4AN3AC=3(ab)，AMa2b，uuuur3rrrrr1r11所以MN(ab)(ab)4ab。424uuuruuuruuuruuur9．化簡：(ABCD)(ACBD)=．答案：010．如圖，是一個(gè)梯形，∥，且=2，、分別是和AB的中點(diǎn)，已知AB=,AD=,ABCDABCDABCDMNDCab試用a，b表示BC和MN．平面向量基本定理及坐標(biāo)表示一、選擇題1．設(shè)平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，則2a－3b＝()A．(6,3)B．(－2，－6)C．(2,1)D．(7,2)2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b()．A．平行于x軸B．平行于第一、三象限的角平分線C．平行于y軸D．平行于第二、四象限的角平分線3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝()．A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)4.設(shè)點(diǎn)A(2,0)，B(4,2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且→→|AB|＝2|AP|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(3,1)B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1)D．無數(shù)多個(gè)5.uuuruuuruuur若向量AB=（1,2），BC=（3,4），則AC=()A（4,6）B(-4，-6)C(-2，-2)D(2,2)6．已知向量 a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y滿足不等式/r