年全國精選理數(shù)

2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷二）理科數(shù)學注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷 (選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.第Ⅰ卷 1至3頁，第Ⅱ卷 3至5頁.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置 .3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效 .4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回 .第Ⅰ卷.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）已知z (m 3) (m 1)i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù) m的取值范圍是（A）(31)，（B）(1，3)（C）(1,+)（D）(-，3)（2）已知集合A{1,2,3}，B{x|(x1)(x2)0,xZ}，則AUB（A）{1}（B）{1，2}（C）{01，，2，3}（D）{1，01，，2，3}（3）已知向量a(1,m)，b=(3,2)，且(a+b)b，則m=（A）－8（B）－6（C）6（D）8（4）圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a=43（A）3（B）4（C）3（D）2（5）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（A）24 （B）18 （C）12 （D）96）右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為A）20π（B）24π（C）28π（D）32π（7）若將函數(shù)y=2sin2xπ的圖像向左平移12個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為kππkππkππkππ（A）x=–(k∈Z)（B）x=2+6(k∈Z)（C）x=2–(k∈Z)（D）x=2+12(k∈Z)2612（8）中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，右圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x=2，n=2，依次輸入的a為2，2，5，則輸出的s=（A）7（B）12（C）17（D）34π3（9）若cos(4–α)=5，則sin2α=7117（A）25（B）5（C）–5（D）–25（10）從區(qū)間0,1隨機抽取2n個數(shù)x1,x2，?，xn，y1，y2，?，yn，構(gòu)成n個數(shù)對x1,y1，x2,y2，?，xn,yn，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為4n2n4m2m（A）m（B）m（C）n（D）n（11）已知F1，2是雙曲線x2y2的左，右焦點，點1與x軸FE2b21a垂直，sinMF2F11,則E的離心率為3（A）2（B）3（）3（）2CD2（12）已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)2f(x)，若函數(shù)yx1與yf(x)圖像xm的交點為(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym),則(xiyi)i1（A）0（B）m（C）2m（D）4m第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分 .第(13)題~第(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答.第(22)題~第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共3小題，每小題5分(13)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為 a、b、c，若cosA=4，cosC=5，a=1，則b= .5 13α、β是兩個平面，m、n是兩條直線，有下列四個命題：1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.3）如果α∥β，mα，那么m∥β.?4）如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有 .(填寫所有正確命題的編號）（15）有三張卡片，分別寫有 1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是 2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是 5”，則甲的卡片上的數(shù)字是 。（16）若直線 y=kx+b是曲線 y=lnx+2的切線，也是曲線 y=ln（x+1）的切線，則 b= 。三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 .17.（本題滿分 12分）Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且an=1，S728.記nn，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，b=lga如0.9=0，lg99=1.I）求b1，b11，b101；（II）求數(shù)列 bn的前1000項和.18.（本題滿分 12分）某險種的基本保費為 a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.05（I）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（II）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出 60%的概率；（III）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.19.（本小題滿分12分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點E,F分別在AD,CD上，AE=CF=5，4EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△DEF的位置，OD10.（I）證明：DH平面ABCD；II）求二面角BDAC的正弦值.20.（本小題滿分12分）已知橢圓 E:x2 y2 1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為 k(k>0)的直線交 E于A,M兩點，點t 3N在E上，MA⊥NA.（I）當t=4，AM AN時，求△AMN的面積；（II）當2AM AN時，求k的取值范圍.（21）（本小題滿分 12分）(I)討論函數(shù)f(x)x2ex的單調(diào)性，并證明當x>0時，(x2)exx20;x2(II)證明：當a[0,1)時，函數(shù)g（x）=exaxa(x0)有最小值.設(shè)g（x）的最小值為h(a)，求x2函數(shù)h(a)的值域.請考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,做答時請寫清題號（22）（本小題滿分10分）選修4-1：集合證明選講如圖，在正方形ABCD，E,G分別在邊DA,DC上（不與端點重合），且DE=DG，過D點作DF⊥CE，垂足為F.證明：B,C,E,F四點共圓；(II)若AB=1，E為DA的中點，求四邊形 BCGF的面積.??????（23）（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程在直線坐標系xoy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25.（I）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；（II）直線l的參數(shù)方程是{??=??cos??，（t為參數(shù)）,l與C??=??sin??，交于A、B兩點，∣AB∣=√10，求l的斜率。（24）（本小題滿分10分），選修4—5：不等式選講已知函數(shù)f(x)=∣x-1∣+∣x+1∣，M為不等式f(x)＜2的解集.22I）求M；II）證明：當a,b∈M時，∣a+b∣＜∣1+ab∣。2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學答案第Ⅰ卷.選擇題：（1）【答案】A（2）【答案】C（3）【答案】D（4）【答案】A（5）【答案】B6）【答案】C7）【答案】B8）【答案】C9）【答案】D10）【答案】C（11）【答案】A（12）【答案】C第Ⅱ卷二、填空題21(13)【答案】13【答案】②③④（15）【答案】1和3（16）【答案】 1 ln2三.解答題17.（本題滿分12分）【答案】（Ⅰ）b10，b111，b1012；（Ⅱ）1893.【解析】試題分析：（Ⅰ）先求公差、通項an，再根據(jù)已知條件求b1，b11，b101；（Ⅱ）用分段函數(shù)表示bn，再由等差數(shù)列的前n項和公式求數(shù)列bn的前1000項和．試題解析：（Ⅰ）設(shè){an}的公差為d，據(jù)已知有721d28，解得d1.所以{an}的通項公式為ann.0,1n10,（Ⅱ）因為bn1,10n100,2,100n1000,3,n1000.所以數(shù)列{bn}的前1000項和為1902900311893.考點：等差數(shù)列的的性質(zhì)，前n項和公式，對數(shù)的運算.【結(jié)束】18.（本題滿分 12分）【答案】（Ⅰ）根據(jù)互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由條件概率公式求解；（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為X，求X的分布列為，在根據(jù)期望公式求解 ..【解析】試題分析：試題解析：（Ⅰ）設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故P(A)0.20.20.10.050.55.（Ⅱ）設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)0.10.050.15.P(AB)P(B)0.153又P(AB)P(B)，故P(B|A)P(A)0.55.P(A)113因此所求概率為 .11（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為 X，則X的分布列為因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為 1.23考點： 條件概率，隨機變量的分布列、期望 .【結(jié)束】19.（本小題滿分 12分）2 95【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ） .25【解析】試題分析：（Ⅰ）證 AC//EF，再證D'H OH，最后證D'H 平面ABCD；（Ⅱ）用向量法求解.試題解析：（I）由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得AECF，故AC//EF.ADCD因此EFHD，從而EFD'H.由AB5,AC6得DOB0AB2AO24.由EF//AC得OHAE1.所以O(shè)H1，D'HDH3.DOAD4于是OH 1，D'H OH2 32 12 10 D'O2，故D'HOH.又D'HEF，而OHEFH，所以D'H平面ABCD.（II）如圖，以H為坐標原點，uuurHxyz，則HF的方向為x軸的正方向，建立空間直角坐標系，'uuuruuur6,0,0H0,0,0，3,2,0，0,5,0，3,0,0,3，(3,4,0)，AC，ABC1,0DABuuuurururuuur03x14y10x1,y1,z1是平面ABD'mABAD'3,1,3.設(shè)m的法向量，則uruuuur，即3x1y13z10，mAD'0urrruuur04,3,5x2,y2,z2是平面ACD'的法向量，則nAC所以可以取m.設(shè)nruuuur，即nAD'06x20rurrurr14750,3,1.于是cosmn3x2y2，所以可以取nm,nurr501025，3z20mnsinurr295.因此二面角BD'AC的正弦值是295.m,n2525考點：線面垂直的判定、二面角.【結(jié)束】20.（本小題滿分12分）【答案】（Ⅰ）144；（Ⅱ）32,2.49【解析】試題分析：（Ⅰ）先求直線AM的方程，再求點M的縱坐標，最后求AMN的面積；（Ⅱ）設(shè)Mx1,y1，，將直線AM的方程與橢圓方程組成方程組，消去y，用k表示x1，從而表示|AM|，同理用k表示|AN|，再由2AMAN求k.試題解析：（I）設(shè)Mx1,y1，則由題意知y10，當tx2y21，A2,04時，E的方程為3.4由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為yx2.4將xx2y21得7y212y0.解得y0或y1212.y2代入3，所以y1747因此AMN的面積1121214427749.2（II）由題意t3，k0，At,0.將直線AM的方程yk(xt)代入x2y21得3tk2x22ttk2xt2k23t0.t322t3tk26t2k2由x1ttk得x13tk2，故AMx1t1k23tk2.3tk2由題設(shè)，直線AN的方程為y1xt，故同理可得AN6kt1k2，3k2tk由2AMAN得32kt，即k32t3k2k1.tk23k2當k32時上式不成立，3k2k1等價于k33k2k2k2k21.t3因此t0，k32k32k32即k20.由此得k20k2032k2.k3，或k3，解得k322020因此k的取值范圍是32,2.考點：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.【結(jié)束】（21）（本小題滿分12分）【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）(1,e2]..24【解析】試題分析：（Ⅰ）先求定義域，用導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，當x(0,)時，f(x)f(0)證明結(jié)論；（Ⅱ）用導數(shù)法求函數(shù)g(x)的最值，在構(gòu)造新函數(shù)h(a)ex0，又用導數(shù)法求解.x02試題解析：（Ⅰ） f(x)的定義域為 ( ,2) (2, ).且僅當因此當

x0時，f'(x)0，所以f(x)在(,2),(2,)單調(diào)遞增，x(0,)時，f(x)f(0)1,所以(x2)ex(x2),(x2)exx20（II）g(x)(x2)ex2a(x2)x22(f(x)a),xx由（I）知，f(x)a單調(diào)遞增，對任意a[0,1),f(0)aa10,f(2)aa0,因此，存在唯一x0(0,2],使得f(x0)a0,即g'(x0)0，當0xx0時，f(x)a0,g'(x)0,g(x)單調(diào)遞減；當xx0時，f(x)a0,g'(x)0,g(x)單調(diào)遞增.因此g(x)在xx0處取得最小值，最小值為于是h(a)ex0，由(ex)'(x1)ex0,exx(x2)2單調(diào)遞增2x2x20所以，由x0(0,2],得10e0h(a)ex0e22e2.22x0224ex(1e2x0(0,2],af(x0)[0,1),因為x單調(diào)遞增，對任意,],存在唯一的224使得h(a),所以h(a)的值域是1e2],(,24綜上，當a[0,1)時，g(x)有h(a)，h(a)的值域是(1,e2].24考點：函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值.【結(jié)束】請考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,做答時請寫清題號（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）1.2【解析】試題分析：（Ⅰ）證 DGF CBF,再證B,C,G,F四點共圓；（Ⅱ）證明Rt BCG Rt BFG,四邊形BCGF的面積S是 GCB面積SGCB的2倍.試題解析：（ I）因為DF EC,所以 DEF CDF,則有所以由此

GDFDEFFCB,DFDEDG,CFCDCBDGFCBF,由此可得DGFCBF,CGFCBF1800,所以B,C,G,F四點共圓.（II）由B,C,G,F四點共圓， CG CB知FG FB，連結(jié)GB，由G為RtDFC斜邊CD的中點，知GF GC,故RtBCG Rt BFG,因此四邊形BCGF的面積S是 GCB面積SGCB的2倍，即考點： 三角形相